Mierniki jakości prognoz 



Konstruując prognozę należy jednocześnie, jeśli jest to oczywiście możliwe, wyznaczyć 
odpowiedni miernik, określający dokładność otrzymanej prognozy. 

•

Prognoza jest obciążona błędem, jeśli wartość rzeczywista badanego zjawiska 
różni się od jego prognozy. Oznaczając przez         (t > n) wartość prognozy 
zmiennej y na okres (lub moment) t, błąd prognozy (bezwzględny) określony 
jest jako: 

 

 

   

 

 

 

 

 

 

 

 

dla t>n,   gdzie: 
•

 

  – rzeczywista wartość zmiennej prognozowanej Y w okresie t, t > n. 

 

•

Wartość tego błędu wyrażona jest w tych samych jednostkach co zmienna prognozowana. Wartość 
tego błędu określa, jakie było w chwili t odchylenie prognoz od wartości rzeczywistych zmiennej 
prognozowanej. Jeśli wartość błędu prognozy w okresie (momencie) t jest równa zero, to można 
powiedzieć, że prognoza była trafna. Jeśli błąd prognozy w okresie (momencie) t był ujemny, to 
mówi się, że prognoza jest zawyżona w stosunku do rzeczywistej wartości zmiennej prognozowanej, 
w przeciwnym przypadku - prognoza jest zaniżona w stosunku do rzeczywistej wartości zmiennej 
prognozowanej. 

 

   

 

  

  

*

t

y

*

t

t

t

y

y

q





   

t

y

Mierniki jakości prognoz 

Możliwe jest również wyznaczenie względnego błędu prognozy na okres 
(moment) t. Błąd ten określony jest jako: 

 

 

dla t> n.  
Wartość tego błędu informuje, jakie było w 
chwili t odchylenie prognoz od wartości 
rzeczywistej zmiennej prognozowanej, 
wyrażone w procentach wartości rzeczywistej. 

 

%)

100

(





t

t

t

y

q

φ

Miary błędu prognoz ex post i ex ante 

Błąd prognozy może być wyznaczony zarówno po upływie czasu na który jest 
konstruowana prognoza (znana jest wówczas rzeczywista, zrealizowana wartość 
zmiennej prognozowanej) bądź też przed upływem tego czasu (Cieślak, 2005: 49). 
Z tego względu można wyróżnić dwa rodzaje mierników dokładności prognozy, 
a mianowicie: 
•

mierniki dokładności ex post (błędy ex post), 

•

mierniki dokładności ex ante (oceny błędu ex ante). 
 

•

Mierniki dokładności ex post (łac. ex post – po czasie) wyznaczane są po 
upływie czasu, na który została skonstruowana prognoza. Wówczas 
wyznaczony błąd prognozy określa stopień trafności prognozy. 

•

Mierniki dokładności ex ante (łac. ex ante – z wyprzedzeniem) wyznaczane 
są w momencie konstruowania prognozy (czyli w momencie, gdy nie jest 
znana rzeczywista wartość zmiennej prognozowanej), określają więc jedynie 
oczekiwaną (spodziewaną) wartość odchyleń rzeczywistych realizacji 
zmiennej prognozowanej od prognoz. 

 

Miary błędu prognoz ex post 

•

Błędy prognoz ex post można obliczać zarówno dla pojedynczego okresu 
(momentu) czasu z przedziału empirycznej weryfikacji prognozy, jak i dla 
wszystkich tych okresów. Jeśli błędy zostały wyznaczone dla wszystkich 
okresów czasu, to możliwe jest skonstruowanie jednego miernika 
określającego średnią wartość błędu prognozy w przedziale empirycznej 
weryfikacji prognozy. 

 
•

W literaturze przedmiotu istnieje wiele mierników błędów prognoz ex post 
(Cieślak, 2005: 49-53; Welfe, 2003: 231-237).  

Średni błąd prognozy ME (ang. mean error) 

 

 

 

 

 

 

 

s-liczba obserwacji dla których posiadamy informację o wielkościach 
empirycznych i prognozowanych badanej zmiennej. 
Błąd ten wyrażony jest w tych samych jednostkach co zmienna prognozowana. 
Określa on jedynie obciążoność prognozy. Jeśli wartość tego błędu jest istotnie 
większa od zera, to prognozy są niedoszacowane, co oznacza, że wartości 
empiryczne są, średnio rzecz biorąc, wyższe niż wartości prognozy. 
  

 

   

 

  

  













S

s

s

s

y

y

S

ME

1

*

1

Średni błąd procentowy  

(ang. mean percentage error) 

 

 

 

 

 
•

Wartość tego błędu określa jakie było, średnio rzecz biorąc, odchylenie 
prognoz od wartości rzeczywistej zmiennej prognozowanej, wyrażone w 
procentach wartości rzeczywistej. 

  
•

Choć oba z wyżej wymienionych błędów określają obciążoność prognozy, ich 
istotna wadą jest to, iż błędy dodatnie redukowane są przez błędy ujemne. Nie 
są więc miarą dokładności prognozy. Wolne od tych wad są błędy 
bezwzględne (absolutne). 

 

  

 

   

 

  

  





%

100

1

1

*











S

s

s

s

s

y

y

y

S

MPE

Średni absolutny błąd procentowy  

(ang. mean absolute percentage error) 

•

Określa on o ile średnio procent odchylają się wartości rzeczywiste od prognoz. 
 

 

   

 

  

  





%

100

1

1

*











S

s

s

s

s

y

y

y

S

MAPE

Pierwiastek błędu średniokwadratowego 

(ang. root mean square error) 

 

 

 

 

Wartość tego błędu wyrażona jest w tych samych jednostkach co zmienna 
prognozowana. Określa on o ile średnio jednostek odchylają się wartości 
rzeczywiste od prognoz. 
Duże różnice między wartością średniego absolutnego błędu prognozy a wartością 
pierwiastka błędu średniokwadratowego wskazuje na występowanie błędów o 
skrajnie dużych wartościach. 

 

   

 

  

  









S

s

s

s

y

y

S

RMSE

1

2

*

)

(

1

Pierwiastek procentowego błędu 

średniokwadratowego (ang. root mean 

square percentage error) 

 

 

 

 

 

•

Wartość tego błędu wyrażona jest w procentach . 

•

Określa on o ile średnio procent odchylają się wartości rzeczywiste od 
prognoz. 

   

 

  

  

100

*

)

(

1

1

2

*









S

s

s

s

s

y

y

y

S

RMSPE

Prognozowanie na podstawie 

szeregów czasowych 

Szeregiem czasowym (jednowymiarowym) nazywamy ciąg 

wartości zmiennej y uporządkowany przez czas.  

Szereg taki można zapisać w postaci n wymiarowego wektora 

(np. wierszowego) w następujący sposób: 

   





n

y

y

y

y



2

1



 

  

Składowe szeregu czasowego 

W  każdym  szeregu  czasowym  wyróżnia  się  dwie  składowe:  składową 

systematyczną  i  składową  przypadkową  (Newbold,  1984:  693; 
Cieślak, 2005: 64-65).  

Składowa  systematyczna  jest  efektem  oddziaływania  na  badane  zjawisko 

stałego zestawu czynników. Składowa systematyczna może występować 
w  postaci  stałego  poziomu,  tendencji  rozwojowej  (trendu),  wahań 
sezonowych, wahań cyklicznych. 

 
Składowa przypadkowa (zwana także składnikiem losowym lub wahaniami 

przypadkowymi)  jest  efektem  działania  na  badane  zjawisko  czynników 
losowych (przypadkowych). 

 

 

Rysunek 1. Stały poziom i wahania przypadkowe 

Zmienna  prognozowana  charakteryzuje  się  stałym  (przeciętnym) 

poziomem,  jeśli  jej  wartości  oscylują  wokół  ustalonego  stałego 
poziomu (rys. 1).

 

stały poziom+wahania przypadkowe

0

0,2

0,4

0,6

0,8

1

1,2

1,4

1

2

3

4

5

6

7

8

9

10

czas

Rysunek 2. Trend (rosnący) i wahania przypadkowe 

Tendencja 

rozwojowa 

jest 

to 

długookresowa  skłonność  do 

jednokierunkowych 

zmian 

(wzrostu 

lub 

spadku) 

wartości 

prognozowanej zmiennej (rys. 2) 

trend + wahania przypadkowe

0

0,5

1

1,5

2

2,5

1

2

3

4

5

6

7

8

9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

czas

Rysunek 3. Trend (malejący) i wahania sezonowe 

 

Wahania sezonowe są to odchylenia od stałego poziomu lub od trendu powtarzające się w 

regularnych  odstępach  czasowych.  Mogą  być  obserwowane  jedynie  na  danych  o 
większej  częstotliwości  niż  dane  roczne.  Związane  są  zwykle  z  porami  roku  (stąd  ich 
nazwa).  Na  rys.  3  przedstawiony  jest  szereg  czasowy  charakteryzujący  się  trendem 
(malejącym) z wahaniami sezonowymi (i oczywiście z wahaniami przypadkowymi). 

 

trend+wahania sezonowe

0

2

4

6

8

10

12

1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

czas w kwartałach

Rysunek 4. Stały poziom i wahania cykliczne 

 

Wahania cykliczne są to długookresowe, powtarzające się  rytmicznie w przedziałach czasu 

dłuższych niż rok, odchylenia wartości badanej zmiennej od stałego poziomu lub trendu. 
Dla zmiennych ekonomicznych związane są one z cyklem koniunkturalnym. Na rysunku 
4 przedstawiony jest ten typ wahań występujących w powiązaniu ze stałym poziomem 
zjawiska. 

 

stały poziom + wahania cykliczne

0

1

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 32 33 34 35 36 37

czas (w latach)

Strukturalne i niestrukturalne metody prognozowania 

•

Strukturalne metody prognozowania wymagają definiowania struktury zależności w 
jakiej osadzona jest dana wielkość ekonomiczna. Wykorzystujemy w ich przypadku 
wiedzę o determinantach kształtujących zjawisko. (np. prognozowanie na podstawie 
modelu przyczynowo-skutkowego).  

•

Prognozowanie niestrukturalne skupia się na analizie samego szeregu czasowego, 
składowych tego szeregu i jego własności, ignorując zależności ekonomiczne. 

Model  strukturalny,  oparty  na  teorii  ekonomicznej,  nie  jest  niezbędny  do  tego,  aby 

prognozować zjawiska ekonomiczne. W sytuacji, gdy przedmiotem zainteresowania jest 
sama  prognoza,  budowa  modelu  strukturalnego  może  okazać  się  zbyt  kosztowna  i 
czasochłonna. Zastosowanie wówczas znajdują modele niestrukturalne. 

Celowość użycia modeli niestrukturalnych uzasadnia się na kilka sposobów, np.: 
„czasem  głównym  zadaniem  jest  przewidzenie  tego  co  się  zdarzy,  nie  zaś  wyjaśnienie 

dlaczego to się zdarzy”. Wreszcie: ”koszty zdobycia wiedzy o przyczynach wystąpienia 
przewidywanych  zjawisk  mogą  być  niewspółmiernie  wysokie  w  porównaniu  z 
konstrukcją prognozy, opartą na modelu szeregu czasowego” 

 

Niestrukturalne metody prognozowania 

procesów gospodarczych 

•

Modele niestrukturalne opierają się na założeniu, że informacje zawarte w 
samych danych statystycznych opisujących kształtowanie się badanego 
zjawiska w czasie są wystarczające na to, aby na ich podstawie podać 
dokładny opis tego zjawiska i wyznaczyć jego prognozę na kolejne okresy 
(momenty) należące do przyszłości.  

•

Modele te znajdują zastosowanie w przypadku, gdy zmienne prognozowane 
mają dość stabilny przebieg w czasie. Mogą być stosowane zarówno w 
przypadku zjawisk charakteryzujących się względnie stałym poziomem (z 
niewielkimi wahaniami przypadkowymi), jak również w przypadku zjawisk 
wykazujących tendencję rozwojową. Dopuszcza się również występowanie 
(zarówno ze stałym poziomem, jaki i z trendem) wahań sezonowych. 

•

Prognozowanie niestrukturalne skupia się na analizie samego szeregu 
czasowego, składowych tego szeregu i jego własności, ignorując zależności 
ekonomiczne. 

 

Niestrukturalne metody prognozowania 

procesów gospodarczych cd.1 

•

Podstawowym założeniem, które musi być spełnione w przypadku 
prognozowania przyszłych wartości zjawisk przy zastosowaniu modeli 
niestrukturalnych jest to, że mechanizm kształtujący badane zjawisko 
w przeszłości nie ulegnie zmianie, a zatem w przyszłych okresach w 
badanym zjawisku mogą wystąpić wyłączne zmiany ilościowe. Oznacza to 
więc, że prognozy otrzymywane na podstawie modeli niestrukturalnych 
mają charakter prognoz krótkookresowych.  

  

Do podstawowych niestrukturalnych metod prognozowania zalicza się: 
•

metody naiwne, 

•

metody średniej ruchomej, 

•

metody wyrównywania wykładniczego (metoda Browna, Holta i Wintera). 

 

Metody naiwne 

•

Metody naiwne oparte są na prostych przesłankach dotyczących przyszłości, 
które zakładają, że nie nastąpią zmiany w dotychczasowym sposobie 
oddziaływania czynników określających wartości zmiennej prognozowanej 
(Cieślak, 2005: 68). 

•

 Na ich podstawie konstruuje się prognozy krótkookresowe, najczęściej na 
jeden okres naprzód, czyli na okres t = n + 1, gdzie n – liczba obserwacji 
zmiennej prognozowanej.  

•

Dobór odpowiedniej metody naiwnej zależy wyłącznie od tego, jak 
kształtowało się badane zjawisko w przeszłości. 

 

Metoda naiwna –poziom bez zmian 

W przypadku szeregów czasowych charakteryzujących się względnie 
stałym poziomem z niewielkimi odchyleniami przypadkowymi

 można 

przyjąć, że wartość zmiennej prognozowanej na okres (moment) t=n+1 będzie 
równa wartości tej zmiennej z okresu poprzedniego, czyli: 
 

 

  

 

 

 

 

 

(1) 

 

gdzie:  
•

 

   

– prognoza zmiennej y na okres (moment) t  

   

  

 
•

         

- wartość zmiennej prognozowanej w okresie t - 1. 

1

*





t

t

y

y

*

t

y

   

1



t

y

Przykład 1. 

 

Dany jest szereg czasowy opisujący wysokość przeciętnych miesięcznych 
zarobków w pewnej firmie (w tys. zł), od stycznia 2012 do lipca 2012 . Na 
podstawie tych informacji (tabl. 1) wyznaczyć prognozę wysokości przeciętnych 
zarobków na sierpień 2012 r. 

 

Tablica 1. Wysokość przeciętnych miesięcznych zarobków (w tys. zł) 

 

Okres 

1 

2 

3 

4 

5 

6 

7 

Wysokość zarobków 

(w tys. zł) 

1,861 1,864 1,862 1,865 1,864 1,866 1,865 

Rozwiązanie przykładu 1: 

 
 

•

W pierwszym kroku, należy określić jak kształtuje się badane zjawisko w czasie. W tym 
celu możemy posłużyć się jego wykresem (rys. 1).  

 

Rysunek 1. Wysokość przeciętnych miesięcznych zarobków (w tys. zł) 

 

1,84

1,86

1,88

1

2

3

4

5

6

7

Rozwiązanie przykładu 1: 

 
 

Tablica 2. Wartości rzeczywiste i ich prognozy 

 

 

t 

1 

1,861 

– 

2 

1,864 

1,861 

3 

1,862 

1,864 

4 

1,865 

1,862 

5 

1,864 

1,865 

6 

1,866 

1,864 

7 

1,865 

1,866 

8 

– 

1,865 

t

y

*

t

y

Metoda naiwna – przyrost bez zmian  

• Jeśli szereg czasowy charakteryzuje się trendem liniowym

, to 

prognozę na okres t=n+1 można wyznaczyć jako: 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 
•

Oznacza to, że prognoza wartości badanego zjawiska jest równa wartości 
badanego zjawiska z okresu poprzedniego powiększona o ostatni przyrost 
wartości badanej zmiennej. 

 

   

)

(

2

1

1

*













t

t

t

t

y

y

y

y

 

  

Przykład 2. 

 

Mając informacje o liczbie osób pobierających zasiłki w Łodzi (w tys. osób) w 
latach 1998-2005 (tabl. 3) wyznaczyć odpowiednią metodą naiwną prognozę 
liczby osób korzystających z zasiłków w 2006 roku. 

 

Tablica 3. Liczba osób korzystających z zasiłków w Łodzi (w tys. osób) 

 

Lata 

t 

  

1998 

1 

25,6 

1999 

2 

28,3 

2000 

3 

31,4 

2001 

4 

33,9 

2002 

5 

37,1 

2003 

6 

39,8 

2004 

7 

42,9 

2005 

8 

46,1 

Rozwiązanie przykładu 2 

•

Rozpoczynamy od analizy graficznej (rys. 2). 

 

Rysunek 2. Liczba osób korzystających z zasiłków w Łodzi (w tys. osób) 

 

20

30

40

50

1

2

3

4

5

6

7

8

Rozwiązanie przykładu 2 

Tablica 4. Prognozy wygasłe 

 

 

Lata 

t 

1998 

1 

25,6 

- 

- 

1999 

2 

28,3 

2,7 

- 

2000 

3 

31,4 

3,1 

31 

2001 

4 

33,9 

2,5 

34,5 

2002 

5 

37,1 

3,2 

36,4 

2003 

6 

39,8 

2,7 

40,3 

2004 

7 

42,9 

3,1 

42,5 

2005 

8 

46,1 

3,2 

46 

t

y

1

1

Δ











t

t

t

t

y

y

y

*

t

y

Rozwiązanie przykładu 2 

• A zatem wyznaczając prognozę na rok 2006 (t=9) można zastosować 

metodę opisaną zależnością 
 

 

 

49,3 tys. osób 















)

9

,

42

1

,

46

(

1

,

46

)

(

7

8

8

*

9

y

y

y

y

49,3 tys. osób.  

Metody naiwne 

•

W przypadku szeregów czasowych, w których występują wahania sezonowe, 
możliwe jest zastosowanie powyższych metod prognozowania, jednak należy 
brać pod uwagę jedynie obserwacje pochodzące z jednoimiennych okresów. 
Przykładowo, jeśli w cyklu wahań występują cztery fazy (np. dane kwartalne), 
to wówczas prognozując wartość zmiennej dla I fazy (np. I kwartału) należy 
opierać się na informacjach o kształtowaniu się wartości badanego zjawiska w 
każdej pierwszej fazie cyklu badanego okresu. 

 
•

Przedstawione powyżej metody prognozowania przyszłych wartości choć są 
proste w zastosowaniu, to jednak jakość otrzymywanych na ich podstawie 
prognoz jest raczej niska. Ocenę jakości prognoz można przeprowadzić 
wyłącznie na podstawie błędów ex post. 

Metody naiwne 

• Metoda naiwna (poziom bez zmian) wykorzystuje jedynie 

najświeższą informację do sformułowania prognozy na 
okresy następne. 

• Mogą być wykorzystane do prognozowania bez 

konieczności gromadzenia dużej liczby informacji. 

• Stosowane do prognozowania na krótki dystans czasowy. 
• Jeśli ostatnie obserwacje są nietypowe, to prognoza może 

być błędna. 

Niestrukturalne metody prognozowania - metody średniej ruchomej 

•

Podobnie jak w przypadku metod naiwnych, metody oparte na średniej 
ruchomej stosuje się do prognozowania krótkookresowego, najczęściej na 
jeden okres naprzód (t = n + 1). 

Stosowne są do prognozowania 

przyszłych wartości zjawisk, które charakteryzują się względnie 
stałym poziomem z niewielkimi odchyleniami przypadkowymi. 

•

W metodzie średnich ruchomych prognoza na okres t wyznaczana jest jako 
średnia arytmetyczna z k ostatnich wartości tej zmiennej. Może to być 
zarówno średnia arytmetyczna prosta, jak i średnia arytmetyczna ważona. W 
pierwszym przypadku mamy więc do czynienia z metodą średniej ruchomej 
prostej, w drugim zaś z metodą średniej ruchomej ważonej. 

Metoda średniej ruchomej prostej 

• W przypadku średniej ruchomej prostej prognoza na okres (moment) 

t = n + 1 jest wyznaczona jako: 

 

 

 

•

Stałą k nazywa się stałą wygładzania 

•

n-liczba obserwacji zmiennej prognozowanej. 

 











n

k

n

t

t

t

y

k

y

1

*

1

 

  

Metoda średniej ruchomej ważonej 

• W przypadku średniej ruchomej ważonej prognozę na okres (moment) 

t=n+1 wyznacza się jako: 

 

 

 

 

          waga nadana wartości zmiennej y w okresie t, przy czym    

 

  













n

k

n

t

t

t

t

ω

y

y

1

*

,  

t





1

,

0



t



1

1











n

k

n

t

t

ω

Stała wygładzania k 

Liczba  wyrazów  średniej  ruchomej  (k),  czyli  stała  wygładzania,  jest  określana  przez 

prognostę. Wraz ze wzrostem wartości stałej wygładzania rośnie efekt wyrównywania. 
Średnia  ruchoma  wyznaczona  z  większej  liczby  wyrazów  będzie  silniej  wygładzała 
szereg,  lecz  jednocześnie  wolniej  reagowała  na  zmiany  poziomu  prognozowanej 
zmiennej.  Wyznaczona  z  mniejszej  liczby  wyrazów  będzie  szybciej  odzwierciedlała 
aktualne  zmiany  zachodzące  w  wartościach  prognozowanej  zmiennej,  lecz  większy 
wpływ  na  nią  będą  miały  wahania  przypadkowe  (mniejszy  będzie  efekt  wygładzania 
szeregu).  Wybór  liczby  wyrazów  średniej  ruchomej  musi  stanowić  kompromis  między 
tymi możliwościami . 

  

Do  wyznaczenia  liczby  wyrazów  średniej  ruchomej  można  użyć  błędów  prognoz  ex  post 

(np.  błędu  średniokwadratowego)  i  wybrać  ten  wariant,  dla  którego  wartość  błędu  jest 
najmniejsza  (Cieślak,  2005:  70).  Należy  jednak  pamiętać,  że  zwiększanie  stałej 
wygładzania powoduje skrócenie szeregu prognoz wygasłych, co może w istotny sposób 
wpłynąć na wartość błędu prognozy. 
 

Model średniej ruchomej prostej  

a model średniej ruchomej ważonej  

 

 

W  modelu  średniej  ruchomej  prostej  nadaje  się  jednakowe  wagi 

wszystkim wartościom zmiennej y, na podstawie których wyznaczono 
wartość  średniej.  Ponieważ  zwykle  nowsze  dane  zawierają  bardziej 
aktualne  informacje  na  temat  kształtowania  się  badanego  zjawiska, 
powinny  one  w  większym  stopniu  wpłynąć  na  wartość  prognozy. 
Postulat  ten,  nazywany  starzeniem  się  informacji  spełniony  jest  przez 
średnią ruchomą ważoną (Cieślak, 2005: 70). 

 

Modele wygładzania wykładniczego 

 

Jak można było zauważyć w przykładach zastosowań metod naiwnych- 

generowane przez nie prognozy zależą od ostatniej (lub dwóch 
ostatnich) realizacji zmiennej prognozowanej. Pozostają zatem pod 
silnym wpływem zakłóceń realizowanych w ostatnim ( przedostatnim) 
okresie.  

Metody wygładzania wykładniczego są uogólnieniem metod naiwnych. 

Skonstruowano je tak, aby -dzięki filtracji zakłóceń- zredukować 
nadmierną zależność prognoz od ostatnich zakłóceń, nie tracąc jednak 
korzyści związanych z wyznaczeniem kolejnej prognozy w zależności 
od ostatniej (i przedostatniej) realizacji zmiennej prognozowanej. 

Metoda Browna 

 

• Metoda wygładzania wykładniczego, znana również jako metoda 

Browna (1959) może być stosowana dla zmiennych, dla których 
przyrosty trendu (poza okresami kiedy następowała zmiana lub 
załamanie trendu) są w przybliżeniu stałe lub zmieniają się w 
regularny sposób (Zeliaś i in., 2003: 143).  

 

W niniejszym kursie ograniczono się do przedstawienia najprostszej 
metody wygładzania wykładniczego, którą stosuje się w przypadku 
szeregów charakteryzujących się stałym poziomem, z niewielkimi 
wahaniami przypadkowymi.  

Metoda Browna 

 

•

Wygładzanie szeregu czasowego charakteryzującego się względnie stałym 
poziomem bez wahań sezonowych polega na obliczeniu wartości 
wygładzonych według następującego wzoru rekurencyjnego:  
 
 
 
 
 

 
 

 – wartość wygładzona zmiennej y w okresie t, 

 



























1

)

1

(

^

1

1

^

1

1

^

t

y

y

y

y

y

t

t

t





^

t

y

α

 

1

,

0



α

 

– stała wygładzania,  

. 

Metoda Browna 

W powyższym wzorze, punktem startowym jest przyjcie jako pierwszej wartości 

wygładzonej (w pierwszym okresie) wartości rzeczywistej z pierwszego okresu.  

Jako pierwszą wartość wygładzoną można również przyjąć średnią arytmetyczną 

wyznaczoną na podstawie wszystkich wartości badanej zmiennej. 

 
Parametr wygładzania –alfa- odgrywa ważną rolę: im bliższy jest zeru tym prognoza 
jest bliższa ostatniej prognozie            sformułowanej na okres poprzedni. Im parametr alfa 

jest bliższy jedności, tym bieżąca prognoza jest bliższa ostatniej realizacji zmiennej. 

 

Optymalna wartość parametru alfa zależy od właściwości wygładzanego szeregu i dobierana 

jest  eksperymentalnie  metodą  prób  i  błędów,  na  podstawie  zarejestrowanych  w 
przeszłości  realizacji  zmiennej  prognozowanej.  Często  dobiera  się  taką  wartość 
parametru alfa, aby miara dokładności prognoz ex post była najmniejsza. 

  

 

^

t

y

^

1



t

y

Metoda Holta 

 

• Metoda Holta stosowana jest do 

wygładzania szeregu czasowego, który 
charakteryzuje się trendem z wahaniami 
przypadkowymi.  

• W oparciu o wygładzone wartości 

konstruuje się prognozę przyszłych wartości 
badanej zmiennej. W metodzie Holta 
wygładzaniu poddaje się zarówno 
przyrosty wartości zmiennej czasowej, 
jak i poziom tej zmiennej. 

 

Metoda Holta 

• W metodzie Holta występują dwie stałe wygładzania:       – stała 

wygładzanie poziomu (F) oraz      – stała wygładzania przyrostu (T). 
Równania wygładzające wykładniczo poziom F oraz przyrosty badanej 
zmiennej T mają postać: 

 

α

β





















)

)(

1

(

1

1

1

1

t

t

t

t

T

F

α

y

α

F

y

F























1

1

1

2

1

)

1

(

)

(

t

t

t

t

T

β

F

F

β

T

y

y

T

Metoda Holta 

• Prognoza na okres (t + 1) wyznaczona jest 

w metodzie Holta jako: 

 

 

• Prognozę wykraczającą poza próbę, na 

okres t+h 

 

t

t

t

T

F

y







*

1

n

n

h

t

T

h

F

y









*

Metoda Wintera 

 

• Metoda Wintera stosowana jest do 

wygładzania szeregu czasowego, który 
charakteryzuje się trendem z wahaniami 
sezonowymi i przypadkowymi.  

• W oparciu o wygładzone wartości 

konstruuje się prognozę przyszłych wartości 
badanej zmiennej. W metodzie Wintera 
wygładzaniu poddaje się 3 elementy: 
poziom zmiennej, jej przyrost oraz efekt 
sezonowy. 

 

Metoda Wintera 

 W metodzie Wintera  występują trzy stałe wygładzania:       – stała 

wygładzanie poziomu (F),     – stała wygładzania przyrostu (T) oraz Ɣ- 
stała wygładzania efektu sezonowego (S).  
 

W metodzie tej wprowadzamy dodatkowy symbol 

r - oznaczający długość cyklu sezonowości. 

Dla danych półrocznych r wynosi 2, dla kwartalnych 4, dla miesięcznych 12 itd. 
 
 Jeśli efekt związany z sezonem jest stały w czasie opisujemy go formułą addytywną:   
  

 

 

• Indeks sezonowy S

i 

dla przypadku addytywnego mówi, o ile wartość 

zmiennej w danym sezonie różni się od wartości oczyszczonej z 
sezonowości. W skali roku efekty sezonowe addytywne sumują się do 
zera. 

 

α

β

t

i

t

t

S

y

y









*

*

ˆ

Metoda Wintera 

 Jeśli efekt związany z sezonem jest względnie stały (stały procent badanej zmiennej) w 

czasie opisujemy go formułą multiplikatywną:   

  

 

 

• Indeks sezonowy S

i 

dla przypadku multiplikatywnego pokazuje 

stosunek wartości zmiennej do jej wartości oczyszczonej z 
sezonowości. W skali roku iloczyn efektów sezonowych 
multiplikatywnych równy jest jedności. 

• W obecności wyraźnego trendu spodziewać się należy raczej efektów 

multiplikatywnych. 

 

t

i

t

t

S

y

y









*

*

ˆ

Metoda Wintera –model addytywny 

• Równania wygładzające wykładniczo poziom F oraz przyrosty badanej 

zmiennej T  mają postać: 

 



























)

)(

1

(

)

(

1

1

1

t

t

r

t

t

t

r

r

T

F

S

y

F

y

F





























1

1

1

)

1

(

)

(

t

t

t

t

r

r

r

T

F

F

T

y

y

T





Metoda Wintera –model addytywny 

• Równania wygładzające wykładniczo efekt sezonowy S mają postać: 
 

S

F

y

S

r

t

t

t

t











)

1

(

)

(





 

 

r

y

y

S

r

i

i

i

i

 





1

Metoda Wintera –model addytywny 

• Prognoza na okres (t + 1) wyznaczona jest 

w metodzie Wintera jako: 

 

 

• Prognozę wykraczającą poza próbę, na 

okres t+h 

 

r

t

t

t

t

S

T

F

y











*

1

r

t

t

t

h

t

S

T

h

F

y













*

Metoda Wintera –model multiplikatywny 

• Równania wygładzające wykładniczo poziom F oraz przyrosty badanej 

zmiennej T  mają postać: 

 

























)

)(

1

(

)

:

(

1

1

1

t

t

r

t

t

t

r

r

T

F

S

y

F

y

F





























1

1

1

)

1

(

)

(

t

t

t

t

r

r

r

T

F

F

T

y

y

T





Metoda Wintera –model multiplikatywny 

• Równania wygładzające wykładniczo efekt sezonowy S mają postać: 
 

S

F

y

S

r

t

t

t

t









)

1

(

)

:

(





 

 

r

y

y

S

r

i

i

i

i

 



1

:

Metoda Wintera –model multiplikatywny 

• Prognoza na okres (t + 1) wyznaczona jest 

w metodzie Wintera jako: 

 

 

• Prognozę wykraczającą poza próbę, na 

okres t+h 

 

r

t

t

t

t

S

T

F

y









*

)

(

*

1

r

t

t

t

h

t

S

T

h

F

y











*

)

(

*

Dobór postaci analitycznej funkcji trendu 

Dobór  analitycznej  funkcji  trendu,  która  w  możliwie  najlepiej 

odzwierciedla  kształtowanie  się  badanego  zjawiska  w  przeszłości, 
może  się  opierać  na  graficznej  analizie  wyników  obserwacji 
zmiennej prognozowanej.  

Analiza graficzna polega na ocenie wzrokowej, w jaki sposób układają się 

punkty empiryczne reprezentujące kolejne wartości badanej zmiennej, 
a  następnie  dopasowaniu  odpowiedniej  matematycznej  funkcji,  która 
jak najlepiej dopasuje się do danych empirycznych. 

 

Poniżej  przedstawione  są  najczęściej  stosowane  funkcje  trendu,  które 

wykorzystywane są do opisu zjawisk ekonomicznych, w zależności od 
ich dynamicznych własności. 

 

Liniowa funkcja trendu 

 

Jest to najprostsza postać funkcji trendu. Opisana jest równaniem: 

 

 
W tym przypadku przyrost absolutny zmiennej objaśnianej jest w 

przybliżeniu stały.  

Znak parametru określa kierunek trendu : 
• jeśli            >0, to mamy do czynienia z trendem rosnącym,  
• jeśli            < 0, to trend jest malejący. 

t

t

f

1

0

)

(









  

1



1



Rysunek 5. Trend liniowy 

 

 

trend liniowy

0

0,5

1

1,5

2

2,5

1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

czas

y

0

1



α

0

1



α

Rysunek 6. Kształt funkcji o przyśpieszonym tempie wzrostu 

 

 

0

200

400

600

800

1000

1200

1

3

5

7

9

11

13

15

17

19

21

23

25

27

29

31

czas

y

Funkcje o przyśpieszonym tempie wzrostu 

Jeśli badane zjawisko charakteryzuje się przyśpieszonym tempem wzrostu (por. 

rys. 6), to wówczas do jego opisu można zastosować następujące funkcje: 

• funkcję wykładniczą 
 

t

t

Ae

y

β



0



β

1





β

αβ

y

t

t

Funkcje o przyśpieszonym tempie wzrostu 

Jeśli badane zjawisko charakteryzuje się przyśpieszonym tempem wzrostu (por. 

rys. 6), to wówczas do jego opisu można zastosować następujące funkcje: 

• wielomian drugiego stopnia (parabola) 

 

 

• funkcje potęgową 
 

 

0

2

2

2

1

0









α

t

α

t

α

α

y

t

1

1

0

1





α

t

α

y

α

t

Rysunek 7. Kształt funkcji o malejącym tempie wzrostu 

 

0

0,5

1

1,5

2

2,5

3

3,5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25

czas

y

Funkcje o malejącym tempie wzrostu  

Jeśli badane zjawisko charakteryzuje się malejącym tempem wzrostu (por. rys. 7), 

to wówczas do jego opisu można zastosować następujące funkcje: 

• logarytmiczna 

 

 

• potęgowa  

 

 

 

 

Stosujemy je, gdy tempo wzrostu jest malejące. 

0

ln

1

1

0







α

t

α

α

y

t

)

1,

0

(





β

t

α

y

β

t

Funkcje o malejącym tempie wzrostu  

Jeśli badane zjawisko charakteryzuje się malejącym tempem wzrostu (por. rys. 7), 

to wówczas do jego opisu można zastosować następujące funkcje: 

• funkcja hiperboliczno-liniowa 

 

 

 

• funkcja homograficzna 

 

 

 

 

Stosujemy je, gdy tempo wzrostu jest malejące  oraz występuje dążenie do 

ustalonego poziomu. 

 

0

1

1

0







α

t

α

α

y

t

0

,







β

α

t

β

t

α

y

t

Poszukiwanie odpowiedniej klasy funkcji 

Ogromna liczba funkcji spełniających określone kryteria powoduje, że często nie 

można w sposób jednoznaczny wskazać, która z nich będzie najlepiej 
opisywała badane zjawisko. Warto więc podkreślić, iż przy poszukiwaniu 
odpowiedniej klasy funkcji, należy starać się tak ją dobrać, aby (Zeliaś i in., 
2003: 75): 

•

można ją było wyprowadzić z dostatecznie realnych założeń teoretycznych; 

•

łatwo było posługiwać się nią w dalszej analizie; 

•

jej parametry miały merytoryczne znaczenie w opisie rozwoju badanego 
zjawiska; 

•

prognozy dokonane na ich podstawie były możliwie jak najbardziej zgodne z 
rzeczywistymi realizacjami prognozowanego zjawiska. 

 

Wymienione wyżej funkcje nie wyczerpują całego zbioru funkcji, które są 

stosowane w empirycznych analizach tendencji rozwojowej. Szeroki przegląd 
funkcji trendu można znaleźć w pracy Zeliasia i in. (2003: 80-86). 

Model trendu liniowego 

Szereg czasowy przedstawia liczbę udzielonych noclegów w hotelach na 

obszarze Polski ( mln), w latach 1990-1998.  

 

 

 

 

 

 
1. Oszacować parametry trendu liniowego opisującego liczbę udzielonych 

noclegów w hotelach na terenie Polski. Wyniki zinterpretować. 

2. Ocenić model pod względem statystycznym. 
3. Wyznaczyć prognozy (punktowe) liczby noclegów na kolejne trzy lata. 
 

 

Rok 

1990  1991  1992  1993  1994  1995  1996  1997  1998 

Liczba 
noclegów 

(w mln) 

6,11  6,50  6,77  7,15  7,52  8,05  8,53  8,89  9,28 

Rysunek 8. Liczba noclegów udzielonych w hotelach na terenie Polski 

 

Z  analizy  graficznej  wartości  badanej  zmiennej  wynika,  iż  liczba 

udzielanych  noclegów  w  Polsce  charakteryzowała  się  wyraźnym, 
liniowym  trendem  rosnącym.  Oznacza  to,  że  do  opisu  tego  zjawiska 
można zastosować trend liniowy. 

 

6

6,5

7

7,5

8

8,5

9

9,5

1

2

3

4

5

6

7

8

9

Liniowa funkcja trendu 

Wobec powyższego rzeczywiste wartości badanej zmiennej zostały zdekomponowane na 

dwie składowe: składową systematyczną, wyrażającą się liniową funkcja trendu oraz 
składową przypadkową. Szacując parametry modelu wyznaczamy równanie 
teoretycznej linii trendu postaci: 

 

 

gdzie Macierz X i wektor y mają postać: 

 

 

t

a

a

y

t

1

0







y

X

X)

(X

a

T

1

T



















1

0

a

a



























































9

1

8

1

7

1

6

1

5

1

4

1

3

1

2

1

1

1

X



























































28

,

9

89

,

8

53

,

8

05

,

8

52

,

7

15

,

7

77

,

6

50

,

6

11

,

6

y

Obliczenia pomocnicze 

 















285

45

45

9

X

X

T

 

  





















0167

,

0

0833

,

0

0833

,

0

5278

,

0

1

T

X)

(X















27

,

368

8

,

68

y

X

T















4045

,

0

6219

,

5

a

Model liniowy 

 

 

• Interpretacja parametrów: 

a

0 

= 5,6219 określa liczbę noclegów (w mln) w hotelach na terenie Polski 

w  roku  1989  (okresie  bezpośrednio  poprzedzającym  okres  badany). 
Wartość  ta  jest  wartością  teoretyczną,  wynikającą  z  oszacowanej 
funkcji trendu. 

a

1 

= 0,4045 oznacza, ze w badanym okresie liczba udzielonych noclegów 

w hotelach na terenie Polski rosła średnio z roku na rok o 0,4045 mln 
szt. 

 

t

y

t

4045

,

0

6219

,

5







Szacowanie parametrów funkcji w arkuszu kalkulacyjnym Excel 

Do oszacowania parametrów  naszej funkcji możemy wykorzystać arkusz 

kalkulacyjny Excel. 

 

 

 

 

W  wyniku  zastosowania  funkcji  REGLINP  mamy  oszacowane  zarówno 

wartości  estymatorów  parametrów  funkcji,  jak  również  statystyki 
określające  stopień  dopasowania  (dokładne  wyjaśnienie  sposobu 
zastosowania funkcji REGLINP można znaleźć w pracy A. Snarskiej, 
2005: 149-152).  

 

Miara 

Składnia funkcji 

Współczynnik regresji 

=NACHYLENIE( ) 

=REGLINP( ) 

narzędzie analityczne: Regresja 

dodaj linię trendu 

Wyraz wolny w równaniu regresji 

==REGLINP( ), ODCIĘTA( ) 

narzędzie analityczne: Regresja 

dodaj linię trendu 

Ocena modelu pod względem statystycznym 

 

Weryfikacja modelu  

Miary dopasowania modelu do danych empirycznych: 

1.

Odchylenie standardowe reszt modelu                    : 

 – 

rzeczywista (zaobserwowana) liczba noclegów w hotelach na terenie Polski różni się od 

średnio o 0,082 mln od wartości teoretycznych otrzymanych na podstawie modelu.  

2. Współczynnik determinacji                   : 
 

– oznacza, że w 99,5% zmienność badanej zmiennej została wytłumaczona przez model. 

3.

 

Średnie błędy ocen parametrów                                     : 

 - 

określają, o ile średnio pomyliliśmy się w szacowaniu parametrów modelu. 

W świetle powyższych statystyk można stwierdzić, że oszacowany model 

jest  dobrze  dopasowany  do  danych  empirycznych,  czyli  zastosowana 
postać  funkcji  trendu  dobrze  opisuje  przebieg  badanego  zjawiska  w 
czasie (w badanym okresie). Na podstawie tego modelu możemy więc 
wyznaczyć prognozę liczby noclegów na kolejne trzy lata. 

 

082

,

0



Se

995

,

0

2



R

011

,

0

)

(

1



a

S

 

  

059

,

0

)

(

0



a

S

Prognozy (punktowe) liczby noclegów  

Prognoza na rok 1999 (T=10) 

 

 

 

Prognoza na rok 2000 (T=11) 

 

 

 

Prognoza na rok 2001(T=12) 

 

 

 

 

 

 

 

 

 





667

,

9

4045

,

0

6215

,

5

10

1

10

*

4045

,

0

6215

,

5

*

10























y

 

  





071

,

10

4045

,

0

6215

,

5

11

1

11

*

4045

,

0

6215

,

5

*

11























y





476

,

10

4045

,

0

6215

,

5

12

1

12

*

4045

,

0

6215

,

5

*

12























y

 

  

Trend nieliniowy -przykład.   

W pewnym przedsiębiorstwie w 1996 roku podjęto produkcję nowego jogurtu. Koszt 

produkcji 1000 litrów jogurtu (zł) w latach 1996-2004 kształtował się następująco: 

 

 

 

 

 

 
1. W oparciu o analizę graficzną dokonać wyboru funkcji trendu, która będzie dobrze 

dopasowana do danych empirycznych; 

2. Oszacuj jej parametry i oceń model pod względem statystycznym. 
3. Wyznacz prognozę punktową kosztów produkcji 1000 litrów jogurtu na rok 2005 i 2006. 
 

 

Lata  

1996 

1997 

1998 

1999 

2000 

2001 

2002 

2003 

2004 

Koszt 
produkcji 

3000  2550  2400  2360  2260  2240  2230  2190  2160 

Wykres 

Dobór odpowiedniej postaci funkcji trendu poprzedzony jest analizą graficzną 

rozkładu wartości badanej zmiennej w poszczególnych latach. 

 

 

 

 

 

 

 

Jak wynika z powyższego, badane zjawisko charakteryzuje się coraz wolniejszym 

trendem  malejącym.  Wydaje  się  także,  że  wartości  kosztów  nie  przekroczą 
pewnego stałego poziomu. Wszystkie te przesłanki pozwalają wywnioskować, 
że dobrą funkcją może być funkcja hiperboliczno-liniowa : 

 

1500

1700

1900

2100

2300

2500

2700

2900

3100

1996

1997

1998

1999

2000

2001

2002

2003

2004

t

α

α

t

f

1

0

)

(





0

1



α

Postać funkcji trendu 

 

 

Powyższy  model  nie  jest  modelem  liniowym,  można  go  sprowadzić 

jednak  do  postaci  liniowej  poprzez  transformację  zmiennych. 
Dokładniej rzecz ujmując, przyjmijmy, że  

 

co pozwala powyższy model transformować do postaci liniowej: 

 

t

t

ξ

t

α

α

y







1

0

 

  

t

t





1

t

t

ξ

t

α

α

y











1

0

Wyniki estymacji modelu wykonane w arkuszu kalkulacyjnym EXCEL.  

 

Ocena statystyczna modelu 

Oszacowany model ma postać: 
 

 
Nie jest jednak możliwa interpretacja parametrów modelu. 
  

Transformacja  modelu  w  postać  liniową  nie  zmieniła  lewej  strony  modelu  (dalej  po  lewej  stronie  jest 

poziom zmiennej objaśnianej), zatem możemy zinterpretować miary dopasowania modelu do danych 
empirycznych (odchylenie standardowe reszt modelu, współczynnik determinacji, średnie błędy ocen 
parametrów). A zatem: 

•

Se  =  21,37  [zł]  oznacza,  że  rzeczywiste  koszty  wyprodukowania  1000  litrów  jogurtu  różnią  się  od 
kosztów teoretycznych średnio o 21,37 zł. 

•

R

2 

= 0,99 – oznacza, że w 99% model wyjaśnia zmienność y-greka 

Średnie błędy ocen parametrów   również świadczą o wysokiej precyzji estymacji funkcji trendu. 

 

Wobec  powyższego,  można  uznać,  iż  oszacowany  model  jest  dobrą  aproksymacją  przebiegu  badanego 

zjawiska w badanym okresie, można więc na jego podstawie wyznaczyć prognozę kosztów produkcji 
jogurtu w dwóch kolejnych latach. 

 

 

t

y

t

1

99

,

920

17

,

2087

^







Prognoza kosztów wyprodukowania 1000 l jogurtu na lata 2005-2006 

 

• Prognoza dla roku 2005 (t=10) 

 

 

 

 

 

• Prognoza dla roku 2006 (t=11) 
 

 





27

,

2179

99

,

920

17

,

2087

10

1

1

10

1

99

,

920

17

,

2087

*

10

























y





90

,

2170

99

,

920

17

,

2087

11

1

1

11

1

99

,

920

17

,

2087

*

11

























y