Kolokwium 1

 - odpowiedzi 

grupa II

 

Zadanie 1: Zdecydować, czy podane liczby są zapisane w postaci trygonometrycznej (a-c) lub 
kanonicznej (d-f). Jeśli nie są, doprowadzić do tej postaci. 

a)        

  

 

       

  

 

  - poprawnie, 

b)        

 

 

       

 

 

    

          

 

 

 

 

 

           

 

 

 

 

 

           

 

 

       

 

 

 , 

c) 

     

  

        , 

d)   

         - poprawnie. 

Zadanie 2: Na płaszczyźnie zespolonej narysować następujące obszary: 

a)        

 

      

 

        , 

Niech             (            ). 

   

 

     

 

   

 

        

    

 

   

 

        

   

 

         

 

              

 

 

      

 

      

 

    

       

 

   

 

            

 

 

      

 

   

 

        

   

 

   

 

    

 

 

   

 

    – okrąg o promieniu 3 i środku w 

punkcie        

 

a) 

 

 

                   

 

 

 

Funkcja        przesunięta o wektor         . 

 

oraz dowieść:      

 

 

 

           

 

         

 

 . 

Niech  

 

    

 

      

 

        

 

  oraz  

 

    

 

      

 

        

 

 . 

 

 

 

 

      

 

      

 

        

 

      

 

      

 

        

 

 

    

 

   

 

      

 

    

 

      

 

    

 

         

 

    

 

      

 

    

 

  

    

 

   

 

       

 

   

 

           

 

   

 

   

Wtedy  
     

 

 

 

            

 

   

 

       

 

   

 

           

 

   

 

       

 

   

 

       

 

         

 

  

Zadanie3: Niech będzie dany zbiór dwuelementowy           . W zbiorze   definiujemy działanie 
wewnętrzne  w następujący sposób:  

                  
                  

Wykazać, że       jest grupą przemienną. 

Odpowiedź:  

element neutralny=a (równanie           oraz          ) 

 

elementy przeciwne:  x=a -> x

-1

=a (równanie          ),  

 

 

x=b -> x

-1

=b (równanie          ) 

 

łączność: 

x  y  z  (x+y)  (x+y)+z  (y+z)  x+(y+z) 
a  a  a 

a 

a 

a 

a 

a  a  b 

a 

b 

b 

b 

a  b  a 

b 

b 

b 

b 

a  b  b 

b 

a 

a 

a 

b  a  a 

b 

b 

a 

b 

b  a  b 

b 

a 

b 

a 

b  b  a 

a 

a 

b 

a 

b  b  b 

a 

b 

a 

b 

 

Zadanie 4: Uzasadnić, że zbiór W jest podprzestrzenią liniową przestrzeni liniowej V:  

                  

 

                   

 

 

Zadanie 5: Zbadać z definicji liniową niezależność układu wektorów:      ,  

 

   ,        w 

przestrzeni  

 

   . 

 

 

           

 

  

 

        

 

             

 

 

  

 

       

 

    

 

       

 

    

 

   

 

      

Jedyne rozwiązanie:  

 

   

 

   

 

   .