5. Kwantowy oscylator harmoniczny 

 

Układy kwantowych oscylatorów harmonicznych to np. 

-drgania pola EM 

-drgania sieci krystalicznej (atom ów) 

-drgania momentów magnetycznych w układach uporządkowanych magnetycznie. 

 

Operator energii całkowitej (Hamiltonian): 

   

 

 

  

 

 

 
 

 

 

 

 

 

 

 

Wychodzimy z równania Schrodlingera: 

  

 

 

  

 

 

 

  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

                

/:   

  

 

  

 

 

 

 

  

 

 

 

 

 

  

 

 

        

 

  

    , gdzie przyjmujemy      

 

  

   . 

Podstawiamy: 

     

 

 

 

 

 ,     

 

  

   

 

 

 

 

 

  

,                 

Po podstawieniu otrzymujemy: 

 
 

  

 

 

  

 

   

 

        . Wyrażenie to oznaczamy jako  

   

 

  rozpisujemy: 

 

  

  

 

  

    

 

  

 

 

  

          

    

 
 

   

 

 

 

 

 

 

(*) 

Oznaczenia: 

 

  

  

 

  

        

 

, 

 

  

 

 

  

        . 

Z (*) wynika, że  

       

 

   

 
 

         

 

 

 

 

 

 

(!) 

 

Operatory   

 

 i   spełniają:   

 

   

 

          

 

      ,  

Dalej rozważamy równanie: 

 

 

  

 

    

 

 ,  

 

 

 

 

 

 

 

 

 

(**) 

na które działamy z lewej strony  : 

  

 

  

 

      

 

 , z tego wynika, że  

 

    

 

              

 

  to stan dla wartości własnej 

mniejszej o 1. (Skorzystaliśmy z  tego, że   

 

       

 

  ) 

Z tego natomiast  otrzymujemy, że  

   

   

 

 to funkcja własna operatora  

 

  do wartości własnej 

n-1. 

 

 

Obserwacja:        

 
 

   . Musi istnieć stan  

 

, dla którego b 

 

    

Teraz na równanie (**) działamy  

 

. 

 

 

 

 

  

 

    

 

 

 

, a więc, analogicznie do wcześniejszych rozważań  

   

  

 

 

 

 to funkcja własna 

operatora  

 

  do wartości własnej n+1. 

 

        ->     

 

  

  

 

 

        ->     

 

  

 

 

 

 

        ->     

 

  

 

 

 

 

I tak dalej… 

 

Funkcje falowe oscylatora: 

 

 

  

  

 

                                          

 

 

 
 

   ->  

 

 

 
 

   

 

 

  

 

 

 

  

  

 

                            

 

 

 
 

   ->  

 

 

 
 

   

 

 

  

 

 

 

    

 

     

  

 

          

 

 

 
 

   ->  

 

 

 
 

   

Więc: 

 

 

   

   

 

 

 

               

 

      

 
 

    

Gdzie  

 

    - wielomian Hermite’a o dość skomplikowanej formule, zależny od   oraz  . 

 

 

 

UWAGI: 

1)  Operatory b i  

 

 spełniają związki: 



 

       

 

  

 

          

 

  . Operator  

 

 jest sprzężeniem hermitowskim operatora  . 



 

         

 

          

 

 

 

 . Operator   jest sprzężeniem hermitowskim operatora  

 

. 

 

2)  Operatory   i   można zapisać za pomocą   i  

 

: 

     

 

   

 

 

 

 

   

->        

 

 

 

 

 

 

    

     

 

   

  

 

 

 

 

  

  

->         

  

 

 

 

  

 

   

3)  Wartość   

 

  w stanie podstawowym: 

  

 

   

 

  

 

 

 

Energia w stanie podstawowym: 

 

 

 

 
 

   

Zasada nieoznaczoności pędu i położenia, mówiąca, że: 

 

 

    

 

     

 
 

 

to stan podstawowy oscylatora harmonicznego, zasada  nie oznaczoności pędu i położenia jest 
wysycona.