Niech LcR2 będzie kawałkami gładkim łukiem zamkniętym. Obszar płaski ograniczony krzywą
L oznaczamy D. Mówimy, że orientacja łuku L jest dodatnia względem D, gdy poruszając się
po łuku L, zgodnie z orientacją, obszar D mamy po lewej stronie. Tw: Załóżmy, że: obszar
zamknięty Dc R2 jest normalny względem obu osi układu; brzeg L obszaru D jest łukiem
zorientowanym dodatnio; pole wektorowe F=[P,Q] jest różniczkowalne w sposób ciągły na D.
Wówczas: . Jeżeli szereg jest zbieżny, to
. Jeżeli lim nie wynosi 0, to szereg jest rozbieżny. Niech dany będzie
szereg o wyrazach dowolnych oraz szarego wartości bezwzględnych . Jeżeli
szereg wartości bezwzględnych jest zbieżny, to i szereg jest zbieżny. Szereg
nazywamy wówczas szeregiem bezwzględnie zbieżnym. Szereg, który jest zbieżny ale
nie jest bezwzględnie zbieżny, nazywamy szeregiem warunkowo zbieżnym. Kryterium
ilorazowe (d A) Niech dany będzie szereg o wyrazach dowolnych . Jeżeli
, to szereg jest bezwzględnie zbieżny. Jeżeli
, to szereg jest rozbieżny. Kryterium pierwiastkowe (C) Niech dany będzie
szereg o wyrazach dowolnych . Jeżeli , to szereg jest
bezwzględnie zbieżny. Jeżeli , to szereg jest rozbieżny.
Kryterium całkowe Niech Jeżeli funkcja f, określona w przedziale jest
nieujemna, ciągła i nierosnąca to i są jednocześnie zbieżne lub
rozbieżne. Kryterium porównawcze Niech dane będą szeregi oraz takie że
Wówczas ze zbieżności szeregu wynika zbieżność szeregu
, z rozbieżności szeregu wynika rozbieżność szeregu . Kryterium
porównawczo-ilorazowe Niech dane będą szeregi oraz takie że
oraz niech , gdzie g>0. Wówczas szeregi i
są jednocześnie zbieżne lub rozbieżne. Kryterium Leibnitza Jeżeli w szeregu
naprzemiennym ciąg {an} jest ciągiem malejącym, zbieżnym do zera, to szereg ten
jest zbieżny. Jeśli szereg naprzemienny jest zbieżny, to
, gdzie S  suma szeregu. Promień zbieżności Liczbę R>0 nazywamy
promieniem zbieżności szeregu jeżeli szereg ten jest zbieżny w przedziale (-R,R) i
rozbieżny w przedziałach (- ; Jeżeli szereg jest zbieżny dla
wszystkich x R to przyjmujemy, że R=+ ; Jeżeli szereg jest zbieżny tylko dla x=0,
to przyjmujemy, że R=0. Twierdzenie Cauchy ego-Hadamarda o promieniu zbieżności Jeżeli
dla szeregu istnieje granica (skończona lub nieskończona)  lub
 to promień zbieżności tego szeregu wynosi R= (klamerką) gdy >0, 0 gdy
=+ ,+ gdy =0. O różniczkowaniu szeregu potęgowego Jeżeli szereg potęgowy
ma niezerowy promień zbieżności R (R>0) to jego suma S(x) jest funkcją
różniczkowalną oraz S (x)=( ) = = O całkowaniu
szeregu potęgowego Jeżeli szereg potęgowy ma niezerowy promień zbieżności R
(R>0) to jego suma S(x) jest funkcją całkowalną oraz
= ) = . Szereg Taylora Załóżmy, że funkcja
f ma w punkcie x0 pochodne dowolnego rzędu. Szereg potęgowy:
nazywamy szeregiem Taylor a funkcji f o
środku w punkcie x0. Jeśli x0=0 to szereg ten nazywamy szeregiem Maclaurina funkcji f.