Logika i rachunek zbiorów

Zadania

1. Kilka firm poszukuje nowych pracowników. Kandydaci ubiegający się przyjęcie powinni spełniać

następujące warunki:

Firma A Wykształcenie wyższe lub wykształcenie średnie i 5 lat praktyki.

Firma B Wykształcenie średnie lub wyższe, znajomość obsługi komputera.

Firma C Znajomość języka włoskiego lub hiszpańskiego, prawo jazdy.

Firma D Umiejętność obsługi programów Word i Excel lub ukończone kurs informatyczny.

Firma E Wyższe wykształcenie ekonomiczne lub prawnicze, znajomość języka angielskiego lub nie-

mieckiego.

Podziel każde z powyższych zdań na zdania proste i oznacz je symbolami p, q, s (firma E) sym-
bolami p, q, s, r) i zapisz je przy pomocy symboli logicznych

∨, ∧ i nawiasów ( , ) .

Dla punktów (A) – (D) sprawdź, czy zdania (p

∨ q) ∧ s, (q ∧ s) ∨ p, (q ∨ p) ∧ s, p ∨ (q ∧ s),

p

∧ (q ∨ s), (q ∧ p) ∨ s znaczą to samo co zdania wypisane wcześniej.

Znajdź inne zapisy wymagań firmy E.

2. Jacek powiedział: ”Jeżeli jutro będzie ładna pogoda to przyjdę.” Są 4 możliwości:

(a) Jest ładna pogoda, Jacek przyszedł.

(b) Jest ładna pogoda, Jacek nie przyszedł.

(c) Nie ma ładnej pogody, Jacek przyszedł.

(d) Nie ma ładnej pogody, Jacek nie przyszedł.

W którym przypadku Jacek nie dotrzymał słowa?

3. Mama powiedziała do Kasi: ”Albo odrobisz lekcje albo nie pójdziesz do kina”. Spróbuj wyrazić

to zdanie w postaci implikacji.

4. Utwórz zaprzeczenia następujących zdań:

(a) Marek spędza wakacje w Grecji lub Hiszpanii.

(b) Beata uczy się języka francuskiego i angielskiego.

(c) Jeśli skończysz studia, to znajdziesz ciekawą pracę.

(d) Wszyscy studenci lubią matematykę.

(e) Istnieje człowiek, który zna swoja przyszłość.

5. Porównaj tabelki logiczne wartości następujących zdań:

(a)

p

∧ q i q ∧ p

(f)

∼ (p ∨ q) i ∼ p∧ ∼ q

(b)

p

∨ q i q ∨ p

(g)

∼ (p ∧ q) i ∼ p∨ ∼ q

(c)

p

∧ q i p ∨ q

(h)

p

∧ q i ∼ q∧ ∼ p

(d)

∼ (p ∧ q) i p∧ ∼ q

(i)

p

∧ q i q ∧ p

(e)

p

∧ q i ∼ p∧ ∼ q

(j)

∼ (p ∨ q) i ∼ q∨ ∼ p

6. Wyznacz tabelki wartości logicznych następujących zdań:

(a)

(p

∨ q) ∧ p

(e)

(p

∨ q) ∧ (p ∧ q)

(b)

(p

∧ q) ∧ p

(f)

(p

∧ q) ∧ (p ∨ q)

(c)

(p

⇒ q) ∨ p

(g)

(p

∧ q) ⇒ (p ∨ q)

(d)

p

⇒ (p ∨ q)

(h)

(p

∨ q) ⇒ (p ∧ q)

Które zdania są tautologiami?

1

7. W autobusach komunikacji miejskiej można zobaczyć napis informujący pasażerów, że

(1) w godzinach nocnych nie mogą korzystać z biletów ulgowych.
(2) bilety miesięczne zachowują ważność.
Czy posiadacz ulgowego biletu miesięcznego musi wykupić dodatkowy bilet na przejazd w porze
nocnej?

8. Podaj warunki jakie powinny spełniać współczynniki równania kwadratowego

ax

2

+ bx + c = 0 aby

(a) równanie posiadało dwa różne pierwiastki jednakowych znaków.

(b) równanie posiadało dwa różne pierwiastki różnych znaków.

(c) równanie posiadało dwa różne pierwiastki dodatnie.

(d) równanie posiadało dwa różne pierwiastki ujemne.

9. Podaj nierówności jakie musi spełniać liczba x aby

(a)

x

2

> 1

(e)

x(x + 3) = 0

(b)

x

2

< 4

(f)

x

∈ (1, 2i

(c)

1 < x

− 11 < 3

(g)

x

∈ (2, 3) ∪ (5, 7)

(d)

|x − 2| > 1

(h)

x

∈< 1, 4 > ∩(2, 9)

10. Zapisz przy pomocy symboli matematycznych i logicznych następujące fakty:

(a) p jest liczba pierwsza.

(b) Każda liczba rzeczywista dodatnia posiada pierwiastek kwadratowy.

(c) Ciąg (a

n

)

n

∈N

jest rosnący.

(d) Ciąg (a

n

)

n

∈N

jest różnowartościowy.

(e) Ciąg (a

n

)

n

∈N

jest ograniczony.

(f) Wartość bezwzględna z wartości funkcji sin x jest mniejsza lub rowna 1.

(g) Każda niezerowa liczba wymierna posiada swoja odwrotność.

(h) Kwadrat każdej liczby rzeczywistej jest liczba nieujemna.

11. Podać elementy następujących zbiorów:

(a)

{x ∈ Z : x

2

< 7

},

(b)

{x ∈ N : |3 − x| < 3},

(c)

{x ∈ Z : x

2

− 3x − 10 ¬ 0},

12. Przedstawić na płaszczyźnie obrazy następujących zbiorów:

(a)

{[x, y] ∈ R

2

: x

2

+ y

2

¬ 4},

(b)

{[x, y] ∈ R

2

: 2x + 3y

­ 12},

(c)

{[x, y] ∈ R

2

: 3x

− y ¬ 4},

(d)

{[x, y] ∈ R

2

: x

2

+ y = 4

},

13. Zbadać, jakie relacje zawierania zachodzą między zbiorami A i B:

(a) A =

{a, b, c, d} , B = {a, c, d}.

(b) A =

{x ∈ N : x

2

> 4

} , B = {x ∈ N : x > 2}.

2

(c) A =

{x ∈ R : x

3

− x = 0} , B = {x ∈ Q : x + 1 < 5}.

(d) A – zbiór liczb parzystych, B – zbiór liczb podzielnych przez 4.

(e) A – zbiór kwadratów, , B – zbiór prostokątów.

14. Wyznaczyć A

∪ B , A ∩ B, A \ B , B \ A następujących zbiorów A i B.

(a) A =

{a, b, c} , B = {c, d}.

(b) A =

{x ∈ N : x < 9} , B = {x ∈ N : x ­ 3}.

(c) A =

{x ∈ N : x < 9} , B = {x ∈ N : x ­ 3}.

15. Wyznaczyć i przedstawić na płaszczyźnie A

∪ B , A ∩ B, A \ B , B \ A następujących zbiorów

A i B.

(a) A =

{[x, y] ∈ R

2

: x

2

+ y

2

= 9

} ,

B =

{[x, y] ∈ R

2

: 2x

− y > 2}.

(b) A =

{[x, y] ∈ R

2

: 3x

− 2y

2

= 18

} ,

B =

{[x, y] ∈ R

2

: 2x + y > 2

}.

(c) A =

{[x, y] ∈ R

2

: x

2

+ y

¬ 9} ,

B =

{[x, y] ∈ R

2

: 2x

− y > −6}.

(d) A =

{(x, y) ∈ R

2

: x

2

+ y

2

¬ 4} ,

B =

{(x, y) ∈ R

2

: x + y > 1

}.

16. Wyznaczyć zbiór A

∩ B jeśli:

(a) A =

{2n + 1 : n ∈ N} , B = {3n : n ∈ N}

(b) A =

{n ∈ N : n ­ 10} , B = {3n : n ∈ N}

(c) A =

{n ∈ N : n ­ 10} , B = {n ∈ Z : n

2

> 100

}

17. Zilustrować graficznie następujące prawa działań na zbiorach:

(a) A

∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∪ (A ∩ C)

(b) A

∪ (B ∩ C) = (A ∪ B) ∩ (A ∪ C)

(c) A

\ (B ∪ C) = (A \ B) ∩ (A \ C)

(d) A

∩ (A \ B) = A \ (A ∩ B)

(e) (A

∪ B)

0

= A

0

∩ B

0

(f) (A

∩ B)

0

= A

0

∪ B

0

18. Sprawdzić, czy dla wszystkich zbiorów prawdziwe są następujące wzory:

(a) (A

\ B) ∪ B = A

(b) (A

\ B) ∪ B = (A ∩ B) \ B

(c) (A

∪ B) \ (A ∩ B) = A ∪ B

(d) (A

∪ B) ∩ C = A ∪ (BcapC)

(e) (A

∩ B) ∪ C = A ∩ (BcupC)

19. Wyznaczyć iloczyny kartezjańskie A

× B i B × A następujących zbiorów:

(a) A =

{a, b} , B = {a, b, c}

(b) A =

{1} , B = {1, 2, 3, 4, 5}

Czy A

× B = B × A?

20. Naszkicować na płaszczyźnie obrazy iloczynów kartezjańskich następujących zbiorów:

3

(a) A =

{x ∈ R : 0 ¬ x < 1} , B = {x ∈ R : 1 ¬ x < 2};

(b) A =

{x ∈ R : 0 ¬ x < 1 ∨ 2 < x ¬ 3} ,

B =

{x ∈ R : 1 ¬ x < 2 ∨ 3 < x ¬ 4}.

21. Czy dla wszystkich zbiorów A, B, C prawdziwa jest równość:

(a) A

∩ (B × C) = (A ∩ B) × (A ∩ C)?

(b) A

× (B ∩ C) = (A × B) ∩ (A × C)?

22. Niech A =

{1, 2, 3, 4} oraz B = {5, 6, 7}. Niech ∼

= będzie relacją w zbiorze A

× B określoną

następująco:

x ∼

= y

⇐⇒ |x − y| > 3.

Wyznaczyć zbiór P par spełniających tę relację.

23. Podać odpowiednie zbiory, w których mogą być określone następujące relacje:

(a) relacja rówieśnictwa,

(b) relacja starszeństwa,

(c) relacja bycia krewnym,

(d) relacja bycia potomkiem,

(e) relacja bycia właścicielem,

(f) relacja bycia własnością.

Jakie własności mają te relacje.

24. Jakie własności mają relacje następujące relacje określone w zbiorze A =

{a, b, c, d}.

(a) R =

{(a, b), (b, a), (a, a), (a, c), (b, d)}.

(b) R =

{(a, b), (c, a), (d, c), (b, d)}.

(c) R =

{(a, b), (a, c), (a, d), (b, d), (c, d), (c, b)}.

4