TWIERDZENIA RACHUNKU ZBIORÓW
Inkluzja między zbiorami:
(Z⊂Y^Y⊂X)→Z⊂X
Głosi ono, że dla dowolnych trzech zbiorów- jeśli pierwszy z nich zawiera się w drugim , a drugi zawiera się w trzecim, to pierwszy zbiór też zawiera się w trzecim.
Suma zbiorów:
Z⊂(Z∪Y)
Głosi ono, że każdy zbiór zawiera się w sumie powstałej z niego i dowolnego innego zbioru.
Z∪(Y∪X)=(Z∪Y)∪X
Głosi ono, że dla dowolnych trzech zbiorów- suma pierwszego i sumy drugiego oraz trzeciego z nich jest identyczna z sumą powstałą z sumy pierwszego i drugiego oraz trzeciego z nich. Twierdzenie to wskazuje, że kolejność operacji sumowania wielu zbiorów jest nieistotna.
(Z⊂X^Y⊂X)→(Z∪Y)⊂X
Głosi ono, że –dla dowolnych trzech wzorów- jeśli pierwszy z nich zawiera się w trzecim i drugi zawiera się w trzecim, to i suma pierwszego oraz drugiego zbioru zawiera się w trzecim.
Iloczyn zbiorów:
(Z∩Y)⊂Z
Głosi ono, że iloczyn dwóch dowolnych zbiorów zawiera się w pierwszym z nich. Dodajmy, że zawiera się także w drugim z nich.
Z∩(Y∩X) = (Z∩Y)∩X
Głosi ono, że dla dowolnych trzech zbiorów- iloczyn pierwszego oraz iloczynu drugiego i trzeciego z nich jest identyczny z iloczynem powstałym z iloczynem pierwszego i drugiego z nich oraz trzeciego zbioru. Twierdzenie to wskazuje, że kolejność operacji tworzenia iloczynu wielu zbiorów jest nieistotna.
[(Z⊂Y)^(Z⊂X)]→Z⊂(Y∩X)
Głosi ono, że- dla dowolnych trzech zbiorów- jeśli pierwszy z nich zawiera się w drugim i pierwszy zawiera się w trzecim, to pierwszy zawiera się też w iloczynie drugiego zbioru z trzecim.
Związki między sumami, a iloczynami zbiorów:
Z∩(Y∪X) = (Z∩Y)∪(Z∩X)
Głosi ono, że- dla dowolnych trzech zbiorów- iloczyn pierwszego oraz sumy drugiego i trzeciego z nich jest identyczny z sumą iloczynu pierwszego i drugiego z nich oraz iloczynu pierwszego i trzeciego z nich.
Z∪(Y∩X) = (Z∪Y)∩(Z∪X)
Głosi ono, że- dla dowolnych trzech zbiorów- suma pierwszego oraz iloczynu drugiego i trzeciego z nich jest identyczna z iloczynem sumy pierwszego i drugiego z nich oraz sumy pierwszego i trzeciego z nich.
Różnica zbiorów:
Z- Y⊂Z
Głosi ono, że różnica dwóch dowolnych zbiorów zawiera się w pierwszym z nich. Dodajmy że nie zawiera się w drugim z nich.
Z⊂Y→(X-Y⊂X-Z)
Głosi ono, że - dla dowolnych trzech zbiorów – jeśli pierwszy z nich zawiera się w drugim, to różnica trzeciego i drugiego z nich zawiera się w różnicy trzeciego i pierwszego z nich.
Związki między sumami, iloczynami i różnicami zbiorów:
Z- (Y∪X) = (Z-Y)∩(Z-X)
Głosi ono, że – dla dowolnych trzech zbiorów- różnica pierwszego oraz sumy drugiego i trzeciego z nich jest identyczna z iloczynem różnicy pierwszego i drugiego z nich oraz różnicy pierwszego i trzeciego z nich.
Z-(Y∩X) = (Z-Y) ∪ (Z-X)
Głosi ono, że – dla dowolnych trzech zbiorów- różnica pierwszego oraz iloczynu drugiego i trzeciego z nich jest identyczna z sumą różnicy pierwszego i drugiego z nich oraz różnicy pierwszego i trzeciego z nich.
Dopełnienie zbioru:
Z∪Z’ = U
Głosi ono, że suma dowolnego zbioru i jego dopełnienia jest identyczna ze zbiorem pełnym, czyli z przyjętym uniwersum.
Z∩Z’ = ∅
Głosi ono, że iloczyn dowolnego zbioru i jego dopełnienia jest identyczny ze zbiorem pustym.
Związki między sumami, iloczynami i dopełnieniami zbiorów:
(Z∪Y)’ = Z’ ∩ Y’
Głosi ono, że dopełnienie sumy dwóch dowolnych zbiorów jest identyczne z iloczynem dopełnienia pierwszego zbioru i dopełnienia drugiego zbioru.
(Z∩Y)’ = Z’ ∪ Y’
Głosi ono, że dopełnienie iloczynu dwóch dowolnych zbiorów jest identyczne z sumą dopełnienia pierwszego zbioru i dopełnienia drugiego zbioru.