Kurs wyrównawczy z matematyki

materiały pomocnicze

Urszula Cielniak

I. Rachunek zbiorów

SGH Warszawa 2010

opr. U. Cielniak

1

1 Rachunek zbiorów

Denicja 1.1 Zbiór to jedno z podstawowych poj¦¢ matematycznych. Przedmioty nale»¡ce

do zbioru nazywamy elementami zbioru. Zbiory oznaczamy du»ymi literami: A, B, C, . . . ,

a ich elementy maªymi: a, b, c, . . .

Zdanie, »e element x nale»y do zbioru A, zapisujemy x ∈ A. Natomiast zdanie, »e element
x

nie nale»y do zbioru A, zapisujemy x /∈ A.

Zbiór, który nie zawiera »adnego elementu, nazywamy zbiorem pustym i oznacza-

my ∅.

Do przedstawienia elementów zbioru u»ywamy nawiasów klamrowych, np. A = {1, 3, 5},

B = {x ∈ R : x > 3}.

Denicja 1.2 Zbiory A i B nazywamy równymi wtedy i tylko wtedy, gdy ka»dy element

zbioru A jest elementem zbioru B i na odwrót:

A = B ⇔ ∀x ∈ A (x ∈ A ⇔ x ∈ B).

Je»eli ka»dy element zbioru A jest elementem zbioru B, to mówimy, »e A jest podzbiorem
B

, i zapisujemy jako

A ⊂ B.

Denicja 1.3 Sum¡ zbiorów A i B nazywamy zbiór zawieraj¡cy wszystkie elementy

ze zbioru A i ze zbioru B:

A ∪ B = {x : x ∈ A ∨ x ∈ B}.

Suma zbiorów ma nast¦puj¡ce wªasno±ci:

1. A ∪ B = B ∪ A ,

2. A ∪ (B ∪ C) = (A ∪ B) ∪ C,

3. ∅ ∪ A = A,

4. A ∪ A = A.

Przykªad 1.4 Dane s¡ zbiory A = {−2, −1, 0, 1, 2} oraz B = h−2, 2). Sum¡ zbiorów A

i B jest zbiór:

A ∪ B = h−2, 2).

Denicja 1.5 Cz¦±ci¡ wspóln¡ zbiorów A i B nazywamy zbiór zawieraj¡cy elementy

zawarte jednocze±nie w zbiorze A i w zbiorze B:

A ∩ B = {x : x ∈ A ∧ x ∈ B}.

Wa»ne wªasno±ci cz¦±ci wspólnej to:

1. A ∩ B = B ∩ A,

2. A ∩ (B ∪ C) = (A ∩ B) ∩ C,

2

Rachunek zbiorów

3. ∅ ∩ A = ∅,

4. A ∩ A = A.

Przykªad 1.6 Cz¦±¢ wspólna zbiorów A i B z poprzedniego przykªadu jest równa:

A ∩ B = {−2, −1, 0, 1}.

Denicja 1.7 Ró»nic¡ zbiorów A i B nazywamy zbiór zawieraj¡cy elementy zawarte

w zbiorze A i niezawarte w zbiorze B:

A − B = {x : x ∈ A ∧ x /

∈ B}.

Ró»nica zbiorów ma nast¦puj¡ce wªasno±ci:

1. A − B 6= B − A, gdy A 6= B,

2. A − ∅ = A, ∅ − A = ∅.

Przykªad 1.8 Ró»nica zbiorów A i B z poprzedniego przykªadu jest równa:

A − B = {2},

a ró»nica zbiorów B i A:

B − A = (−2, −1) ∪ (−1, 0) ∪ (0, 1) ∪ (1, 2).

Denicja 1.9 Zbiory A i B nazywamy rozª¡cznymi, gdy ich cz¦±¢ wspólna jest zbiorem

pustym:

A ∩ B = ∅.

Je»eli zbiory A, B, . . . rozpatrujemy jako podzbiory ogólniejszego zbioru X, to zbiór

X

nazywamy przestrzeni¡. Mo»emy teraz poda¢ kolejn¡ denicj¦:

Denicja 1.10 Dopeªnieniem zbioru A nazywamy ró»nic¦ mi¦dzy przestrzeni¡ X

a zbiorem A i oznaczamy jako A

0

:

A

0

= X − A.

Przedstawmy wa»ne wªasno±ci dopeªnie«:

1. A − B = A ∩ B

0

,

2. A ∪ A

0

= X

,

3. A ∩ A

0

= ∅

,

4. X

0

= ∅

, ∅

0

= X

,

5. (A

0

)

0

= A

,

6. (A ∪ B)

0

= A

0

∩ B

0

(pierwsze prawo de Morgana),

7. (A ∩ B)

0

= A

0

∪ B

0

(drugie prawo de Morgana).

opr. U. Cielniak

3

Przykªad 1.11 Zbiory A i B z poprzedniego przykªadu s¡ podzbiorami zbioru liczb

rzeczywistych. Ich dopeªnienia b¦d¡ równe:

A

0

= R − {−2, −1, 0, 1, 2},

B

0

= (−∞, −2) ∪ h2, +∞).

Denicja 1.12 Iloczynem kartezja«skim zbiorów A i B nazywamy zbiór:

A × B = {(x, y) : x ∈ A ∧ y ∈ B}.

Elementami iloczynu kartezja«skiego s¡ pary uporz¡dkowane, w których na pierwszym

miejscu jest element z pierwszego czynnika, a na drugim  element z drugiego czynnika.

Je»eli oba zbiory s¡ sko«czone, zbiór A ma n elementów, a zbiór B m elementów, to A×B

ma n · m elementów.

Przykªad 1.13 Iloczyn kartezja«ski A × B zbiorów A i B z poprzedniego przykªadu to

wszystkie pary uporz¡dkowane, w których na pierwszym miejscu stoi liczba −2, −1, 0, 1

lub 2, a na drugim liczba z przedziaªu h−2, 2). Iloczyn kartezja«ski wygodnie jest przed-

stawi¢ w ukªadzie wspóªrz¦dnych:

1.1 Zadania

1. Wyznaczy¢ zbiory A ∪ B, A ∩ B, A − B, B − A, A

0

, je±li:

(a) A = (2, 4i, B = h−1; 3, 5i,

(b) A = h0, 3) ∪ (4, 5), B = (1; 4, 5i,

(c) A = (−∞, 4i, B = (0, 6i.

2. Wyznaczy¢ zbiory: B ∪ (A ∩ B), A ∩ (B ∪ C), (B − A) ∩ C, B ∪ (C − A), je±li:

4

Rachunek zbiorów

(a) A = {0, 1, 2, 3, 4}, B = {−2, 0, 2}, C = {3, 4, 5},

(b) A = (−∞, 5), B = (2, +∞), C = h3, 4),

(c) A = (−2, 6i, B = h1, 6i, C = h6, +∞).

3. Poda¢ ilustracj¦ graczna zbioru A × B, je±li:

(a) A = (1, 5i, B = h−1, 1i,

(b) A = (−3, −2) ∩ h0, 2i, B = h−3, 3),

(c) A = {x ∈ R : x > 0}, B = {−2, 0, 2}.

4. Zilustrowa¢ w ukªadzie wspóªrz¦dnych drugie prawo de Morgana, je±li

A = {(x, y) ∈ R

2

: 3x − y > −3}, B = {(x, y) ∈ R

2

: y 6 0}.

Do nast¦pnego zadania potrzebne jest krótkie przypomnienie.

Diagram Venna to schemat uªatwiaj¡cy przedstawianie zale»no±ci mi¦dzy zbio-

rami. Ma posta¢ gur geometrycznych na pªaszczy¹nie  zwykle okr¦gów reprezen-

tuj¡cych zbiory, narysowanych w prostok¡cie oznaczaj¡cym przestrze« tych zbiorów.

Rysunek 1.1: Diagram Venna dla trzech zbiorów A, B, C

5. Za pomoc¡ diagramu Venna sprawdzi¢, czy równo±¢ jest prawdziwa.

(a) B − A = B/(B ∩ A),

(b) B = (B − A) ∪ (A ∩ B),

(c) A ∩ B

0

= A − B

,

(d) (A − B) − C) = A − (B ∪ C),

(e) (A ∪ C) − B = [A − (A ∩ B)] ∪ [C − (C ∩ B)],

(f) (A ∪ B)

0

= A

0

∩ B

0

,

(g) (A ∩ B)

0

= A

0

∪ B

0

.

opr. U. Cielniak

5

1.2 Odpowiedzi

1. (a) A ∪ B = h−1, 4i; A ∩ B = (2; 3, 5i; A − B = (3, 5; 4i; B − A = h−1, 2i; A

0

=

(−∞, 2i ∪ (4, +∞)

;

(b) A ∪ B = (0, 5); A ∩ B = (1, 3) ∪ (4; 4, 5i; A − B = h0, 1i ∪ (4, 5; 5); B − A =

h3, 4i; A

0

= (−∞, 0) ∪ h3, 4i ∪ h5, +∞)

;

(c) A ∪ B = (−∞, 6i; A ∩ B = (0, 4); A − B = (−∞, 0i; B − A = (4, 6i; A

0

=

(4, +∞)

.

2. (a) B∪(A∩B) = B; A∩(B∪C) = A∩{0, −2, 2, 3, 4, 5} = {0, 2, 3, 4}; (B−A)∩C =

{−2} ∩ C = ∅; B ∪ (C − A) = B ∪ {5} = {−2, 0, 2, 5}

;

(b) B∪(A∩B) = B; A∩(B∪C) = A∩B = (2, 5); (B−A)∩C = h5, +∞)∩h3, 4) =

∅; B ∪ (C − A) = (2, +∞) ∪ ∅ = (2, +∞)

;

(c) B ∪ (A ∩ B) = B; A ∩ (B ∪ C) = A ∩ h5, +∞) = h1, 6i; (B − A) ∩ C = ∅ ∩ C =

∅; B ∪ (C − A) = B ∪ (6, +∞) = h1, +∞)

.

3. (a), (b), (c) Zob. rysunki.

Rysunek 1.2: Zadanie 3a

4. W jednym ukªadzie wspóªrz¦dnych nale»y zaznaczy¢ zbiór (A ∩ B)

0

, w drugim zbiór

A

0

∪ B

0

, a nast¦pnie sprawdzi¢, czy zaznaczone zostaªy te same obszary.

5. (a) tak,

(b) tak,

(c) tak,

(d) tak,

(e) tak,

(f) tak,

(g) tak.

6

Rachunek zbiorów

Rysunek 1.3: Zadanie 3b

Rysunek 1.4: Zadanie 3c

opr. U. Cielniak

7

Rysunek 1.5: Zadanie 4  ilustracja drugiego prawa de Morgana

Rysunek 1.6: Zadanie 5a

Rysunek 1.7: Zadanie 5c

8

Rachunek zbiorów

Rysunek 1.8: Zadanie 5d

Rysunek 1.9: Zadanie 5f