W
W
Y
Y
K
K
Ł
Ł
A
A
D
D
4
4
P
P
Ł
Ł
Y
Y
N
N
P
P
A
A
S
S
C
C
A
A
L
L
A
A
,
,
R
R
Ó
Ó
W
W
N
N
A
A
N
N
I
I
E
E
E
E
U
U
L
L
E
E
R
R
A
A
,
,
S
S
T
T
A
A
T
T
Y
Y
K
K
A
A
P
P
Ł
Ł
Y
Y
N
N
Ó
Ó
W
W
“Gallery of Fluid Motion”-M. Samimy, K.S. Breuer
W
W
Y
Y
K
K
Ł
Ł
A
A
D
D
4
4
P
P
Ł
Ł
Y
Y
N
N
P
P
A
A
S
S
C
C
A
A
L
L
A
A
,
,
R
R
Ó
Ó
W
W
N
N
A
A
N
N
I
I
E
E
E
E
U
U
L
L
E
E
R
R
A
A
,
,
S
S
T
T
A
A
T
T
Y
Y
K
K
A
A
P
P
Ł
Ł
Y
Y
N
N
Ó
Ó
W
W
“Gallery of Fluid Motion”-M. Samimy, K.S. Breuer
P
P
R
R
A
A
W
W
O
O
P
P
A
A
S
S
C
C
A
A
L
L
A
A
Prawo wiążące siłę działającą na powierzchnię
obszaru z ciśnieniem gazu lub cieczy
wypełniających ten obszar.
n
dF
n p dA
s
iła na płyn
ciśnienie
Prawo Pascala obowiązuje w płynie nieruchomym
dA
PŁYN PASCALA
to taki płyn, dla którego prawo Pascala
obowiązuje w spoczynku i w ruchu (zostaje ono rozszerzone na
ruch).
Dla płynu Pascala pomijamy składową styczną siły
powierzchniowej.
TENSOR NAPRĘŻENIA DLA PŁYNU PASCALA
Zatem
i k i
k
p
p
e e
i, k
1, 2,3
f
n
f
n p
Wiemy, że jednostkowa siła
powierzchniowa może być
wyrażona wzorem:
dla płynu Pascala
Składowe tensora
są określone przez macierz jednostkową
i k
, co oznacza, że dla
i = k
jego
wartości są równe
1
, a
dla
i ≠ k
są
zerami
.
Wykonajmy operację mnożenia skalarnego
:
j
i k
i
k
i k
j
i
k
i k
ji
k
j
j
j
jk
k
k
j
k
p
p
e
p
e e
e
e
e
e
x
x
x
p
p
e
e
x
x
R
R
Ó
Ó
W
W
N
N
A
A
N
N
I
I
E
E
E
E
U
U
L
L
E
E
R
R
A
A
Po przeprowadzeniu operacji mnożenia otrzymamy związek:
p
Wstawmy go do
równania Cauchy’ego
Otrzymane równanie nosi nazwę
RÓWNANIA EULERA
dv
F
p
dt
dv
1
F
p
dt
Z
apiszmy to równanie dla składowych
i
i
i
dv
1
p
F
dt
x
RÓWNANIE EULERA opisuje ruch płynu o
uproszczonych własnościach. Siła powierzchniowa
została określona tak samo w ruchu jak i w
spoczynku: n
ie posiada składowych stycznych, a
składnik ciśnieniowy jest w niej dominujący
pole
przyspieszenia
pole sił
objętościowych
pole sił wynikające z
niejednorodności ciśnienia
S
S
T
T
A
A
T
T
Y
Y
K
K
A
A
P
P
Ł
Ł
Y
Y
N
N
Ó
Ó
W
W
P
łyn w przyjętym układzie odniesienia jest w bezruchu.
Wtedy
v
0
, a
równanie Eulera
upraszcza się do postaci:
1
F
p
RÓWNANIE
RÓWNOWAGI
k
i
i
k
rot F
0
F
F
x
x
WARUNEK
KONIECZNY
RÓWNOWAGI
Zakładamy stałą wielkość
ρ
Gdy warunek konieczny
równowagi jest spełniony istnieje funkcja
1
2
3
(x , x , x )
taka, że
-
nazywa się potencjałem pola
F
.
Obliczamy go następująco:
k
k
F
x
k
F
k
1
1
2
2
3
3
k
d
dx
(F dx
F dx
F dx )
x
Płyn nieściśliwy czyli
ρ = const
Równanie równowagi sprowadza się do postaci:
p
F
p
p
0
Z ostatniego związku wyznaczamy pole ciśnienia w ośrodku
nieściśliwym
p
const
Stałą
const
wyznaczamy z informacji o wartości ciśnienia w
zadanym punkcie.
Płyn .ściśliwy czyli
ρ ≠ const
Trzy rodzaje stanów równowagi:
nietrwała – zachodzi wtedy,
gdy
każda zmiana burzy stan
równowagi
obojętna – zachodzi wtedy,
gdy zaistniała zmiana
pozostaje bez skasowania
równowagi
trwała – zachodzi wtedy, gdy
zaistniała zmiana samoistnie
znika
Równowaga obojętna
L
P
O
I
O
II
Dwie elementarne porcje płynu mogą być bez
naruszania równowagi zamienione miejscami.
Przemiana zachodząca przy przemieszczaniu wzdłuż
linii L+P musi być przemianą odwracalną.
Odwracalność oznacza stałość entropii
s
const
1
T ds
di
dp
0
0
p
p
s const
1
2
3
p(
dp
x , x ,
i
)
x )
i
(
Zatem:
gdzie entalpia
właściwa
i
jest
równa:
Można pokazać, że gradient entalpii właściwej równy jest prawej
stronie równania równowagi.
Z drugiej strony, gdy jest spełniony warunek równowagi mamy
W wyniku całkowania dostaniemy
równanie równowagi dla
ośrodka ściśliwego
k
k
k
i
d i
p
1
p
x
d p x
x
F
i
F
i
zatem
i
const
Korzystając z równania równowagi, jak również
ze
znanego związku i=c
p
T oraz z równania
stanu gazu doskonałego możemy wyznaczyć
pole
ciśnienia, masy właściwej czy też
temperatury.