W

W

Y

Y

K

K

Ł

Ł

A

A

D

D

4

4

P

P

Ł

Ł

Y

Y

N

N

P

P

A

A

S

S

C

C

A

A

L

L

A

A

,

,

R

R

Ó

Ó

W

W

N

N

A

A

N

N

I

I

E

E

E

E

U

U

L

L

E

E

R

R

A

A

,

,

S

S

T

T

A

A

T

T

Y

Y

K

K

A

A

P

P

Ł

Ł

Y

Y

N

N

Ó

Ó

W

W

“Gallery of Fluid Motion”-M. Samimy, K.S. Breuer

P

P

R

R

A

A

W

W

O

O

P

P

A

A

S

S

C

C

A

A

L

L

A

A

Prawo wiążące siłę działającą na powierzchnię

obszaru z ciśnieniem gazu lub cieczy

wypełniających ten obszar.

n

dF

n p dA

 

s

iła na płyn

ciśnienie

Prawo Pascala obowiązuje w płynie nieruchomym

dA

PŁYN PASCALA

to taki płyn, dla którego prawo Pascala

obowiązuje w spoczynku i w ruchu (zostaje ono rozszerzone na
ruch).

Dla płynu Pascala pomijamy składową styczną siły

powierzchniowej.

TENSOR NAPRĘŻENIA DLA PŁYNU PASCALA

Zatem



i k i

k

p

p

e e

i, k

1, 2,3



   



f

n

 

f

n p

  

Wiemy, że jednostkowa siła

powierzchniowa może być

wyrażona wzorem:

dla płynu Pascala

Składowe tensora



są określone przez macierz jednostkową

 

 

i k





, co oznacza, że dla

i = k

jego

wartości są równe

1

, a

dla

i ≠ k

są

zerami

.

Wykonajmy operację mnożenia skalarnego

 

:









j

i k

i

k

i k

j

i

k

i k

ji

k

j

j

j

jk

k

k

j

k

p

p

e

p

e e

e

e

e

e

x

x

x

p

p

e

e

x

x





 









   



 



 















 





R

R

Ó

Ó

W

W

N

N

A

A

N

N

I

I

E

E

E

E

U

U

L

L

E

E

R

R

A

A

Po przeprowadzeniu operacji mnożenia otrzymamy związek:

p

  

Wstawmy go do

równania Cauchy’ego

Otrzymane równanie nosi nazwę

RÓWNANIA EULERA

dv

F

p

dt







 

dv

1

F

p

dt



  

Z

apiszmy to równanie dla składowych

i

i

i

dv

1

p

F

dt

x





 



RÓWNANIE EULERA opisuje ruch płynu o

uproszczonych własnościach. Siła powierzchniowa

została określona tak samo w ruchu jak i w

spoczynku: n

ie posiada składowych stycznych, a

składnik ciśnieniowy jest w niej dominujący

pole

przyspieszenia

pole sił

objętościowych

pole sił wynikające z

niejednorodności ciśnienia

S

S

T

T

A

A

T

T

Y

Y

K

K

A

A

P

P

Ł

Ł

Y

Y

N

N

Ó

Ó

W

W

P

łyn w przyjętym układzie odniesienia jest w bezruchu.

Wtedy

v

0



, a

równanie Eulera

upraszcza się do postaci:

1

F

p



 

RÓWNANIE

RÓWNOWAGI

k

i

i

k

rot F

0

F

F

x

x





 







WARUNEK

KONIECZNY

RÓWNOWAGI

Zakładamy stałą wielkość

ρ

Gdy warunek konieczny

równowagi jest spełniony istnieje funkcja

1

2

3

(x , x , x )



taka, że

-

nazywa się potencjałem pola

F

.

Obliczamy go następująco:

k

k

F

x











k

F



 

k

1

1

2

2

3

3

k

d

dx

(F dx

F dx

F dx )

x





















 



Płyn nieściśliwy czyli

ρ = const

Równanie równowagi sprowadza się do postaci:

p

F



 

  

 

p





 

   

 

p

0























Z ostatniego związku wyznaczamy pole ciśnienia w ośrodku
nieściśliwym

p

const







Stałą

const

wyznaczamy z informacji o wartości ciśnienia w

zadanym punkcie.

Płyn .ściśliwy czyli

ρ ≠ const

Trzy rodzaje stanów równowagi:



nietrwała – zachodzi wtedy,

gdy

każda zmiana burzy stan

równowagi



obojętna – zachodzi wtedy,

gdy zaistniała zmiana

pozostaje bez skasowania

równowagi



trwała – zachodzi wtedy, gdy

zaistniała zmiana samoistnie

znika

Równowaga obojętna

L

P
O

I

O

II

Dwie elementarne porcje płynu mogą być bez
naruszania równowagi zamienione miejscami.
Przemiana zachodząca przy przemieszczaniu wzdłuż
linii L+P musi być przemianą odwracalną.
Odwracalność oznacza stałość entropii

s

const



1

T ds

di

dp

0









0

p

p

s const

1

2

3

p(

dp

x , x ,

i

)

x )

i

(











Zatem:

gdzie entalpia
właściwa

i

jest

równa:

Można pokazać, że gradient entalpii właściwej równy jest prawej
stronie równania równowagi.

Z drugiej strony, gdy jest spełniony warunek równowagi mamy

W wyniku całkowania dostaniemy

równanie równowagi dla

ośrodka ściśliwego

k

k

k

i

d i

p

1

p

x

d p x

x



















F

i

 

F



 

i



  

zatem

i

const



 

Korzystając z równania równowagi, jak również
ze

znanego związku i=c

p

T oraz z równania

stanu gazu doskonałego możemy wyznaczyć
pole

ciśnienia, masy właściwej czy też

temperatury.