Teoria sprężystości 

Wykład 3 

Materialny ośrodek ciągły; 

naprężenia 

Wektor naprężenia 

s

d

d F

T

n



2 



s 

Zakłada się brak 
obciążeń 
momentowych! 

Wektor naprężenia 

k

S



3

3

2

2

1

1

,

,

k

k

k

k

k

k

T

T

T













ij



3 

Rozważmy element powierzchniowy równoległy do jednej z płaszczyzn układu 
współrzędnych 

Pierwszy wskaźnik określa 
orientację elementu  
powierzchniowego 

Drugi wskaźnik numeruje 
współrzędną wektora 
naprężenia 

Tensor naprężenia 

Bilans pędu, bilans krętu 

M

K

R

P









,











V

V

dV

dS

X

T

R

n















V

V

dV

dS

X

r

T

r

M

n











V

V

dV

dV





v

r

K

v

P

,

4 

Prawa Eulera (obowiązujące dla bryły sztywnej) 

Siły 

powierzchniowe 

Siły 

objętościowe 

Wzór Cauchy’ego 

5 

n

T

21



22



x

1

 

x

2

 

x

3

 

n 

23



P 

Wzór Cauchy’ego 

















dS

h

v

dS

h

X

dS

T

dS

n

dS

n

dS

n

3

1

3

1

'

1

1

1

3

3

31

2

2

21

1

1

11



































 





















n

31

3

21

2

11

1

1







n

n

n

T







n

ji

j

i

n

T





n

6 

Naprężenia główne 

j

ij

i

n

T







n





0





j

ji

ji

n











0

det





ji

ji







7 

Zakładamy, że tensor naprężenia jest symetryczny. 
Stawiamy pytanie: W jakim kierunku wektor naprężenia jest prostopadły do 
elementu powierzchniowego, na który działa? 

?

j

n

Układ równań liniowych 

 jednorodnych 

Sytuacja w pełni analogiczna do rozważanej w przypadku tensora odkształcenia 

Naprężenia główne 

0

3

2

2

1

3









I

I

I







33

22

11

1













I

33

31

13

11

33

32

23

22

22

21

12

11

2































I

33

32

31

23

22

21

13

12

11

3





















I

8 

3

2

1

3

3

1

3

2

2

1

2

3

2

1

1







































I

I

I

Naprężenia główne 

n

n

T

n

T

n

n

n

n











 









,

i

j

ji

i

i

j

ji

i

n

n

n

T

n

T





9 

Inne sformułowanie zagadnienia 

Normalna

 

składowa 

wektora naprężenia 

Zagadnienie własne dla tensora naprężenia można interpretować jako 
poszukiwanie takich kierunków, dla których składowa ta osiąga wartość 
ekstremalną! 

Płaski stan naprężenia 

0

31

32

33













 

 

 

 

























1

0

0

0

cos

sin

0

sin

cos









Q

10 

Stan naprężeń, w którym 

nazywa 

się płaskim stanem naprężenia w płaszczyźnie 

x

1 

x

2

 



 

x 

y 

x’ 

y’ 

Płaski stan naprężenia 

xy

y

x























21

12

22

11

,

,

























cos

sin

2

sin

cos

2

2

1

1

'

11

'

xy

y

x

jk

k

j

x





















































2

2

'

2

2

'

sin

cos

cos

sin

cos

sin

2

cos

sin

















xy

y

x

xy

xy

y

x

y

11 

Oznaczamy 

Podobnie 

Płaski stan naprężenia 























2

cos

1

2

1

cos

,

2

cos

1

2

1

sin

1

cos

2

sin

2

1

2

cos

2

2

2

2





























































2

cos

2

sin

2

2

sin

2

cos

2

2

2

sin

2

cos

2

2

'

'

'

xy

y

x

xy

xy

y

x

y

x

y

xy

y

x

y

x

x





























12 

Płaski stan naprężenia 

'

'

'

'

'

'

2

,

2

xy

y

xy

x

y

x

y

x









































0

2

2

tg

2

tg

'











xy

y

x

xy

g













13 

Zauważmy, że 

przy czym 

Koło Mohra 

14 



 



 



xy

 

½ (



x

 - 



y

 ) 

? 



x

 



y

 

Koło Mohra 





'

'

,

xy

x





15 



 



 

2 



 



 

Koło Mohra 







































































2

sin

2

cos

2

2

sin

2

sin

4

1

cos

2

cos

4

1

2

2

cos

4

1

2

2

2

2

2

2

2

'

xy

y

x

y

x

y

x

xy

y

x

xy

y

x

y

x

xy

y

x

x













































16 

(…) 

Koło Mohra 













2

4

1

4

1

2

4

1

2

min

max

2

2

max

2

2

min

2

2

max



































































y

x

xy

y

x

xy

y

x

y

x

xy

y

x

17 

Ekstremalne wartości naprężeń normalnych – naprężenia główne