1
Politechnika Warszawska
Instytut Automatyki i Robotyki
Prof. dr hab. in
ż
. Jan Maciej Ko
ś
cielny
PODSTAWY AUTOMATYKI
PODSTAWY AUTOMATYKI
cz
ęść
7
Stabilno
ść
2
Stabilno
ść
Stabilno
ść
jest cech
ą
układu, polegaj
ą
c
ą
na powracaniu do
stanu równowagi stałej po ustaniu działania zakłócenia, które
wytr
ą
ciło układ z tego stanu.
y
t
a)
b)
y
t
1
2
3
4
1
2
3
3
Stabilno
ść
Zamkni
ę
ty układ liniowy b
ę
dziemy uwa
ż
a
ć
za stabilny, je
ż
eli:
Zamkni
ę
ty układ liniowy b
ę
dziemy uwa
ż
a
ć
za stabilny, je
ż
eli:
• przy ka
ż
dej sko
ń
czonej warto
ś
ci zakłócenia z(t) i
• przy ka
ż
dej sko
ń
czonej warto
ś
ci zadanej w(t) oraz
• dla dowolnych warunków pocz
ą
tkowych
sygnał wyj
ś
ciowy y(t) d
ąż
y
ć
b
ę
dzie do sko
ń
czonej warto
ś
ci ustalonej
dla czasu d
ążą
cego do niesko
ń
czono
ś
ci.
Układ jest stabilny asymptotycznie, gdy po zanikni
ę
ciu
zakłócenia układ powraca do tego samego stanu
równowagi co zajmowany poprzednio.
4
Stabilno
ść
z
b
dt
z
d
b
dt
z
d
b
y
a
dt
y
d
a
dt
y
d
a
m
m
m
m
m
m
n
n
n
n
n
n
0
1
1
1
0
1
1
1
+
+
+
=
+
+
+
−
−
−
−
−
−
K
K
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
0
1
1
0
1
1
s
N
s
M
a
s
a
s
a
b
s
b
s
b
s
z
s
y
s
G
n
n
n
n
m
m
m
m
=
+
+
+
+
+
+
=
=
−
−
−
−
K
K
Układ zamkni
ę
ty opisany jest za pomoc
ą
liniowego równania
ró
ż
niczkowego lub odpowiadaj
ą
cej mu transmitancji operatorowej:
Równanie charakterystycznego układu zamkni
ę
tego - (mianownik
Równanie charakterystycznego układu zamkni
ę
tego - (mianownik
transmitancji operatorowej równy zeru)
Pierwiastki równania charakterystycznego układu zamkni
ę
tego - s
k
0
)
(
0
1
1
=
+
+
+
=
−
−
a
s
a
s
a
s
N
n
n
n
n
K
5
Stabilno
ść
Przykłady:
Stabilno
ść
jest cech
ą
układu, nie zale
ż
y od charakteru zakłócenia
Aby stwierdzi
ć
czy dany układ jest stabilny, wystarczy zbada
ć
przebieg
jego charakterystyki impulsowej:
)]
(
[
)
(
1
s
G
L
t
g
−
=
t
t
Be
Ae
s
B
s
A
L
s
s
s
L
L
t
g
2
1
1
2
1
)
2
)(
1
(
)
(
)
(
−
−
−
−
+
=
+
+
+
=
+
+
=
0
)
(
lim
=
→∝
t
g
t
s
s
s
s
2
1
)
2
)(
1
(
+
+
+
+
t
t
t
Cte
Be
Ae
s
C
s
B
s
A
L
s
s
s
L
L
t
g
2
2
2
1
2
1
)
2
(
2
1
)
2
)(
1
(
)
(
)
(
−
−
−
−
−
+
+
=
+
+
+
+
+
=
+
+
=
2
12
2
,
2
12
2
,
1
3
sin
3
3
cos
4
2
1
)
4
2
)(
1
(
)
(
)
(
3
2
1
2
1
2
1
j
s
j
s
s
t
e
B
C
t
Be
Ae
s
s
C
Bs
s
A
L
s
s
s
s
L
L
t
g
t
t
t
−
−
=
+
−
=
−
=
⋅
−
+
⋅
⋅
+
=
+
+
+
+
+
=
+
+
+
=
−
−
−
−
−
6
Stabilno
ść
Przykłady:
B
Ae
s
B
s
A
L
s
s
s
L
L
t
g
t
+
=
+
+
=
+
=
−
−
−
1
)
1
(
)
(
)
(
1
1
Ct
B
Ae
s
C
s
B
s
A
L
s
s
s
L
L
t
g
t
+
+
=
+
+
+
=
+
=
−
−
−
2
1
2
1
1
)
1
(
)
(
)
(
B
t
g
t
=
→∝
)
(
lim
=∝
→∝
)
(
lim
t
g
t
2
12
2
,
2
12
2
,
1
3
sin
3
3
cos
4
2
1
)
4
2
)(
1
(
)
(
)
(
3
2
1
2
1
2
1
j
s
j
s
s
t
e
B
C
t
Be
Ae
s
s
C
Bs
s
A
L
s
s
s
s
L
L
t
g
t
t
t
−
=
+
=
−
=
⋅
−
+
⋅
⋅
+
=
+
−
+
+
+
=
+
−
+
=
−
−
−
t
t
Be
Ae
s
B
s
A
L
s
s
s
L
L
t
g
2
1
1
2
1
)
2
)(
1
(
)
(
)
(
+
=
−
+
+
=
−
+
=
−
−
−
=∝
→∝
)
(
lim
t
g
t
=∝
→∝
)
(
lim
t
g
t
7
Konieczny i dostateczny warunek stabilno
ś
ci
Koniecznym i dostatecznym warunkiem stabilno
ś
ci
asymptotycznej układu jest, aby pierwiastki równania
charakterystycznego układu zamkni
ę
tego (bieguny)
były ujemne lub miały ujemne cz
ęś
ci rzeczywiste:
0
)
Re(
<
k
s
Układ jest stabilny nieasymptotycznie, je
ś
li jego
równanie charakterystyczne oprócz pierwiastków
równanie charakterystyczne oprócz pierwiastków
ujemnych i zespolonych o ujemnych cz
ęś
ciach
rzeczywistych posiada jeden pierwiastek zerowy
Układ jest niestabilny, je
ś
li jego równanie
charakterystyczne posiada wi
ę
cej ni
ż
jeden pierwiastek
zerowy lub pierwiastki dodatnie lub zespolone o
dodatnich lub zerowych cz
ęś
ciach rzeczywistych
8
Ograniczenie stosowalno
ś
ci kryterium bezpo
ś
redniego
Trudno
ś
ci wyznaczenia pierwiastków równania charakterystycznego
układów opisanych równaniami ró
ż
niczkowymi wy
ż
szych rz
ę
dów
(wyskoki stopie
ń
równania charakterystycznego)
Stabilno
ść
jest cech
ą
układu, nie zale
ż
y od charakteru zakłócenia
Stabilno
ść
Metody oceny stabilno
ś
ci bez konieczno
ś
ci obliczania pierwiastków
równania charakterystycznego:
• kryterium Hurwitza
• kryterium Michajłowa
• kryterium Nyquista
9
Kryterium Hurwitza
Równanie charakterystyczne układu :
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
s
N
s
M
s
z
s
y
s
G
=
=
0
)
(
=
s
N
0
0
1
1
1
=
+
+
+
+
−
−
a
s
a
s
a
s
a
n
n
n
n
K
Warunek 1
Warunek 1
wszystkie współczynniki równania charakterystycznego istniej
ą
i maj
ą
jednakowy znak (warunek konieczny, ale
niedostateczny)
0
,
,
0
,
0
0
1
>
>
>
−
a
a
a
n
n
K
10
Kryterium Hurwitza
Warunek 2 – podwyznaczniki
∆
i
, od i=2 do i=n-1, wyznacznika
głównego
∆
n
s
ą
wi
ę
ksze od zera. Wyznacznik
∆
n
, utworzony
ze współczynników równania charakterystycznego, ma n
wierszy i n kolumn:
K
K
K
1
2
3
1
0
0
0
0
−
−
−
−
=
∆
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
0
1
=
+
+
+
+
−
a
s
a
s
a
s
a
n
n
K
K
K
K
K
K
K
K
K
3
4
5
6
7
1
2
3
4
5
−
−
−
−
−
−
−
−
−
−
=
∆
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
a
a
Kryterium umo
ż
liwia stwierdzenie stabilno
ś
ci nieasymptotycznej i
asymptotycznej. Stabilno
ść
nieasymptotyczna zachodzi wtedy, gdy w
równaniu charakterystycznym współczynnik:
0
0
=
a
Nie mo
ż
na bada
ć
stabilno
ś
ci układów, w których wyst
ę
puj
ą
człony opó
ź
niaj
ą
ce
0
0
1
1
1
=
+
+
+
+
−
−
a
s
a
s
a
s
a
n
n
n
n
K
11
Kryterium Hurwitza
Przykład:
=
∆
=
1
0
0
0
2
2
1
0
1
3
2
2
0
0
1
3
4
n
0
4
2
6
)
det(
1
3
1
>
=
−
=
∆
=
=
∆
−
n
n
a
a
0
1
2
2
3
)
(
2
3
4
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
=
s
s
s
s
s
N
3
s
0
1
9
4
12
)
det(
2
1
0
3
2
2
0
1
3
0
3
3
4
5
1
2
3
1
3
<
−
=
−
−
=
∆
=
=
∆
−
−
−
−
−
−
−
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
0
4
2
6
)
det(
2
2
1
3
2
2
3
1
2
>
=
−
=
∆
=
=
∆
−
−
−
n
n
n
n
a
a
a
a
Przykład:
0
1
2
3
)
(
3
4
=
+
+
+
=
s
s
s
s
N
3
s
Układ niestabilny
12
Kryterium Hurwitza
Przykład:
=
∆
1
3
2
2
0
0
1
3
0
2
2
3
)
(
2
3
4
5
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
=
s
s
s
s
s
s
N
0
1
2
2
3
)
(
2
3
4
=
+
⋅
+
⋅
+
⋅
+
=
s
s
s
s
s
N
0
1
9
4
12
)
det(
2
1
0
3
2
2
0
1
3
0
3
3
4
5
1
2
3
1
3
<
−
=
−
−
=
∆
=
=
∆
−
−
−
−
−
−
−
n
n
n
n
n
n
n
n
a
a
a
a
a
a
a
a
=
∆
=
1
0
0
0
2
2
1
0
1
3
2
2
4
n
0
4
2
6
)
det(
2
2
1
3
2
2
3
1
2
>
=
−
=
∆
=
=
∆
−
−
−
n
n
n
n
a
a
a
a
13
Kryterium Nyquista
Kryterium Nyquista - pozwala bada
ć
stabilno
ść
układu (tylko)
zamkni
ę
tego na podstawie przebiegu charakterystyki
cz
ę
stotliwo
ś
ciowej układu otwartego, któr
ą
mo
ż
na wyznaczy
ć
zarówno analitycznie, jak i do
ś
wiadczalnie
z
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
s
N
s
M
s
G
s
G
s
z
s
u
s
G
O
O
O
=
=
=
Transmitancja układu otwartego:
Transmitancja układu zamkni
ę
tego:
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
1
s
G
s
G
s
G
s
z
s
y
s
G
Z
+
=
=
14
Kryterium Nyquista
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
1
s
M
s
N
s
N
s
G
s
z
s
y
s
G
o
Z
+
=
=
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
s
N
s
M
s
G
s
G
s
z
s
u
s
G
O
O
O
=
=
=
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
2
1
1
s
G
s
G
s
G
s
z
s
y
s
G
Z
+
=
=
)
(
)
(
1
)
(
)
(
)
(
)
(
1
s
N
s
M
s
G
s
z
s
y
s
G
o
o
Z
+
=
=
)
(
)
(
)
(
s
M
s
N
s
z
o
o
Z
+
Równanie charakterystyczne
układu otwartego:
Równanie charakterystyczne
układu zamkni
ę
tego:
0
)
(
=
s
N
O
0
)
(
)
(
)
(
=
+
=
s
N
s
M
s
N
O
O
Z
Oba równania s
ą
stopnia n
15
Kryterium Nyquista- przypadek 1
Układ otwarty jest stabilny. Równanie charakterystyczne układu
otwartego nie ma pierwiastków dodatnich lub o dodatnich
cz
ęś
ciach rzeczywistych (mo
ż
e mie
ć
pierwiastki zerowe).
Warunek stabilno
ś
ci układu zamkni
ę
tego:
Przypadek ten dotyczy znacznej wi
ę
kszo
ś
ci układów. Kryterium
odnosz
ą
ce si
ę
tylko do tego przypadku nazywa si
ę
uproszczonym
Warunek stabilno
ś
ci układu zamkni
ę
tego:
∞
=
ω
Je
ż
eli równanie charakterystyczne układu
otwartego nie ma pierwiastków dodatnich lub o
dodatnich cz
ęś
ciach rzeczywistych, to układ
zamkni
ę
ty jest stabilny, je
ż
eli charakterystyka
amplitudowo-fazowa układu otwartego G
O
(j
ω
) dla
pulsacji
ω
od 0 do +
∞
nie obejmuje punktu (-1,j0).
16
Kryterium Nyquista- przypadek 1
Je
ż
eli otwarty układ regulacji automatycznej jest
stabilny i jego charakterystyka amplitudowo-
fazowa G
O
(j
ω
) dla pulsacji
ω
od 0 do +
∞
nie
obejmuje punktu (-1,j0), to wtedy i tylko wtedy po
zamkni
ę
ciu b
ę
dzie on równie
ż
stabilny.
∞
=
ω
17
Kryterium Nyquista- przypadek 1
∞
=
ω
∞
=
ω
Charakterystyki układów, które
po zamkni
ę
ciu s
ą
stabilne
Charakterystyki układów, które
po zamkni
ę
ciu nie s
ą
stabilne
)
0
,
1
(
j
−
)
0
,
1
(
j
−
18
Kryterium Nyquista- przypadek 1
W przypadku zło
ż
onego kształtu krzywych G
O
(j
ω
) wygodnie jest
posługiwanie si
ę
z tzw. „reguły lewej strony”: układ zamkni
ę
ty
jest stabilny wtedy, kiedy punkt (-1,j0) znajduje si
ę
w obszarze
le
żą
cym po lewej stronie charakterystyki G
O
(j
ω
), id
ą
c w stron
ę
rosn
ą
cych
ω
.
Stabilne:
Niestabilne:
∞
=
ω
∞
=
ω
∞
=
ω
∞
=
ω
Mo
ż
emy bada
ć
układy maj
ą
ce dowolna liczb
ę
pierwiastków zerowych
19
Kryterium Nyquista- przypadek 2
Warunek stabilno
ś
ci układu zamkni
ę
tego:
Je
ż
eli otwarty układ regulacji automatycznej jest niestabilny i ma m
pierwiastków swego równania charakterystycznego w prawej
półpłaszczy
ź
nie zmiennej s, to po zamkni
ę
ciu b
ę
dzie on stabilny
wtedy i tylko wtedy, gdy charakterystyka amplitudowo-fazowa układu
otwartego dla pulsacji
ω
od 0 do +
∞
okr
ąż
a m/2 razy punkt (-1,j0) w
otwartego dla pulsacji
ω
od 0 do +
∞
okr
ąż
a m/2 razy punkt (-1,j0) w
kierunku dodatnim
Zastosowanie tego kryterium wymaga znajomo
ś
ci liczby pierwiastków równania
charakterystycznego układu otwartego z dodatni
ą
cz
ęś
ci
ą
rzeczywist
ą
, co bardzo
ogranicza jego znaczenie.
Omawiany przypadek jest bardzo rzadki, gdy
ż
układy automatyki spotykane w praktyce
s
ą
zwykle w stanie otwartym stabilne (m=0).
20
Zapas stabilno
ś
ci
Przykładowe wykresy charakterystyk amplitudowo-fazowych dla
układów otwartych
Warunek stabilno
ś
ci:
1
)
(
<
−
π
ω
j
G
O
jQ(
ω
ω
ω
ω
)
M
∆∆∆∆
1
ω
ω
ω
ω
-
ππππ
M(
ω
-
π
)
0
180
)
(
−
=
−
π
ω
j
G
arg
O
ω
-
π
– pulsacja, dla której:
Gdzie:
∆
M – zapas modułu
∆φ
– zapas fazy
ω
ω
ω
ω
= 0
1
-1
∆∆∆∆ϕϕϕϕ
ω
ω
ω
ω
p
ω
ω
ω
ω
=
∞
∞
∞
∞
P(
ω
ω
ω
ω
)
ω
ω
ω
ω
= 0
2
1
M(
ω
-
π
)
)
(
1
π
ω
−
=
∆
M
M
21
∆∆∆∆
L
L(
ω
ω
ω
ω
) [dB]
ω
ω
ω
ω
[rd/s]
0
20
-20
ω
ω
ω
ω
p
ω
ω
ω
ω
-
ππππ
2
∆∆∆∆
L
Logarytmiczne charakterystyki amplitudowa i fazowa ( tzw. wykres Bode
’
a)
Logarytmiczne kryterium Nyquista
ω
ω
ω
ω
[rd/s]
ϕϕϕϕ
(
ω
ω
ω
ω
)
0
-20
∆∆∆∆ϕϕϕϕ
-
ππππ
ω
ω
ω
ω
p
ω
ω
ω
ω
-
ππππ
2
1
1
L(
ω
ω
ω
ω
-
ππππ
)
ϕϕϕϕ
(
ω
ω
ω
ω
p
)
0
)
(
lg
20
)
(
〈
=
−
−
π
π
ω
ω
M
L
ϕ
(
ω
p
)
>
-
π
,L(
ω
p
) = 0
lub
22
Logarytmiczne kryterium Nyquista
Warunek stabilno
ś
ci dla charakterystyk cz
ę
stotliwo
ś
ciowych podanych
w postaci logarytmicznych charakterystyk amplitudowej L(
ω
)
i fazowej
φ
(
ω
):
Definicja: Zamkni
ę
ty układ
0
)
(
log
20
)
(
<
=
−
π
ω
ω
j
G
L
O
x
Definicja: Zamkni
ę
ty układ
automatycznej regulacji jest
stabilny wtedy, gdy
logarytmiczna charakterystyka
amplitudowa układu otwartego
ma warto
ść
ujemn
ą
przy
pulsacji odpowiadaj
ą
cej
przesuni
ę
ciu fazowemu -180
0
.
23
Układ otwarty zapisa
ć
mo
ż
na za pomoc
ą
logarytmicznych
charakterystyk cz
ę
stotliwo
ś
ciowych - amplitudowej L(
ω
) i fazowej
ϕ
(
ω
).
Logarytmiczne kryterium Nyquista
0
=
ω
Charakterystyka
amplitudowo-
fazowa,
charakterystyka
Black’a
=∝
ω
24
Logarytmiczne kryterium Nyquista
Przykładowe wykresy charakterystyk amplitudowo-fazowych dla
zło
ż
onych układów otwartych (a – stabilny, b - niestabilny)
∞
=
ω
25
Logarytmiczne kryterium Nyquista
Je
ż
eli układ otwarty jest stabilny, to układ zamkni
ę
ty stabilny jest
wtedy, gdy liczba warto
ś
ci dodatnich L(
ω
x
) jest parzysta, a niestabilny
– gdy liczba warto
ś
ci dodatnich L(
ω
x
) jest nieparzysta
26
Zalety kryterium Nyquista
Charakterystyki cz
ę
stotliwo
ś
ciowe układu otwartego mo
ż
na
wyznaczy
ć
do
ś
wiadczalnie i analitycznie
Mo
ż
na nie tylko zbada
ć
stabilno
ść
, ale tak
ż
e okre
ś
li
ć
oddalenie
układu od granicy stabilno
ś
ci
Umo
ż
liwia badanie stabilno
ś
ci układów zawieraj
ą
cych człony
opó
ź
niaj
ą
ce
.
]
[
12
]
[
6
;
4
2
;
60
30
0
0
dB
L
dB
M
φ
≤≤≤≤
∆∆∆∆
≤≤≤≤
≤≤≤≤
∆∆∆∆
≤≤≤≤
≤≤≤≤
∆∆∆∆
≤≤≤≤
Zalecane zapasy stabilno
ś
ci
27
Przykład
y
0
G
1
+
-
G
3
G
2
R
1
y
+
-
e
u
Najcz
ęś
ciej wymagamy:
Zapas modułu:
∆
L=6-12 dB
Zapas fazy:
∆φ
=30-60
O
)
(
2
=
k
s
G
1
1
)
(
=
k
s
G
)
1
1
(
)
(
k
s
R
+
=
3
)
(
3
k
s
G
=
s
T
s
T
s
T
k
s
T
k
k
k
k
k
k
s
T
k
s
T
k
s
T
k
s
G
i
i
p
i
p
O
)
1
(
1
)
1
(
)
1
1
(
1
)
1
(
)
(
2
2
2
1
1
3
2
1
3
2
2
2
1
1
+
+
+
=
+
+
+
=
s
s
s
k
s
G
p
O
100
1
1
10
1
1
100
1
50
)
(
⋅
+
⋅
+
⋅
=
1
)
(
2
2
2
+
=
s
T
s
G
2
1
1
)
1
(
)
(
+
=
s
T
s
G
)
1
1
(
)
(
s
T
k
s
R
i
p
+
=
3
)
(
3
k
s
G
=
50
3
2
1
=
k
k
k
4
.
0
=
p
k
100
1
=
T
10
2
=
T
100
=
i
T
28
Przykład c.d
0.001
0.01
0.1
1
10
10
20
30
-30
-40
L(
ω
)
dB
-20
-10
s
s
s
s
G
O
100
1
1
10
1
1
100
1
20
)
(
⋅
+
⋅
+
=
dB
k
k
k
k
p
26
20
log
20
log
20
3
2
1
=
=
ω
0.001
0.01
0.1
1
10
-40
-90
-180
-270
90
φ
(
ω
)
ω
29
Przykład c.d
1
100
1
+
s
0.001
0.01
0.1
1
10
10
20
30
-30
-40
L(
ω
)
dB
-20
-10
ω
s
s
s
s
G
O
100
1
1
10
1
1
100
1
20
)
(
⋅
+
⋅
+
=
0.001
0.01
0.1
1
10
-40
-90
-180
-270
90
φ
(
ω
)
ω
30
Przykład c.d
1
10
1
+
s
0.001
0.01
0.1
1
10
10
20
30
-30
-40
L(
ω
)
dB
-20
-10
ω
s
s
s
s
G
O
100
1
1
10
1
1
100
1
20
)
(
⋅
+
⋅
+
=
0.001
0.01
0.1
1
10
-40
-90
-180
-270
90
φ
(
ω
)
ω
31
Przykład c.d
s
100
1
0.001
0.01
0.1
1
10
10
20
30
-30
-40
L(
ω
)
dB
-20
-10
ω
s
s
s
s
G
O
100
1
1
10
1
1
100
1
20
)
(
⋅
+
⋅
+
=
0.001
0.01
0.1
1
10
-40
-90
-180
-270
90
φ
(
ω
)
ω
32
Przykład c.d
0.001
0.01
0.1
1
10
10
20
30
-30
-40
L(
ω
)
dB
-20
-10
ω
s
s
s
s
G
O
100
1
1
10
1
1
100
1
20
)
(
⋅
+
⋅
+
=
6dB
Aby zapewni
ć
zapas modułu 6 dB
nale
ż
y przesun
ąć
logarytmiczn
ą
ch-k
ę
amplitudow
ą
o 12 dB w dół –
to oznacza 4 krotne zmniejszenie
0.001
0.01
0.1
1
10
-40
-90
-180
-270
90
φ
(
ω
)
ω
to oznacza 4 krotne zmniejszenie
wzmocnienia w układzie otwartym
przez dobór warto
ś
ci wzmocnienia
regulatora kp=0.1
33
Przykład c.d
Inne metody korekcji układu:
• Zmiana T
i
lub Td regulatora
• Dodanie specjalnego członu korekcyjnego o transmitancji:
1
1
)
(
+
+
=
Ts
s
T
s
G
d
K
G
1
+
y
y
0
G
1
-
G
3
G
2
R
1
+
-
e
u
G
K
34
Zbada
ć
stabilno
ść
układu i okre
ś
li
ć
jego zapas modułu
)
1
3
(
1
2
3
++++
++++
++++
s
s
s
z(s)
+
_
y(s)
_
Przykład 2
1
3
1
)
(
2
3
0
+
+
+
=
s
s
s
s
G
0
1
1
1
3
1
0
3
2
2
〉
=
=
∆
a
a
a
a
35
Przykład 2
,
)
(
)
3
1
(
)
(
)
(
)
3
1
(
3
1
)
(
3
1
)
(
3
1
)
(
3
1
1
1
3
1
)
(
2
3
2
2
3
2
3
2
2
2
3
2
3
2
3
2
2
3
0
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
−
+
−
−
−
+
−
+
−
−
=
=
−
−
−
−
−
−
−
+
−
=
+
+
−
−
=
j
j
j
j
j
j
j
G
.
)
(
)
(
;
3
1
)
(
3
2
ω
ω
ω
ω
ω
−
−
=
−
=
Q
P
.
)
(
)
3
1
(
)
(
;
)
(
)
3
1
(
)
(
2
3
2
2
2
3
2
2
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
ω
−
+
−
=
−
+
−
=
Q
P
3
1
ω
[rd/s]
0
1
∞
P(
ω
)
1
0
-0.5
0
Q(
ω
)
0
-2.6
0
0
36
Przykład 2
Charakterystyka amplitudowo – fazowa
układu otwartego
układu otwartego
2
5
.
0
1
)
(
1
=
=
=
∆
−
π
ω
M
M
Wyszukiwarka
Podobne podstrony:
2012 KU W5 tryb dzienny moodle tryb zgodnosci
(W7a Stale do kszta t na zimno cz I [tryb zgodno ci])
2 Sieci komputerowe 09 03 2013 [tryb zgodności]
Microsoft PowerPoint IP5 klasyfikacje tryb zgodnosci
Microsoft PowerPoint IP tryb zgodnosci
PA2 opis matematyczny [tryb zgodności]
ATMOSFERA [tryb zgodnosci]a id Nieznany
(Rachunkowosc podatkowa wyklad 4 5 [tryb zgodności])
Microsoft PowerPoint IP5 bazydanych tryb zgodnosci
OUN2009 [tryb zgodno
Bankowosc materialy 14 [tryb zgodnosci]
MikroI 9 [tryb zgodnosci]
(5 ja i samoocena (1 ) [tryb zgodności])id 1080
MT st w 06 [tryb zgodności]
cz 1c projektowanie systemow czasu rzeczywistego tryb zgodnosci
5 Planowanie w procesie zarzdzania [tryb zgodnoci]
Podstawy automatyki (w 5) elementy wykonawcze i pomiarowe ppt [tryb zgodnosci]
05 Zas i koszty [tryb zgodnosci Nieznany
więcej podobnych podstron