1
Jolanta Dymkowska
Centrum Nauczania Matematyki
i Kształcenia na Odległość
al. Zwycięstwa 25 - pokój 102
http://www.pg.gda.pl/snm/pracownicy/jolanta.dymkowska
http://www.moodle.pg.gda.pl
2
Literatura
• Matematyka - Podstawy z elementami matematyki wyższej, Praca
zbiorowa, PG, Gdańsk 2007
• K. Jankowska, T. Jankowski, Zbiór zadań z matematyki, PG,
Gdańsk 1997
• Praca zbiorowa pod red. E. Mieloszyka, Matematyka – Materiały
pomocnicze do ćwiczeń, PG, Gdańsk 2004
• R. Leitner, Zarys matematyki wyższej I i II, Wydawnictwo Naukowo-
Techniczne, Warszawa 2001
• R. Leitner, W. Matuszewski, Z. Rojek, Zadania z matematyki
wyższej I i II, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 1999
• M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1 – Definicje,
twierdzenia, wzory, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2001
3
• M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1 – Przykłady i
zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2001
• T. Jankowski, Linear algebra, PG, Gdańsk 2001
• T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1 – Definicje, twierdzenia,
wzory, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2002
• T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1 – Przykłady i zadania,
Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2002
• E. Mieloszyk, Liczby zespolone, PG, Gdańsk 2003
• E. Mieloszyk, Macierze, wyznaczniki i układy równań, PG, Gdańsk
2003
• W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach I
i II, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1998
4
Podstawowe pojęcia i oznaczenia algebry zbiorów
X, Y, Z
- zbiory
x, y, z
- elementy zbioru
x ∈ X
-
x
”należy” do zbioru
X
,
x
jest elementem zbioru
X
X ⊂ Y
- zbiór
X
”zawiera się” w
Y
,
X
jest podzbiorem
Y
Zbiory liczbowe
N
-
zbiór liczb naturalnych
Z
-
zbiór liczb całkowitych
Q
-
zbiór liczb wymiernych
R
-
zbiór liczb rzeczywistych
N Z Q R
5
Kwantyfikatory
∀
−
kwantyfikator ogólny
( ∧ )
∃
−
kwantyfikator szczególny
( ∨ )
Przykład
Czy prawdziwe są zdania?
∀
x∈R
x
2
+ 1 > 0
∃
x∈R
x
2
+ 1 > 0
∀
x∈R
x
2
− 1 = 0
∃
x∈R
x
2
− 1 = 0
6
Funkcje - podstawowe pojęcia i własności
Definicja
Jeżeli każdemu elementowi zbioru
X
został przypo-
rządkowany dokładnie jeden element zbioru
Y
, to mówimy, że
zostało określone odwzorowanie zbioru
X
w zbiór
Y
. Zamiast
”odwzorowanie” mówimy też: ”przekształcenie” lub ”funkcja”, odwzo-
rowująca zbiór
X
w zbiór
Y
a piszemy
f : X → Y
.
Wykres funkcji f : X → Y
Krzywa nie będąca wykresem funkcji
7
•
X
- dziedzina funkcji
f
(ozn.
X = D
f )
•
x ∈ X
- argument funkcji
f
•
f (x) ∈ Y
- wartość funkcji
f
w punkcie
x
(ozn.
y = f (x)
)
•
W
f
=
{ y ∈ Y
:
y = f (x), x ∈ X } ⊂ Y
-
przeciwdziedzina funkcji
f
, zbiór wartości funkcji
f
8
Uwaga
Jeżeli dany jest tylko wzór określający funkcję (rzeczywistą
zmiennej rzeczywistej), to zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których
wzór ten ma sens, nazywamy dziedziną naturalną funkcji.
Przykład
Niech
f
będzie funkcją, której wartości są dane
wzorem
f (x) = 3 −
v
u
u
t
2 − (x + 1)
2
.
Wyznaczmy dziedzinę naturalną funkcji
f
oraz jej przeciwdziedzinę.
Naszkicujmy wykres funkcji
f
, wiedząc, że wykresem funkcji rze-
czywistej zmiennej rzeczywistej nazywamy zbiór
(x, y) ∈ R
2
: x ∈ D
f
, y = f (x)
.
9
Definicja
Funkcje
f : D
f
→ Y
i
g : D
g
→ Y
są równe, co
zapisujemy
f = g
, wtedy i tylko wtedy, gdy
D
f
= D
g
∧
∀
x∈D
f
f (x) = g(x).
Przykład
Zbadajmy, czy podane funkcje są równe
•
f (x) = x
2
+ x + 1,
g(x) =
x
3
−1
x−1
•
f (x) =
√
2x
2
+ x,
g(x) =
√
x ·
√
2x + 1
.
10
Definicja
Niech X, Y ⊂ R .
•
Funkcję
f : X → Y
nazywamy funkcją ograniczoną, jeżeli
∃
m,M ∈R
∀
x∈X
m 6 f (x) 6 M.
•
Funkcję
f : X → Y
nazywamy
funkcją rosnącą,
funkcją malejącą,
funkcją nierosnącą,
funkcją niemalejącą,
jeżeli dla x
1
< x
2
,
f (x
1
) < f (x
2
)
f (x
1
) > f (x
2
)
f (x
1
)
> f (x
2
)
f (x
1
)
6 f (x
2
),
dla dowolnych
x
1
, x
2
∈ X
•
Funkcję
f : X → Y
nazywamy funkcją okresową, jeżeli
∃
T >0
∀
x∈X
x ± T ∈ X
∧
f (x + T ) = f (x)
!
.
11
Definicja
Niech X, Y ⊂ R .
•
Funkcję
f : X → Y
nazywamy funkcją parzystą, jeżeli
∀
x∈X
− x ∈ X
∧
f (−x) = f (x)
!
.
•
Funkcję
f : X → Y
nazywamy funkcją nieparzystą, jeżeli
∀
x∈X
− x ∈ X
∧
f (−x) = −f (x)
!
.
Wykres funkcji parzystej
Wykres funkcji nieparzystej
12
Przykład
Wykazać, że funkcja
f (x) =
√
2x − 1
jest funkcją rosnącą.
Przykład
Zbadać, czy podane funkcje są parzyste, czy nieparzyste.
•
f (x) = |3x − 8| + |3x + 8|
•
f (x) = (x
6
+ 2x
2
) · sgn x