01 funkcje popod TEORIA

background image

1

Jolanta Dymkowska

Centrum Nauczania Matematyki

i Kształcenia na Odległość

al. Zwycięstwa 25 - pokój 102

http://www.pg.gda.pl/snm/pracownicy/jolanta.dymkowska

http://www.moodle.pg.gda.pl

background image

2

Literatura

Matematyka - Podstawy z elementami matematyki wyższej, Praca

zbiorowa, PG, Gdańsk 2007

K. Jankowska, T. Jankowski, Zbiór zadań z matematyki, PG,

Gdańsk 1997

Praca zbiorowa pod red. E. Mieloszyka, Matematyka – Materiały

pomocnicze do ćwiczeń, PG, Gdańsk 2004

R. Leitner, Zarys matematyki wyższej I i II, Wydawnictwo Naukowo-

Techniczne, Warszawa 2001

R. Leitner, W. Matuszewski, Z. Rojek, Zadania z matematyki

wyższej I i II, Wydawnictwo Naukowo-Techniczne, Warszawa 1999

M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1 – Definicje,

twierdzenia, wzory, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2001

background image

3

M. Gewert, Z. Skoczylas, Analiza matematyczna 1 – Przykłady i

zadania, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2001

T. Jankowski, Linear algebra, PG, Gdańsk 2001

T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1 – Definicje, twierdzenia,

wzory, Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2002

T. Jurlewicz, Z. Skoczylas, Algebra liniowa 1 – Przykłady i zadania,

Oficyna Wydawnicza GiS, Wrocław 2002

E. Mieloszyk, Liczby zespolone, PG, Gdańsk 2003

E. Mieloszyk, Macierze, wyznaczniki i układy równań, PG, Gdańsk

2003

W. Krysicki, L. Włodarski, Analiza matematyczna w zadaniach I

i II, Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1998

background image

4

Podstawowe pojęcia i oznaczenia algebry zbiorów

X, Y, Z

- zbiory

x, y, z

- elementy zbioru

x ∈ X

-

x

”należy” do zbioru

X

,

x

jest elementem zbioru

X

X ⊂ Y

- zbiór

X

”zawiera się” w

Y

,

X

jest podzbiorem

Y

Zbiory liczbowe

N

-

zbiór liczb naturalnych

Z

-

zbiór liczb całkowitych

Q

-

zbiór liczb wymiernych

R

-

zbiór liczb rzeczywistych

N Z Q R

background image

5

Kwantyfikatory

kwantyfikator ogólny

( )

kwantyfikator szczególny

( )

Przykład

Czy prawdziwe są zdania?

x∈R

x

2

+ 1 > 0

x∈R

x

2

+ 1 > 0

x∈R

x

2

1 = 0

x∈R

x

2

1 = 0

background image

6

Funkcje - podstawowe pojęcia i własności

Definicja

Jeżeli każdemu elementowi zbioru

X

został przypo-

rządkowany dokładnie jeden element zbioru

Y

, to mówimy, że

zostało określone odwzorowanie zbioru

X

w zbiór

Y

. Zamiast

”odwzorowanie” mówimy też: ”przekształcenie” lub ”funkcja”, odwzo-

rowująca zbiór

X

w zbiór

Y

a piszemy

f : X → Y

.

Wykres funkcji f : X → Y

Krzywa nie będąca wykresem funkcji

background image

7

X

- dziedzina funkcji

f

(ozn.

X = D

f )

x ∈ X

- argument funkcji

f

f (x) ∈ Y

- wartość funkcji

f

w punkcie

x

(ozn.

y = f (x)

)

W

f

=

{ y ∈ Y

:

y = f (x), x ∈ X } ⊂ Y

-

przeciwdziedzina funkcji

f

, zbiór wartości funkcji

f

background image

8

Uwaga

Jeżeli dany jest tylko wzór określający funkcję (rzeczywistą

zmiennej rzeczywistej), to zbiór tych liczb rzeczywistych, dla których

wzór ten ma sens, nazywamy dziedziną naturalną funkcji.

Przykład

Niech

f

będzie funkcją, której wartości są dane

wzorem

f (x) = 3

v
u
u
t

2 (x + 1)

2

.

Wyznaczmy dziedzinę naturalną funkcji

f

oraz jej przeciwdziedzinę.

Naszkicujmy wykres funkcji

f

, wiedząc, że wykresem funkcji rze-

czywistej zmiennej rzeczywistej nazywamy zbiór

(x, y) R

2

: x ∈ D

f

, y = f (x)

.

background image

9

Definicja

Funkcje

f : D

f

→ Y

i

g : D

g

→ Y

są równe, co

zapisujemy

f = g

, wtedy i tylko wtedy, gdy

D

f

= D

g

x∈D

f

f (x) = g(x).

Przykład

Zbadajmy, czy podane funkcje są równe

f (x) = x

2

+ x + 1,

g(x) =

x

3

1

x−1

f (x) =

2x

2

+ x,

g(x) =

x ·

2x + 1

.

background image

10

Definicja

Niech X, Y ⊂ R .

Funkcję

f : X → Y

nazywamy funkcją ograniczoną, jeżeli

m,M ∈R

x∈X

m 6 f (x) 6 M.

Funkcję

f : X → Y

nazywamy

funkcją rosnącą,

funkcją malejącą,

funkcją nierosnącą,

funkcją niemalejącą,

jeżeli dla x

1

< x

2

,

f (x

1

) < f (x

2

)

f (x

1

) > f (x

2

)

f (x

1

)

> f (x

2

)

f (x

1

)

6 f (x

2

),

dla dowolnych

x

1

, x

2

∈ X

Funkcję

f : X → Y

nazywamy funkcją okresową, jeżeli

T >0

x∈X

x ± T ∈ X

f (x + T ) = f (x)

!

.

background image

11

Definicja

Niech X, Y ⊂ R .

Funkcję

f : X → Y

nazywamy funkcją parzystą, jeżeli

x∈X

− x ∈ X

f (−x) = f (x)

!

.

Funkcję

f : X → Y

nazywamy funkcją nieparzystą, jeżeli

x∈X

− x ∈ X

f (−x) = −f (x)

!

.

Wykres funkcji parzystej

Wykres funkcji nieparzystej

background image

12

Przykład

Wykazać, że funkcja

f (x) =

2x − 1

jest funkcją rosnącą.

Przykład

Zbadać, czy podane funkcje są parzyste, czy nieparzyste.

f (x) = |3x − 8| + |3x + 8|

f (x) = (x

6

+ 2x

2

) · sgn x


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
FUNKCJA KWADRATOWA teoria oraz zadania
01 Funkcjonowanie Wspolnej Poli Nieznany (3)
01. SYSTEM PODATKOWY teoria, Teorie opodatkowania i systemy podatkowe, Teorie opodatkowania i system
FUNKCJA WYKŁADNICZA – teoria oraz zadania
Bronislaw Malinowski Kultura i jej przemiany Teoria funkcjonalna Naukowa teoria kultury opracowa
Twój Angielski 01 Funkcje czasownika w języku angielskim
Funkcjonalizm, psychologiczna teoria, Dworkin
01 Funkcjonowanie Wspólnej Polityki Rolnej Unii
Funkcje finansowe teoria
01 24 ZGO Finansowe aspekty funkcjonowania zakładu gospodark
JS 06 Funkcje matematyczne, Programowanie, instrukcje - teoria

więcej podobnych podstron