1

Przykład 1.2 Kratownica płaska II.

W przypadku kratownicy płaskiej obciążonej, jak na schemacie poniżej, wyznaczyć

zmianę odległości węzłów C i D oraz zmianę kąta

β . Założono przekroje poprzeczne

krzyżulców (pręty ukośne) równe

A

2 i pozostałych prętów jako A. Dla wszystkich prętów

przyjęto jednakowy moduł Younga E.

Rys. 1. Schemat statyczny kratownicy

I. Wyznaczenie zmiany odległości węzłów C i D.

Zmianę odległości węzłów C i D wyznaczymy stosując metodę Maxwella-Mohra,

korzystając ze wzoru

CD

l

∆

=

∑

∑∫

=

=

=

9

1

1

9

1 0

1

1

i

i

i

i

i

i

l

i

i

i

i

i

A

l

N

N

E

A

E

ds

N

N

i

(1)

gdzie:

CD

l

∆

- zmiana odległości węzłów C i D,

i

N - siła normalna w i-tym pręcie kratownicy od obciążenia zewnętrznego,

1

i

N - siła normalna w i-tym pręcie kratownicy od sił jednostkowych, przyłożonych w

węzłach C i D , których kierunek pokrywa się z kierunkiem poszukiwanego

przemieszczenia,

i

l - długość i-tego pręta kratownicy.

1. Obliczenie reakcji i sił w prętach od obciążenia zewnętrznego.

Z warunków równowagi dla kratownicy jako całości wyznaczamy reakcje podpór

P

R

l

R

l

P

l

P

l

P

M

B

B

A

2

5

0

2

3

2

2

0

=

→

=

⋅

+

⋅

−

⋅

+

⋅

−

→

=

∑

P

V

P

P

P

R

V

P

A

B

A

iy

2

1

0

2

0

=

→

=

−

+

−

+

−

→

=

∑

0

0

=

→

=

∑

A

ix

H

P

2

Siły w prętach kratownicy wyznaczamy wykorzystując po dwa równania równowagi

zapisane dla kolejnych węzłów. Wyznaczone wartości sił

i

N w kratownicy od obciążenia

zewnętrznego zestawiono w tablicy 1 (kolumna 4).

2. Obliczenie reakcji i sił w prętach od sił jednostkowych

1

=

P

, o kierunku prostej C-D,

przyłożonych w węzłach C i D.

Rys. 2. Schemat statyczny

Wyznaczamy reakcje podpór

0

0

1

1

=

→

=

∑

B

A

R

M

0

0

0

1

1

1

1

=

→

=

+

→

=

∑

A

B

A

iy

V

R

V

P

0

0

1

1

=

→

=

∑

A

ix

H

P

Wynik jest oczywisty, gdyż przyjęty układ obciążeń jest samozrównoważony. Wyzna-

czone wartości sił

1

i

N w kratownicy od obciążeń jednostkowych zestawiono w tablicy 1

(kolumna 5).

Tabela 1. Zestawienie wartości sił

i

N oraz

1

i

N i wyrażeń

i

i

i

i

A

l

N

N

1

oraz ich sumy.

(znak „

-

” oznacza ściskanie pręta)

Pręt l

i

[m] A

i

[m

2

]

N

i

[N]

1

i

N [N]

i

i

i

i

A

l

N

N

1

[MN/m]

1

l

A

-

P

2

1

0

0

2

l

A

-

P

2

1

2

2

-

A

Pl

4

2

3

l

2

A

2

P

2

2

0

0

4

l

A

0

2

2

0

5

l

2

A

2

-

P

2

2

3

-

1

A

Pl

2

2

3

3

6

l

A

P

2

2

A

Pl

2

2

7

l

2

A

2

-

P

2

2

0

0

8

l

A

2P

2

2

A

Pl

2

9

l

A

2P

0

0

=

∑

=

9

1

1

i

i

i

i

i

A

l

N

N

A

Pl

4

2

11

3. Obliczenie zmiany odległości węzłów C i D.

Wykorzystując wzór (1) i przeprowadzone obliczenia otrzymujemy

EA

Pl

EA

Pl

A

l

N

N

E

l

i

i

i

i

i

CD

89

,

3

4

2

11

1

9

1

1

≅

⋅

=

=

∆

∑

=

Otrzymaliśmy dodatnią wartość zmiany odległości punktów C i D, co oznacza przyrost
długości odcinka CD ; zgodny z założonymi siłami jednostkowymi (Rys. 2).

II. Wyznaczenie zmiany kąta

β .

Zmianę kąta

β wyznaczymy stosując metodę Maxwella-Mohra, korzystając ze wzoru

∑

∑∫

=

=

=

=

∆

9

1

1

9

1 0

1

1

i

i

i

i

i

i

l

i

i

i

i

i

A

l

N

N

E

A

E

ds

N

N

i

β

(2)

gdzie:

β

∆ - zmiana kąta

β zawartego między prętami 4 i 5,

i

N - siła normalna w i-tym pręcie kratownicy od obciążenia zewnętrznego,

1

i

N - siły normalna w i-tym pręcie kratownicy od momentów jednostkowych,

przyłożonych w postaci par sił do węzłów będących końcami prętów 4 i 5,

i

l - długość i-tego pręta kratownicy.

Do obliczeń wykorzystamy wielkości sił normalnych od obciążenia zewnętrznego, policzone
w p. I.1 i zestawione w tablicy 1 (kolumna 4).

2. Obliczenie reakcji i sił w prętach od momentów

1

=

M

, przyłożonych w postaci par sił do

węzłów będących końcami prętów 4 i 5.

Momenty jednostkowe zastępujemy dwoma parami sił (P

1

,- P

1

) i (P

2

,- P

2

), przyłożonych

do węzłów będących końcami prętów 4 i 5. Tak więc:

l

l

M

P

1

4

1

=

=

4

l

l

M

P

2

1

5

2

=

=

Rys. 3. Schemat statyczny

Wyznaczamy reakcje podpór

0

0

2

2

2

1

2

1

1

0

1

1

1

=

→

=

⋅

+

⋅

⋅

+

⋅

−

→

=

∑

B

B

A

R

l

R

l

l

l

l

M

0

0

2

1

2

1

2

1

2

1

0

1

1

1

1

=

→

=

⋅

+

⋅

−

+

−

→

=

∑

A

B

A

iy

V

l

l

R

V

P

0

0

2

1

2

1

2

1

2

1

1

1

0

1

1

1

=

→

=

⋅

−

⋅

+

−

+

→

=

∑

A

A

ix

H

l

l

l

l

H

P

Wynik jest oczywisty, gdyż przyjęty układ obciążeń jest samozrównoważony. Wyzna-

czone wartości sił

1

i

N w kratownicy od obciążenia jednostkowego zestawiono w tablicy 2

(kolumna 5).

Tabela 2. Zestawienie wartości sił

i

N oraz

1

i

N i wyrażeń

i

i

i

i

A

l

N

N

1

oraz ich sumy.

(znak „

-

” oznacza ściskanie pręta)

Pręt l

i

[m] A

i

[m

2

]

N

i

[N]

1

i

N [N]

i

i

i

i

A

l

N

N

1

[MN/m]

1

l

A

-

P

2

1

0

0

2

l

A

-

P

2

1

l

1

-

A

P

2

3

l

2

A

2

P

2

2

0

0

4

l

A

0

0

0

5

5

l

2

A

2

-

P

2

2

3

-

l

2

1

A

P

2

3

6

l

A

P

0

0

7

l

2

A

2

-

P

2

2

0

0

8

l

A

2P

0

0

9

l

A

2P

0

0

=

∑

=

9

1

1

i

i

i

i

i

A

l

N

N

A

P

2. Obliczenie zmiany kąta

β .

Wykorzystując wzór (2) i przeprowadzone obliczenia otrzymujemy

=

∆

β

EA

P

A

l

N

N

E

i

i

i

i

i

∑

=

=

9

1

1

1

Otrzymany wynik końcowy ze znakiem plus oznacza, przyrost kąta

β (Rys. 4).

Rys. 4. Zmiana kąta

β