Linearyzacja 

 

Linearyzacja  - proces tworzenia modelu liniowego aproksymując model nieliniowy. Stosuje się po to, żeby uprościć analizę 
modelu. 
 
Metody: 



 

(założenia +) uproszczenia 



 

rozkład w szereg Taylora 



 

małych odchyleń od ruchu bazowego 



 

z zastosowaniem identyfikacji 

 
Założenia – te warunki, które zmniejszają zakres ogólności modelu (np. kąt wychylenia wahadła nie przekracza 7

o

) 

 
Uproszczenia – te warunki, które pogarszają dokładność modelu – pozwalają na ominięcie niektórych zjawisk fizycznych, które w 
naszym mniemaniu mało wpływają na dokładność odwzorowania oryginału 
 
 
Rozkład w szereg Taylora 
 
Wytłumaczone dobrze wykład 7 str 10 – 20 
 
Zastosowanie identyfikacji 
 
Wytłumaczone dobrze wykład 7 str 20-end 
 

Systemy dyskretne 

 

Twierdzenie Shannona-Kotielnikowa: 
Aby z modelu dyskretnego odtworzyć ciągły, częstotliwość kwantowania musi być >= 2 * maksymalna częstotliwość sygnału 
kwantowanego. 
 
 
Równania różnicowe: 
Określają stan systemu w chwili [k+1]  w zależności od stanu z chwili poprzedniej  [k]  i wartości wymuszenia u[k]. 
 

 

 

 
 

Przekształcenia równań różniczkowych na różnicowe: 



 

metoda Eulera w przód (ekstrapolacja) 

 

 

 



 

metoda Eulera w tył (interpolacja) 

 

 

 

T – przedział próbkowania, 
k – liczba całkowita, 
t

k

= kT 

x[k] – wartość x w chwili t

k

 

x[k+1] – wartość x w chwili t

k+1 

 

Dobry przykład wykład 8 str. 23-27 
 
Przekształcenie Laurenta (przekształcenie Z): 
Przyporządkowuje danej dyskretnej funkcji czasu  f[k]  funkcję zmiennej zespolonej z, F(z), którą nazywamy transformatą Z 
(Laurenta).  
 

 

 

Istnieje przekształcenie odwrotne (jak to bywa… ;) ) 
 

 

 

 
 
 
 
 
 
 
Przekształcenie Laurenta umożliwia sprowadzenie układu równań różnicowych reprezentujących model dyskretny liniowy i 
stacjonarny do układu równań algebraicznych. 
 

 

 
Transmitancja operatorowa G(z) jest zdefiniowana jako stosunek transformaty Z sygnału wyjściowego Y(z) do transformaty Z 
sygnału wejściowego U(z) przy założeniu, że wszystkie warunki początkowe są zerowe. 
 
 

 
 
 

Zbieranie danych 

 

Zadanie identyfikacji  systemów: 
Polega na  określeniu struktury i parametrów modeli matematycznych  tych systemów na podstawie doświadczalnych 
obserwacji procesów w nich zachodzących. 
 
Zadanie identyfikacji w sensie szerokim: 



 

brakuje informacji a priori o obiekcie lub jest ona nieznana, 



 

obiekt przedstawiamy w postaci „czarnej skrzynki”, 



 

przedmiot identyfikacji:  struktura i parametry  tego obiektu 

 
Zadanie identyfikacji w sensie ścisłym: 



 

kategoria i struktura obiektu są znane, 



 

informacja a priori o obiekcie jest wystarczająca, 



 

przedmiot identyfikacji: parametry tego obiektu 

 
Sposoby identyfikacji (wykład 9 str 12-35): 



 

prosty algorytm identyfikacji 



 

metoda najmniejszych kwadratów 



 

algorytmy rekurencyjne 

 
 

+ błędy i uwarunkowania algorytmów z wykładu 10