4. Potêgowanie i pierwiastkowanie liczb zespolonych

Ze wzoru na iloczyn liczb zespolonych w postaci trygonometrycznej wynika,

¿e n

-ta

pot

êga liczby z

wyra

¿a siê wzorem









n

sin

i

n

cos

z

z

n

n





znanym jako

wzór de Moivre’a

.

..........................................................................................

PRZYK£AD

Obliczy

ã





19

2

2

i





.

Rozwi

¹zanie

Przedstawimy najpierw liczb

ê

i

2

2 



w postaci trygonometrycznej.





2

2

8

2

2

2

2

2

2















i

Poniewa

¿

2

2

2

2

2











cos

,

2

2

2

2

2







sin

, to

4

3







.

Mo

¿emy ju¿ napisaã postaã trygonometryczn¹:



















4

3

4

3

2

2

2

2





sin

i

cos

i

Stosujemy teraz wz

ór Moivre’a dla

i

z

2

2 





oraz

19



n









i

i

sin

i

cos

sin

i

cos

sin

i

cos

i

28

28

28

28

28

19

19

2

2

2

2

2

2

2

2

4

4

2

2

4

14

4

14

2

2

4

3

19

4

3

19

2

2

2

2























































































































W obliczeniach skorzystali

œmy z faktu, ¿e liczba



14

jest okresem funkcji sinus

oraz cosinus.

...........................................................................................

Pierwiastkiem algebraicznym

stopnia n

z liczby zespolonej

z

(kr

ót

ko:

n

-tym

pierwiastkiem z liczby

z

) nazywamy ka

¿d¹ liczbê zespolon¹ w

spe

ùniaj¹c¹ równanie

z

w

n



i u

¿ywamy oznaczenia

n

z

.

O ile pot

êgowanie liczb zespolonych jest dziaùaniem jednoznacznym, to

n

z

ma

n

r

ó¿nych wartoœci, jeœli tylko

liczba pierwiastkowana nie jest zerem. Mianowicie

wz

ór

de Moivre

’a

n

-ty pierwiastek

z liczby
zespolonej

id3875968 pdfMachine by Broadgun Software - a great PDF writer! - a great PDF creator! - http://www.pdfmachine.com http://www.broadgun.com



















n

k

sin

i

n

k

cos

z

z

n

n









2

2

,

k

= 0, 1, 2, ...,

n

1

gdzie

n

z

oznacza znany Czytelnikowi ze szko

ùy

pierwiastek arytmetyczny liczby

nieujemnej

z

.

Warto

œci

n

z

s

¹ liczbami le¿¹cymi na okrêgu o œrodku w pocz¹tku ukùadu

wsp

óùrzêdnych i promieniu

n

z

i dziel

¹ ten okr¹g

na n r

ównych czêœci.

...........................................................................................

PRZYK£AD

Obliczy

ã

4

3

1

i



Rozwi

¹zanie

Oznaczaj

¹c

i

z

3

1 



, znajdziemy modu

ù i argum

ent liczby z.

Obliczamy modu

ù

2

3

1







z

oraz

2

1





cos

i

2

3





sin

, sk

¹d

3







.

Teraz dla

n

= 4, dostajemy



































4

2

3

4

2

3

2

3

1

4

4









k

sin

i

k

cos

i

,

k

= 0, 1, 2, 3.

Warto

œci te wynosz¹

dla

k

= 0 :















12

12

2

4

0





sin

i

cos

z

,

dla

k

= 1 :















































12

7

12

7

2

4

2

3

4

2

3

2

4

4

1













sin

i

cos

sin

i

cos

z

,

dla

k

= 2 :















































12

13

12

13

2

4

4

3

4

4

3

2

4

4

2













sin

i

cos

sin

i

cos

z

,

dla

k

= 3 :















































12

19

12

19

2

4

6

3

4

6

3

2

4

4

3













sin

i

cos

sin

i

cos

z

.

...........................................................................................