Maciej Sac

2015-04-28

Metody probabilistyczne i statystyka

ćwiczenia

Ćw. 6. Operator uśredniania i momenty statystyczne

Zagadnienia: operator uśredniania statystycznego, momenty zmiennych losowych

Wartość średnia (statystyczna) / oczekiwana / przeciętna / nadzieja matematyczna

Wartość średnia nie musi być:
− jedną z realizacji,
− najbardziej prawdopodobną realizacją,
− skończona,
− możliwa do obliczenia.

Dla kombinacji liniowej zmiennych losowych:

Momenty rozkładu zmiennych losowych

−

𝛼 = 0 ⇒ momenty zwykłe / momenty, m

r

= EX

r

−

𝛼 = 𝐸𝑋 ⇒ momenty centralne, μ

r

= E(X – EX)

r

− momenty rozkładu dostarczają informacji na temat geometrii rozkładu (rozproszenie, asymetria,

spłaszczenie, …)

− momenty rozkładu nie zawsze istnieją

Wariancja i odchylenie standardowe
Wariancja (moment centralny drugiego rzędu):

Odchylenie standardowe:

𝜎

𝑋

= √var(𝑋) = √𝑊𝑋

Własności:
−

𝑊(𝑎𝑋 + 𝑏) = 𝑎

2

𝑊𝑋

− gdy X, Y są niezależne:

𝑊(𝑎𝑋 + 𝑏𝑌 + 𝑐) = 𝑎

2

𝑊𝑋 + 𝑏

2

𝑊𝑌

− nierówność Czebyszewa:

Maciej Sac

2015-04-28

Współczynnik kowariancji i korelacji
Korelacja:

corr(X, Y) = E(X∙Y)

jeżeli corr(X, Y) = 0, to X i Y są ortogonalne

Współczynnik kowariancji: cov(X, Y) =

Unormowany współczynnik kowariancji (współczynnik korelacji):

𝜌 =

cov(𝑋,𝑌)

𝜎

𝑋

∙𝜎

𝑌

,

Współczynniki kowariancji/korelacji mówią jak silna zależność istnieje pomiędzy zmiennymi
losowymi X i Y:
−

𝜌 = 𝜆 = 0 → X i Y są nieskorelowane,

−

𝜌 > 0 (𝜆 > 0) → X i Y są dodatnio skorelowane,

−

𝜌 < 0 (𝜆 < 0) → X i Y są ujemnie skorelowane,

− |

𝜌| = 1 → X i Y są liniowo zależne.

Dla niezależnych zmiennych losowych

𝜌 = 𝜆 = 0. Twierdzenie odwrotne nie jest zawsze

prawdziwe.

Zad. 1. Rozpatrzmy eksperyment polegający na rzucie kostką sześciościenną. Zmienna losowa X
przyjmuje wartości odpowiadające wynikowi rzutu. Oblicz: wartość średnią, momenty zwyczajne
rzędu 2 i 3, wariancję, odchylenie standardowe.

Odp.

𝐸𝑋 = 3.5, 𝐸𝑋

2

= 91/6, 𝐸𝑋

3

= 441/6, 𝑊𝑋 = 35/12, 𝜎

𝑋

= √35/12

Zad. 2. Dana jest zmienne losowa ciągła X o rozkładzie równomiernym

𝑝(𝑥) = {

1 dla 𝑥 ∈ (1,2)

0 dla pozostałych 𝑥. Oblicz: wartość średnią, momenty zwyczajne rzędu 2 i 3, wariancję,

odchylenie standardowe.

Odp.

𝐸𝑋 = 3/2, 𝐸𝑋

2

= 7/3, 𝐸𝑋

3

= 15/4, 𝑊𝑋 = 1/12, 𝜎

𝑋

= √1/12

Zad. 3. Dla zmiennej losowej X o rozkładzie prawdopodobieństwa danym tabelką

x

k

–2

2

4

P(X = x

k

)

0,5

0,3

0,2

wyznaczyć: a) wartość średnią, b) wariancję (dwoma sposobami), c) odchylenie standardowe.
Odp.

𝐸𝑋 = 0.4, 𝑊𝑋 = 6.24, 𝜎

𝑋

= √6.24 ≈ 2.5

Zad. 4. Zmienna losowa X ma rozkład prawdopodobieństwa o gęstości

𝑝(𝑥) = {

6𝑥(1 − 𝑥) dla 𝑥 ∈ (0,1)

0 dla pozostałych 𝑥

. Obliczyć wartość przeciętną i wariancję: a) zmiennej losowej X,

b) zmiennej losowej Y = 2X – 1.

Odp.

𝐸𝑋 = 1/2, 𝑊𝑋 = 1/20, 𝐸𝑌 = 0, 𝑊𝑌 = 1/5

Maciej Sac

2015-04-28

Zad. 5. Dana jest łączna gęstość prawdopodobieństwa dwóch zmiennych losowych

𝑝

𝑋 𝑌

(𝑥, 𝑦) = {

𝐶𝑥𝑦 dla 0 < 𝑥 < 𝑎, 0 < 𝑦 < 𝑏

0 dla pozostałych 𝑥, 𝑦

.

a) Oblicz wartości średnie X i Y.
b) Oblicz wariancje X i Y.
c) Oblicz korelację pomiędzy X i Y.
d) Oblicz współczynnik kowariancji pomiędzy X i Y.
e) Oblicz współczynnik korelacji pomiędzy X i Y.
Skomentuj wyniki.

Zad. 6. Łączny rozkład prawdopodobieństwa dwóch zmiennych losowych dany jest tabelą
Y

X

2

4

6

1

0.05

0.1

0.2

3

0.2

0.1

0.1

5

0.05

0.05

0.15

a) Oblicz wartości średnie X i Y.
b) Oblicz wariancje X i Y.
c) Oblicz korelację pomiędzy X i Y.
d) Oblicz współczynnik kowariancji pomiędzy X i Y.
e) Oblicz współczynnik korelacji pomiędzy X i Y.
Skomentuj wyniki.


Materiały źródłowe:
1. J. Konorski, “Metody probabilistyczne w informatyce”, materiały do wykładu, WETI PG,

Gdańsk, 2015.

2. W. Sobczak, J. Konorski, J. Kozłowska, “Probabilistyka stosowana”, Wydawnictwo PG, 2004.
3. W. Krysicki i in., „Rachunek Prawdopodobieństwa i Statystyka Matematyczna w Zadaniach.

Część 1”, Wydanie VII, Wydawnictwo Naukowe PWN, 1999.

4. B. Czaplewski, notatki.