MPiS cw 01 prawdopodobieństwo

background image

Maciej Sac, Marek Blok

2015-02-24

Metody probabilistyczne i statystyka

ćwiczenia

Ćw. 1. Zdarzenia i prawdopodobieństwo


Zagadnienia: definicje prawdopodobieństwa, zdarzenia, kombinatoryka

Definicje prawdopodobieństwa:

Ω – zbiór wszystkich możliwych zdarzeń elementarnych; zdarzenie pewne.

𝜔 ∈ Ω – zdarzenie elementarne,
𝑃(𝐴) – prawdopodobieństwo zdarzenia losowego 𝐴 ∈ Ω

Aksjomaty:

0 ≤ 𝑃(𝐴) ≤ 1,

𝑃(Ω) = 1,

jeżeli

𝐴 ∩ 𝐵 = ∅, to 𝑃(𝐴 ∪ 𝐵) = 𝑃(𝐴) + 𝑃(𝐵)


Definicja klasyczna (Laplace):

𝑃(𝐴) =

𝑛

𝐴

𝑛

;

gdzie

𝑛

𝐴

– liczba zdarzeń elementarnych w

𝐴 oraz 𝑛 – liczba wszystkich zdarzeń elementarnych

(liczba zdarzeń elementarnych w

Ω).

Wady definicji klasycznej:

zdarzenia elementarne muszą być jednakowo prawdopodobne,

liczba zdarzeń elementarnych nie może być nieskończona,

wymagana jest znajomość liczebności zbiorów

𝐴 i Ω.


Dla zdarzeń elementarnych o różnych prawdopodobieństwach

𝑃(𝐴) =

𝑤𝑎𝑔𝑎

𝜔

𝜔∈𝐴

𝑤𝑎𝑔𝑎

𝜔

𝜔∈Ω


Definicja częstościowa:

𝑃(𝐴) = lim

𝑛→∞

𝑛

𝐴

𝑛

gdzie

𝑛 – liczba powtórzeń doświadczenia losowego oraz 𝑛

𝐴

– liczba zaobserwowanych zdarzeń

elementarnych sprzyjających

𝐴.


Geometryczna definicja prawdopodobieństwa:

𝑃(𝐴) =

‖𝐴‖
‖Ω‖

gdzie || || oznacza miarę obszaru.


Permutacja bez powtórzeń [

ustawienie w pewnej kolejności wszystkich elementów ze zbioru zawierającego n

różnych elementów

]:

- w rzędzie:

𝑃

𝑛

= 𝑛!

-

w okrąg: 𝑃

𝑛

= (𝑛 − 1)!


Permutacja z powtórzeniami [

ustawienie w pewnej kolejności wszystkich elementów n elementowego zbioru,

w którym mamy p grup; elementy w grupach są nierozróżnialne

]:

𝑃

𝑛

𝑘

=

𝑛!

𝑛

1

!𝑛

2

!…𝑛

𝑝

!

background image

Maciej Sac, Marek Blok

2015-02-24

Wariacja (bez powtórzeń) [

ustawienie w pewnej kolejności

𝑘 elementów ze zbioru zawierającego n różnych

elementów

]:

𝑉

𝑛

𝑘

=

𝑛!

(𝑛−𝑘)!


Wariacja (z powtórzeniami) [

ustawienie w pewnej kolejności

𝑘 elementów, każdy ze zbioru zawierającego n

różnych elementów

]:

𝑊

𝑛

𝑘

= 𝑛 ∙ 𝑛 ∙ … ∙ 𝑛 = 𝑛

𝑘


Kombinacja [

wybranie

𝑘 elementów ze zbioru zawierającego n różnych elementów; liczba możliwych podzbiorów

– kolejność się nie liczy

]:

𝐶

𝑛

𝑘

=

𝑛!

(𝑛−𝑘)!𝑘!

= (

𝑛

𝑘)


Kombinacja z powtórzeniami [

wybranie

𝑘 elementów, gdzie każdy element wybieramy ze zbioru

zawierającego n różnych elementów; liczba możliwych podzbiorów – kolejność się nie liczy

]:

𝐾

𝑛

𝑘

= (𝑛 + 𝑘 − 1

𝑘

)


Zad. 1. Rzucono kostką 6-cio ścienną oraz zanotowano wynik rzutu. Zdefiniuj eksperyment, zbiór
zdarzeń elementarnych, prawdopodobieństwo każdego zdarzenia elementarnego. Zaproponuj
zdarzenia losowe niebędące zdarzeniem elementarnym oraz oblicz jego prawdopodobieństwo.

Zad. 2. Eksperyment polega na 4-krotnym rzucie monetą. Jakie jest prawdopodobieństwo, że
wypadną 3 reszki?

Odp.

𝑃(𝐴) = 1/4.


Zad. 3. Wiadomość może być przekazywana pomiędzy serwerami różnymi drogami. Wysłana
wiadomość może w pierwszym kroku dotrzeć do pięciu serwerów, w drugim kroku każdy z tych
serwerów może ją przekazać do jednego z kolejnych pięciu serwerów oraz w trzecim kroku
wiadomość może być przekazana do czterech serwerów, z tych serwerów wiadomość trafia do
odbiorcy. Jak wiele możliwych ścieżek przejścia wiadomości istnieje? Jeżeli każda ścieżka jest
jednakowo prawdopodobna, to jakie jest prawdopodobieństwo, że wiadomość w trzecim kroku
przejdzie przez pierwszy z czterech serwerów?

Zad. 4. Jakie jest prawdopodobieństwo, że w grupie

𝑁 studentów (a) przynajmniej dwóch

studentów ma urodziny tego samego dnia oraz (b) przynajmniej dwóch studentów ma urodziny 1
kwietnia?

Odp. (a)

𝑃(𝐴

) =

365! (365−𝑁)!

365

𝑁

;

𝑃(𝐴) = 1 − 𝑃(𝐴’);

(b)

𝑃(𝐵) = 1 − 𝑃(0) − 𝑃(1) = 1 −

364

𝑁

365

𝑁

𝑁∙364

(𝑁−1)

365

𝑁








𝑃(𝐴)

background image

Maciej Sac, Marek Blok

2015-02-24

Zad. 5. W zbiorze

1000 rekordów wprowadzonych do bazy 12 rekordów zawiera błędy. Oblicz

prawdopodobieństwo, że wśród losowo wybranych

100 rekordów: (a) wszystkie rekordy są

poprawne, (b) tylko jeden rekord zawiera błędy oraz (c) co najwyżej 2 rekordy zawierają błędy.

Odp. (a)

𝑃(𝐴

0

) =

(1000−12

100

)

(1000

100

)

≈ 0.28; (b) 𝑃(𝐴

1

) =

(1000−12

100−1

)(12

1

)

(1000

100

)

≈ 0.38;

(c)

𝑃(𝐴

2

) =

(1000−12

100−2

)(12

2

)

(1000

100

)

≈ 0.23; 𝑃(𝐶) = 𝑃(𝐴

0

) + 𝑃(𝐴

1

) + 𝑃(𝐴

2

) ≈ 0.28 + 0.38 + 0.23 = 0.89



Zad. 6. Mamy dwa łącza z prawdopodobieństwem poprawnego przesłania ramki i otrzymania
potwierdzenia jej prawidłowego odbioru równym 0.25 dla łącza A oraz 0.5 dla łącza B. Próby
przesłania ramki są podejmowane na przemian łączem A i łączem B, aż do otrzymania
potwierdzenia odbioru ramki. Obliczyć prawdopodobieństwo, że ramka dotrze do celu łączem A,
gdy rozpoczynamy transmisję: (a) od łącza A oraz (b) od łącza B.

Odp. a)

𝑃(𝐶) = 2/5, b) 𝑃(𝐶) = 1/5.



Zad. 7. Mamy dwa łącza z zad. 6. Użytkownik nr 1 korzysta z łącza typu A, a użytkownik nr 2
korzysta z łącza typu B. Obaj użytkownicy transmitują ramki jednocześnie. Oblicz
prawdopodobieństwo, że użytkownik nr 1 pierwszy otrzyma potwierdzenie odbioru ramki.

Odp.

𝑃(𝐶) = 1/5.


Zad. 8. Losowo wybierano punkt należący do kwadratu o boku równym 10cm, w którym
narysowano koło o promieniu 2cm. Jakie jest prawdopodobieństwo, że wybrano punkt wewnątrz
koła?

Odp.

𝑃(𝐶) = 𝜋/25.




Materiały źródłowe:
1. Bartosz Czaplewski, notatki.
2. Douglas C. Montgomery, George C. Runger, “Applied Statistics and Probability for Engineers”,

Willey, 2003.

3. Steven Kay, “Intuitive Probability and Random Processes Using MATLAB”, Springer, 2006.


Wyszukiwarka

Podobne podstrony:
cw 01
LKM cw 01 02
MPiS cw 04 zmienne losowe
MB Cw 01 2011na12 6i7i8z14
Zamówienia publiczne cw 5 01 2011
Cw 01 Wzmacniacze
InstrukcjeĆw.2009 2010, Cw.1.E-01. Badanie właściwości elektrycznych kondensatora płaskiego, Laborat
Ćw   01 13
TISP Ćw  01 14
Ćw 01 Rezystor (2)
fs cw 8 01 13
log cw 01
MD cw 01
cw 01 instrukcja
acad cw 01 (2)
MPiS cw 05 dwie zmienne losowe
Ćw 01-przykładowa analiza wyników pomiaru
InstrukcjeĆw.2009 2010, Cw.3.M-01,M-02.Równia pochyła.Wahadło, Laboratorium Fizyki; ćwiczenie Nr 1

więcej podobnych podstron