MATERIAŁ PRZYGOTOWAWCZY DO KOL. 2, SEM. 2

Zad. 1 - Zastosowania mechaniczne całek podwójnych i potrójnych
(masa, momenty bezwładności, środek ciężkości,
parcie cieczy na pionową ściankę,
praca przy opróżnianiu cieczy ze zbiornika lub usypania kopca)

Zad. 2 - Zastosowania geometryczne i mechaniczne całek powierzchniowych

niezorientowanych (pole, masa, momenty, środek ciężkości płata)

albo sprawdzenie tw. Greena (lub jego wniosku na pole figury

płaskiej)

Wybrane przykłady

Zestaw 1

1)

Znaleźć moment bezwładności jednorodnej (o gęstości 2) bryły V zadanej układem

nierówności:

2

2

2

8

0

0

x

y

z

y

z

+

+

≤ ∧

≥

∧

≤

względem jej płaszczyzny symetrii.

2) Obliczyć pole płata o równaniu

2

2

3 2

2

,

y

x

z

= −

−

dla którego

1,

0

y

z

≥

≤

.

Szkic rozwiązań

Ad 1) Wykonać rysunek (ćwiartka kuli), napisać wzór na moment i obliczyć go (stosując
zamianę zmiennych prostokątnych na sferyczne)

2

sin

cos

sin

sin

cos

sin

2

4

3

2

∆

2 2

3

2

4

/ 2

0

0

2 / 3

/ 2

128 2 / 5

,

2

2

∆

:

0 ,

2

sin

cos

0, 2 2

256 2

2

sin

cos

.

15

x

y

z

J

yz

S

V

B

x dx dy dz

V

d

d

d

d

d

d

ψ

ψ

ρ

ψ

ϕ

ρ

ψ

ϕ

ρ

ψ

ρ

ψ

ψ

π

π

π

π

π

ψ

π

ϕ

π

ρ

ψ

ϕ ψ ϕ ρ

ρ

ψ ψ

ϕ ϕ

ρ ρ

=



=



=



=



∈





=

=

←

∈

=

=





∈





=

⋅

⋅

=

∫∫∫

∫∫∫

∫

∫

∫














Ad 2) Wykonać rysunek (połówka płata paraboloidy), dokonać parametryzacji (we
współrzędnych biegunowych

(

)

,

u

r v

ϕ

=

=

na płaszczyźnie OXZ i obliczać następująco:

( )



( )

( )

[

]

( )

[

]

( )

( )

( )

(

)

2

2

2

2

1

2

0

3

,

sin ,3

2

, cos

,

,

0,1

,

2

2

1

,

,

sin ,

4 , cos

,

,

cos , 0,

sin

,

4

sin , , 4

cos

;

,

1 16

1 16

17 17

1 .

48

y

z

x

u

S

D

u

S

u v

u

v

u

u

v

u v

D

S

dS

u v du dv

u v

v

u

v

u v

u

v

u

v

u v

u

v u u

v

u v

u

u

u

u du

ν

ν

π π

π

π









∋

=

−

∈

=

×









=

=

=

=

′

=

−

′

=

−

′

′ 



= ×

=

=

+





=

+

=

−

∫∫

∫∫

∫

 

r

N

r

r

N

r

r

N

Zestaw 2

1)

Obliczyć pracę (w dżulach), potrzebną na opróżnienie wiadra w kształcie stożka ściętego o

promieniach podstaw: 10 cm i 15 cm oraz wysokości 30 cm, wypełnionego oliwą (o ciężarze

właściwym

γ

= 7850

3

N

m

).

Przyjąć, że wypompowanie odbywa się przez górny brzeg (poziomu

cieczy wyznaczonego położeniem większej podstawy).

2) Sprawdzić tw. Greena dla pola

[

]

,

y x

= −

w

i obszaru D ograniczonego krzywymi o

równaniach:

2

2

2 ,

2

,

2

y

x y

x

x

x

=

=

−

=

.

Szkic rozwiązań
Ad 1) Wykonać rysunek (przestrzenny) wiadra V o osi obrotu OZ i warunkach:

[ ]

[ ]

0

0,1

0,3

0,15

z

r

m

z

r

m

= ⇒ =
=

⇒ =

, a następnie obliczamy pracę wg wzoru:

(

)

(

)

(

)

[ ]

, , ;

:

0,3

0, 3

V

d

x y z

H z

L

z

dx dy dz

J

γ

=

=

−

∫∫∫





całkując po przekrojach poprzecznych tej bryły:

(

)

(

)

(

)

[ ]

1
6

cos

sin

∆

1
6

0,1

0,3

0,3

2

1
6

0

0

0

0, 0,3

0,15

0, 05

1

(0,3

)

∆ :

0 , 2

;

(0,3

)

0,3

0,3

6

0,

0,1

2

0, 3

0,3

0,1

0, 0006

15, 26

.

x r
y r
z

r

J

r

W

V

z

z

r

L

z dx dy dz

V

z r dz d

dr

z

r

z

z dz

r dr

z

z

dz

J

ϕ

ϕ

γ

ϕ

π

γ

ϕ

γ π

π γ

π γ

=



=



=



=

+

 ∈



−

=

−

=

←



∈

=

=

=

−

=



−



∈

+



=

−

=

−

+

=

≈

∫∫∫

∫∫∫

∫

∫

∫

Ad 2) Wykonać rysunek (obszar D zawarty między półokręgiem

1

K

+

, odcinkiem

2

K

+

i

łukiem paraboli

3

K

+

). Mamy sprawdzić równość:

1

2

3

2

D

K

K

K

dx dy

+

+

+

+

+

=

∫

∫

∫

∫∫

i

i

i

w

w

w

dl

dl

dl

.

Przyjmując parametryzacje:

( )

[

]

( )

[

]

1

:

1 cos , sin ,

0,

;

sin , cos

K

t

t

t

t

t

t

t

π

−

= +

∈

= −

r

r '

( )

[ ]

( )

[ ]

2

:

2, ,

0, 2 ;

0,1

K

t

t

t

t

+

=

∈

=

r

r '

( )

( )

[ ]

2

3

:

,

,

0, 2 ;

2

,1

t

K

t

t

t

t

t

−





=

∈









=

r

r '

mamy:

lewa strona =

[

] [

]

[

] [ ]

[ ]

(

)

2

2

2

1
2

0

0

0

2

2

2

2

2

16

1

4

2

3

3

0

0

0

sin ,1 cos

sin , cos

, 2

0,1

,

,1

sin

cos

cos

2

4

t

t

t

t dt

t

dt

t

t

t

dt

t

t

t dt

dt

t dt

π

π

π

π





− −

+

−

+ −

−

−

=





= −

+

+

+

+

= − + + = −

∫

∫

∫

∫

∫

∫

i

i

i

,

a prawa strona =

2

2

2

2

2

2

1

3 / 2

2

3
2

0

0

1

0

2

16

2

2

2

1

1

2 2

2

1

3

x

u

x x

x

dx

dy

x

x

dx

u du

π

−

−













=

−

−

−

=

−

−

=

−

















∫

∫

∫

∫

,

czyli twierdzenie Greena zostało sprawdzone.