dr hab. Leszek Gasiński, prof. UJ
Uniwersytet Jagielloński
Instytut Informatyki
———
ul. Łojasiewicza 6
30-348 Kraków
Algebra Liniowa I
Semestr zimowy
Zestaw ćwiczeń 4
Kraków, 23.10.2013
1
IV. Wielomiany: podstawowe definicje, pierwiastki wielomianu
Zadanie 4.1. ([2, 48/4.2])
Obliczyć ilorazy oraz reszty z dzielenia wielomianu P przez wielomian Q, jeżeli:
(a) P (x) = 2x
4
− 3x
3
+ 4x
2
− 5x + 6, Q(x) = x
2
− 3x + 1; (b) P (x) = x
16
− 16, Q(x) = x
4
+ 2
(c) P (z) = z
5
− z
3
+ 1,
Q(x) = (z
− i)
3
.
Zadanie 4.2. ([2, 49/4.3])
Znaleźć wszystkie pierwiastki całkowite podanych wielomianów:
(a) P (x) = x
3
+ x
2
− 4x − 4;
(b) P (x) = 3x
3
− 7x
2
+ 4x
− 4;
(c) P (x) = x
5
− 2x
4
− 4x
3
+ 4x
2
− 5x + 6; (d) P (x) = x
4
+ 3x
3
− x
2
+ 17x + 99.
Zadanie 4.3. ([2, 49/4.4], [1, 14/V.B.3])
Znaleźć wszystkie pierwiastki wymierne podanych wielomianów:
(a) P (x) = x
3
−
7
6
x
2
−
3
2
x
−
1
3
;
(b) P (x) = 4x
4
+ 4x
3
+ 3x
2
− x − 1; (c) P (x) = 4x
3
+ x
− 1;
(d) P (x) = x
5
+
4
3
x
3
− x
2
+
1
3
x
−
1
3
;
(e) P (x) = 4x
4
+ x
2
− 3x + 1.
Zadanie 4.4. ([2, 49/4.5])
Znaleźć pierwiastki podanych równań kwadratowych i dwukwadratowych:
(a) z
2
− 4z + 13 = 0; (b) z
2
− (3 − 2i)z + (5 − 5i) = 0; (c) z
4
+ 8z
2
+ 15 = 0;
(d) z
4
− 3iz
2
+ 4 = 0.
Zadanie 4.5. ([1, 11/II.D.4; 12/III.C.2, III.D.4; 15/VI.A.3; 17/VII.B.3; 18/VIII.C.3; 19/IX.C.4;
20/X.A.3, X.B.3, X.C.3; 21/X.D.3])
Znaleźć pierwiastki podanych wielomianów:
(a) W (z) = z
3
− z + 6;
(b) W (z) = z
3
+ 7z
2
+ 7z + 6;
(c) W (z) = z
3
+ 9z
2
+ 9z
− 10;
(d) W (z) = 2z
3
− 3z
2
− 3z − 5; (e) W (z) = z
6
+ z
4
+ 2z
2
− 4;
(f ) W (z) = z
4
− z
3
− 2z
2
+ 6z
− 4;
(g) W (z) = 2z
3
− 3z
2
+ 2z
− 1; (h) W (z) = z
4
− z
2
− 6;
(i) W (z) = z
5
− z
4
+ z
3
− z
2
+ z
− 1;
(j) W (z) = z
6
− 2z
4
+ 4z
2
− 8;
(k) W (z) = z
4
+ z
3
+ 2z
2
+ z + 1.
Zadanie 4.6. ([1, 11/III.A.3; 12/III.B.1; 16/VII.A.1])
Wyznaczyć W (i), a następnie znaleźć wszystkie pierwiastki wielomianu:
(a) W (z) = z
4
− z
3
+ 2z
2
− z + 1; (b) W (z) = z
4
+ 3z
3
+ 2z
2
+ 3z + 1;
(c) W (z) = z
4
+ z
3
+ 2z
2
+ z + 1.
Zadanie 4.7. ([2, 49/4.6], [1, 10/II.A.3, II.B.4; 14/IV.D.4, V.A.2; 17/VII.C.3; 18/VIII.D.3;
19/IX.B.2; 20/IX.D.4])
Znając niektóre pierwiastki podanych wielomianów, znaleźć ich pozostałe pierwiastki. Przedstawić wielo-
miany w postaci czynników liniowych. Rozłożyć podane wielomiany na rzeczywiste czynniki nierozkładalne.
(a) W (x) = x
3
− 3
√
2x
2
+ 7x
− 3
√
2,
x
1
=
√
2 + i;
(b) W (x) = x
4
− 2x
3
+ 7x
2
+ 6x
− 30,
x
1
= 1
− 3i;
(c) W (x) = x
4
− 6x
3
+ 18x
2
− 30x + 25,
x
1
= 2 + i;
(d) W (x) = x
6
− 2x
5
+ 5x
4
− 6x
3
+ 8x
2
− 4x + 4,
x
1
= i, x
2
=
−
√
2i;
(e) W (x) = x
6
− 6x
5
+ 18x
4
− 28x
3
+ 31x
2
− 22x + 14, x
1
= 1
− i, x
2
= 2
−
√
3i;
(f ) W (x) = x
4
+ 2x
3
+ 9x
2
+ 8x + 20,
x
1
=
−1 − 2i;
(g) W (x) = x
4
− 6x
3
+ 18x
2
− 30x + 25,
x
1
= 2
− i;
(h) W (x) = x
5
− 5x
4
+ 18x
3
− 18x
2
+ 17x
− 13,
x
1
= 2
− 3i, x
2
= i;
(i) W (x) = x
4
− x
3
+ x
2
+ 9x
− 10,
x
1
= 1 + 2i;
(j) W (x) = x
4
− 5x
3
+ 10x
2
− 10x + 4,
x
1
= 1 + i;
(k) W (x) = x
4
− 6x
3
+ 15x
2
− 18x + 10,
x
1
= 2 + i;
(l) W (x) = x
4
+ x
3
+ 2x
2
+ x + 1,
x
1
= i;
(m) W (x) = x
4
− 2x
3
+ 8x
2
− 6x + 15,
x
1
=
−
√
3i.
