dr hab. Leszek Gasiński, prof. UJ

Uniwersytet Jagielloński

Instytut Informatyki

———

ul. Łojasiewicza 6

30-348 Kraków

Algebra Liniowa I

Semestr zimowy

Zestaw ćwiczeń 4

Kraków, 23.10.2013

1

IV. Wielomiany: podstawowe definicje, pierwiastki wielomianu

Zadanie 4.1. ([2, 48/4.2])
Obliczyć ilorazy oraz reszty z dzielenia wielomianu P przez wielomian Q, jeżeli:

(a) P (x) = 2x

4

− 3x

3

+ 4x

2

− 5x + 6, Q(x) = x

2

− 3x + 1; (b) P (x) = x

16

− 16, Q(x) = x

4

+ 2

(c) P (z) = z

5

− z

3

+ 1,

Q(x) = (z

− i)

3

.

Zadanie 4.2. ([2, 49/4.3])
Znaleźć wszystkie pierwiastki całkowite podanych wielomianów:

(a) P (x) = x

3

+ x

2

− 4x − 4;

(b) P (x) = 3x

3

− 7x

2

+ 4x

− 4;

(c) P (x) = x

5

− 2x

4

− 4x

3

+ 4x

2

− 5x + 6; (d) P (x) = x

4

+ 3x

3

− x

2

+ 17x + 99.

Zadanie 4.3. ([2, 49/4.4], [1, 14/V.B.3])
Znaleźć wszystkie pierwiastki wymierne podanych wielomianów:

(a) P (x) = x

3

−

7

6

x

2

−

3

2

x

−

1

3

;

(b) P (x) = 4x

4

+ 4x

3

+ 3x

2

− x − 1; (c) P (x) = 4x

3

+ x

− 1;

(d) P (x) = x

5

+

4

3

x

3

− x

2

+

1

3

x

−

1

3

;

(e) P (x) = 4x

4

+ x

2

− 3x + 1.

Zadanie 4.4. ([2, 49/4.5])
Znaleźć pierwiastki podanych równań kwadratowych i dwukwadratowych:

(a) z

2

− 4z + 13 = 0; (b) z

2

− (3 − 2i)z + (5 − 5i) = 0; (c) z

4

+ 8z

2

+ 15 = 0;

(d) z

4

− 3iz

2

+ 4 = 0.

Zadanie 4.5. ([1, 11/II.D.4; 12/III.C.2, III.D.4; 15/VI.A.3; 17/VII.B.3; 18/VIII.C.3; 19/IX.C.4;
20/X.A.3, X.B.3, X.C.3; 21/X.D.3])
Znaleźć pierwiastki podanych wielomianów:

(a) W (z) = z

3

− z + 6;

(b) W (z) = z

3

+ 7z

2

+ 7z + 6;

(c) W (z) = z

3

+ 9z

2

+ 9z

− 10;

(d) W (z) = 2z

3

− 3z

2

− 3z − 5; (e) W (z) = z

6

+ z

4

+ 2z

2

− 4;

(f ) W (z) = z

4

− z

3

− 2z

2

+ 6z

− 4;

(g) W (z) = 2z

3

− 3z

2

+ 2z

− 1; (h) W (z) = z

4

− z

2

− 6;

(i) W (z) = z

5

− z

4

+ z

3

− z

2

+ z

− 1;

(j) W (z) = z

6

− 2z

4

+ 4z

2

− 8;

(k) W (z) = z

4

+ z

3

+ 2z

2

+ z + 1.

Zadanie 4.6. ([1, 11/III.A.3; 12/III.B.1; 16/VII.A.1])
Wyznaczyć W (i), a następnie znaleźć wszystkie pierwiastki wielomianu:

(a) W (z) = z

4

− z

3

+ 2z

2

− z + 1; (b) W (z) = z

4

+ 3z

3

+ 2z

2

+ 3z + 1;

(c) W (z) = z

4

+ z

3

+ 2z

2

+ z + 1.

Zadanie 4.7. ([2, 49/4.6], [1, 10/II.A.3, II.B.4; 14/IV.D.4, V.A.2; 17/VII.C.3; 18/VIII.D.3;
19/IX.B.2; 20/IX.D.4])
Znając niektóre pierwiastki podanych wielomianów, znaleźć ich pozostałe pierwiastki. Przedstawić wielo-
miany w postaci czynników liniowych. Rozłożyć podane wielomiany na rzeczywiste czynniki nierozkładalne.

(a) W (x) = x

3

− 3

√

2x

2

+ 7x

− 3

√

2,

x

1

=

√

2 + i;

(b) W (x) = x

4

− 2x

3

+ 7x

2

+ 6x

− 30,

x

1

= 1

− 3i;

(c) W (x) = x

4

− 6x

3

+ 18x

2

− 30x + 25,

x

1

= 2 + i;

(d) W (x) = x

6

− 2x

5

+ 5x

4

− 6x

3

+ 8x

2

− 4x + 4,

x

1

= i, x

2

=

−

√

2i;

(e) W (x) = x

6

− 6x

5

+ 18x

4

− 28x

3

+ 31x

2

− 22x + 14, x

1

= 1

− i, x

2

= 2

−

√

3i;

(f ) W (x) = x

4

+ 2x

3

+ 9x

2

+ 8x + 20,

x

1

=

−1 − 2i;

(g) W (x) = x

4

− 6x

3

+ 18x

2

− 30x + 25,

x

1

= 2

− i;

(h) W (x) = x

5

− 5x

4

+ 18x

3

− 18x

2

+ 17x

− 13,

x

1

= 2

− 3i, x

2

= i;

(i) W (x) = x

4

− x

3

+ x

2

+ 9x

− 10,

x

1

= 1 + 2i;

(j) W (x) = x

4

− 5x

3

+ 10x

2

− 10x + 4,

x

1

= 1 + i;

(k) W (x) = x

4

− 6x

3

+ 15x

2

− 18x + 10,

x

1

= 2 + i;

(l) W (x) = x

4

+ x

3

+ 2x

2

+ x + 1,

x

1

= i;

(m) W (x) = x

4

− 2x

3

+ 8x

2

− 6x + 15,

x

1

=

−

√

3i.

dr hab. Leszek Gasiński, prof. UJ

Uniwersytet Jagielloński

Instytut Informatyki

———

ul. Łojasiewicza 6

30-348 Kraków

Algebra Liniowa I

Semestr zimowy

Zestaw ćwiczeń 4

Kraków, 23.10.2013

2

Zadanie 4.8. ([2, 49/4.7], [1, 13/IV.C.3; 15/VI.B.4; 18/VIII.B.2])
Nie wykonując dzieleń, znaleźć resztę z dzielenia wielomianu P przez wielomian Q, jeżeli:

(a) P (x) = x

8

− 3x

3

+ 5x,

Q(x) = x

2

− x − 2;

(b) P (x) = x

14

− 4x

10

+ x

2

+

√

2x,

Q(x) = x

2

+ 2;

(c) P (x) = x

30

+ 3x

14

+ 2,

Q(x) = x

3

+ 1;

(d) P (x) = x

100

+ 2x

51

− 3x

2

+ 1,

Q(x) = x

2

− 1;

(e) P (x) = x

5

+ x

− 2,

Q(x) = x

2

− 2x + 5; (f) P (x) = x

6

+ x

− 50,

Q(x) = x

3

+ 8;

(g) P (x) = x

100

(x

2

+ x + 1),

Q(x) = x

2

− 1;

(h) P (x) = x

16

− x

5

+ 3,

Q(x) = x

2

+ 1;

(i) P (x) = x

100

− 2x

55

+ 1,

Q(x) = x

2

+ 1.

Literatura

[1] Marian Gewart and Zbigniew Skoczylas. Algebra liniowa 1. Kolokwia i egzaminy. Oficyna Wydawnicza

GiS, wydanie IX uzupełnione, Wrocław, 2005.

[2] Teresa Jurlewicz and Zbigniew Skoczylas. Algebra liniowa 1. Przykłady i zadania. Oficyna Wydawnicza

GiS, wydanie VIII poprawione, Wrocław, 2002.