dr hab. Leszek Gasiński, prof. UJ

Uniwersytet Jagielloński

Instytut Informatyki

———

ul. Łojasiewicza 6

30-348 Kraków

Algebra Liniowa I

Semestr zimowy

Zestaw ćwiczeń 12

Kraków, 08.01.2014

1

XII. Iloczyn mieszany. Równanie płaszczyzny i prostej.

Zadanie 12.1. (Iloczyn mieszany; [2, 140/12.1])
Obliczyć iloczyny mieszane podanych trójek wektorów:

(a) ⃗a = (

−3, 2, 1), ⃗b = (0, 1, −5), ⃗c = (2, 3 − 4); (b) ⃗u =⃗i + ⃗j, ⃗v = 2⃗i − 3⃗j + ⃗k, ⃗w = −⃗i + 2⃗j − 5⃗k.

Zadanie 12.2. (Objętości brył; [2, 140/12.2])
Obliczyć objętości:
(a) równoległościanu rozpiętego na wektorach ⃗a = (0, 0, 1), ⃗b = (

−1, 2, 3), ⃗c = (2, 5, −1).

(b) czworościanu o wierzchołkach A = (1, 1, 1), B = (1, 2, 3), C = (2, 3,

−1), D = (−1, 3, 5).

Zadanie 12.3. (Położenie punktów i wektorów; [2, 140/12.3], [1, 25/III.A.4])
Sprawdzić, czy:
(a) wektory ⃗a = (

−1, 3, −5), ⃗b = (1, −1, 1), ⃗c = (4, −2, 0) są współpłaszczyznowe;

(b) punkty P = (0, 0, 0), Q = (

−1, 2, 3), R = (2, 3, −4), S = (2, −1, 5) są współpłaszczyznowe;

(c) punkty A = (3, 5, 6), B = (1, 0, 1), C = (7, 15, 16) są współliniowe. Jeśli tak, to napisać równanie para-
metryczne prostej przechodzącej przez te punkty. Jeśli nie, to napisać równanie płaszczyzny przechodzącej
przez te punkty.

Zadanie 12.4. (Płaszczyzny; [2, 140/12.4], [1, 23/II.A.4, 24/II.D.3, 27/IV.B.3, 28/IV.D.3,
37/X.A.3])
Napisać równania ogólne, normalne, odcinkowe i parametryczne płaszczyzn spełniających podane warunki:
(a) płaszczyzna przechodzi przez punkt P = (1,

−2, 0) i jest prostopadła do wektora ⃗n = (0, −3, 2);

(b) płaszczyzna przechodzi przez punkty P

1

= (0, 0, 0), P

2

= (1, 2, 3), P

3

= (

−1, −3, 5);

(c) płaszczyzna przechodzi przez punkty P

1

= (1,

−3, 4), P

2

= (2, 0,

−1) oraz jest prostopadła do płasz-

czyzny xOz;
(d) płaszczyzna przechodzi przez punkt P = (1,

−1, 3) oraz jest równoległa do wektorów ⃗a = (1, 1, 0),

⃗b = (0, 1, 1);

(e) płaszczyzna przechodzi przez punkt P = (0, 3, 0) oraz jest równoległa do płaszczyzny π : 3x

−y +2 = 0;

(f ) płaszczyzna przechodzi przez punkt P = (2, 1,

−3) oraz jest prostopadła do płaszczyzn π

1

: x + y = 0,

π

2

: y

− z = 0;

(g) płaszczyzna przechodzi przez punkty P

1

= (

−7, −1, −2), P

2

= (1, 2, 4), P

3

= (

−2, 2, 5);

(h) płaszczyzna przechodzi przez punkt P = (4, 7, 2) i jest prostopadła do prostej l :

{

3x + 2y

− z − 3 = 0,

x

− y − 3z − 6 = 0,

;

(i) płaszczyzna przechodzi przez punkt P = (1, 2, 3) oraz jest równoległa do wektorów ⃗

u = (

−1, 0, 2),

⃗

v = (2,

−1, 1);

(j) płaszczyzna przechodzi przez punkt P = (1, 2, 3) oraz jest równoległa do prostych l :










x =

−3 + 2t,

y = 2

− 3t,

z = 5,

gdzie t

∈ R, k :










x = 1 + s,
y = 2

− s,

z = 5s,

gdzie s

∈ R;

(k) płaszczyzna przechodzi przez punkt P = (2, 2, 1) oraz jest prostopadła do płaszczyzn π

1

: x+y +z

−2 =

0, π

2

: x

− y + z + 2 = 0.

Zadanie 12.5. (Proste; [2, 140/12.5], [1, 23/II.B.4, 30/V.D.4])
Napisać równania parametryczne, kierunkowe (kanoniczne), krawędziowe (ogólne) prostych spełniających
podane warunki:
(a) prosta przechodzi przez punkt P = (

−3, 5, 2) i jest równoległa do wektora ⃗v = (2, −1, 3);

(b) prosta przechodzi przez punkty P

1

= (1, 0, 6), P

2

= (

−2, 2, 4);

(c) prosta przechodzi przez punkt P = (0,

−2, 3) i jest prostopadła do płaszczyzny π : 3x − y + 2z − 6 = 0;

dr hab. Leszek Gasiński, prof. UJ

Uniwersytet Jagielloński

Instytut Informatyki

———

ul. Łojasiewicza 6

30-348 Kraków

Algebra Liniowa I

Semestr zimowy

Zestaw ćwiczeń 12

Kraków, 08.01.2014

2

(d) prosta przechodzi przez punkt P = (7, 2, 0) i jest prostopadła do wektorów ⃗

v

1

= (2, 0,

−3), ⃗v

2

=

(

−1, 2, 0);

(e) prosta jest dwusieczną kąta ostrego utworzonego przez proste l

1

:

x + 2

3

=

y

− 4

−1

=

z

5

, l

2

:

x + 2

1

=

y

− 4

−5

=

z

3

;

(f ) prosta przechodzi przez punkt P = (1, 2, 3) i jest równoległa do prostej l :

{

x + y + z

− 3 = 0,

2x + y + 5 = 0,

;

(g) prosta przechodzi przez początek układu współrzędnych i jest prostopadła do płaszczyzny π : (x, y, z) =
(1, 2, 0) + s(

−1, 0, 1) + t(0, 1, 0), gdzie s, t ∈ R.

Zadanie 12.6. (Punkt, prosta, płaszczyzna; [2, 140/12.6])
Zbadać, czy:

(a) punkty A = (1, 2, 3), B = (

−1, −2, 0) leżą na prostej l :










x = 1 + t,
y = 2 + 2t,
z = 3

− t,

gdzie t

∈ R.

(b) prosta m :

{

2x + y

− z + 3 = 0,

x

− 2y + z − 5 = 0,

jest zawarta w płaszczyźnie π : 5y

− 3z + 13 = 0.

(c) punkty A = (0, 1, 5), B = (1, 2, 3) należą do płaszczyzny π :










x =

−1 + s + t,

y = 2 + 3s

− t,

z = 3

− s + 2t,

gdzie s, t

∈ R.

(d) proste l

1

:

x + 1

−2

=

y

− 3

1

=

z + 4

−8

, l

2

:

x

1

=

y

− 1

1

=

z

− 2

2

mają punkt wspólny.

(e) prosta l :










x = t,
y = 1 + 2t,
z = 2 + 3t,

gdzie t

∈ R, jest równoległa do płaszczyzny π : x + y − z + 3 = 0.

Zadanie 12.7. (Przecięcia prostych i płaszczyzn; [2, 141/12.7], [1, 31/VI.D.3])
Znaleźć punkt przecięcia:

(a) prostych l

1

:

{

x + 2y

− z + 4 = 0,

y + z

− 3 = 0,

, l

2

:

{

2x

− y − 2z + 8 = 0,

x + 2y + 2z

− 5 = 0,

;

(b) prostej l :

x

− 1

0

=

y + 2

3

=

z

− 4

−1

oraz płaszczyzny π :










x = s + t,
y = 1 + s + 2t,
z = 3 + 2s + 4t,

gdzie s, t

∈ R;

(c) płaszczyzn π

1

: 3x + y + z + 1 = 0, π

2

: x + 2z + 6 = 0, π

3

: 3y + 2z = 0;

(d) prostej przechodzącej przez punkty A = (0, 1, 3) i B = (1, 0, 0) oraz płaszczyzny prostopadłej do tej
prostej i przechodzącej przez punkt C = (1, 2, 3).

Zadanie 12.8. (Położenie punktów; [2, 141/12.8])
Zbadać, czy punkty P = (1,

−2, 2) i Q = (−2, 4, 3) leżą po tej samej stronie podanych płaszczyzn:

(a) π : 2x + 3z

− 7 = 0; (b) π : x − 2y + 3z + 13 = 0.

Zadanie 12.9. (Płaszczyzna lub prosta; [1, 26/III.C.4, III.D.4])
(a) Sprawdzić, czy wektory ⃗

u = (1, 2, 3) i ⃗

v = (0, 3, 5) rozpinają płaszczyznę. Jeśli tak, to napisać równanie

parametryczne płaszczyzny równoległej do danej i przechodzącej przez punkt P

0

= (2, 3, 0). Jeśli nie, to

napisać równanie parametryczne prostej równoległej do wektorów ⃗

u, ⃗

w i przechodzącej przez punkt P

0

.

(b) Sprawdzić, czy punkty A = (1, 2, 4), B = (3, 3, 3) i C = (2, 8, 3) są współliniowe. Jeśli tak, to napi-
sać równanie kierunkowe prostej przechodzącej przez te punkty. Jeśli nie, to napisać równanie normalne
płaszczyzny przechodzącej przez te punkty.

dr hab. Leszek Gasiński, prof. UJ

Uniwersytet Jagielloński

Instytut Informatyki

———

ul. Łojasiewicza 6

30-348 Kraków

Algebra Liniowa I

Semestr zimowy

Zestaw ćwiczeń 12

Kraków, 08.01.2014

3

Literatura

[1] Marian Gewart and Zbigniew Skoczylas. Algebra liniowa 1. Kolokwia i egzaminy. Oficyna Wydawnicza

GiS, wydanie IX uzupełnione, Wrocław, 2005.

[2] Teresa Jurlewicz and Zbigniew Skoczylas. Algebra liniowa 1. Przykłady i zadania. Oficyna Wydawnicza

GiS, wydanie VIII poprawione, Wrocław, 2002.