Logika: 

  ∨   −    
   

  ∧  −   
   

  ⇒  − 
  ż  
   

  ⇔  −  ó  ż 
  ó  ż   

Prawa de Morgana: 

1.

 

~
 ∧  ⇔ ~
 ∨ ~ 

2.

 

~
 ∨  ⇔ ~
 ∧ ~  

Kwantyfikatory: 

! 
"

#∈%

−  &ż  '  & ż& ( " ∈ ) 

* 
"

#∈%

−  ł  '  ,   " ∈ ) 

Reguła (prawo) de Morgana dla kwantyfikatorów: 

1. ∼ ! 
"

#∈%

 ⇔ * ~
"

#∈%

 

2. ~ * 
"

#∈%

 ⇔ ! ∼ 
"

#∈%

 

! ! "

.

< 

0∈1

#∈1

− 'ł,2  

* ! "

.

< 

0∈1

#∈1

− 'ł,2  

! * "

.

< 

0∈1

#∈1

− 
 &2  

* * "

.

< 

0∈1

#∈1

− 
 &2  

Zbiory: 

3 ⊂ 5 −   , 
&2  2  5, 3 2     ,   5 

3 ∪ 8 ≝ , & óℎ 2 ó , , 2 ó  2 & ' 

3 ∪ 8 ≝ ;" ∈ 5: " ∈ 3 ∨ " ∈ 8= 

3 − 8 ≝ ;" ∈ 5: " ∈ 3 ∧ " ∉ 8= = ;" ∈ 5: " ∈ 3 ∧∼ " ∈ 8= −   óż 2 ó  

3 ∩ 8 ≝ ;" ∈ 5: " ∈ 3 ∧ " ∈ 8= −  2 2 ó  

Def. Niech A i B będą dowolnymi zbiorami, wtedy iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B nazywamy zbiór: 

3 × 8 ≝ ;, :  ∈ 3 ∧  ∈ 8= 

Def. Parą elementów a i b nazywamy zbiór 

,  = B;=, ;, =C 

UWAGA: 

3 × 8 ≠ 8 × 3 

Wartość bezwzględna: 

Def. Wartością bezwzględna nazywamy: 

|"| = F " (& " ≥ 0

−" (& " < 0

I 

Tw, Wartość bezwzględna spełnia warunki: 

1. ! |" ∗ |

#,0∈1

= |"| ∗ || 

2. ! K

"

K

#,0∈1

=

|"|

||

 

3. ! M"

.

#∈1

= |"| 

Wzory skróconego mnożenia: 

1.  + 

.

= 

.

+ 2 + 

.

−   &  , 

2.  − 

.

= 

.

− 2 + 

.

−   &   óż 

3. 

.

− 

.

=  −  +  −   óż  & ó  

4.  + 

P

= 

P

+ 3

.

 + 3

.

+ 

P

−  ,2 ś , 

5.  − 

P

= 

P

− 3

.

 + 3

.

− 

P

−  ,2 ś  óż 

6. 

P

− 

P

=  − 

.

+  + 

.

 −   óż ,2 śó  

7. 

P

+ 

P

=  + 

.

−  + 

.

 −  , ,2 śó  

Prawo trychotomii: 

!  <  ∨  =  ∨  > 

V,W∈1

 

! *  <  ⇒  <  < 

X∈1

V,W∈1

 

Def. Niech 

3 ⊂ 5. Jeżeli istnieje liczba  ∈ 5 taka, że  ≤ ", dla " ∈ 3 to mówimy, że zbiór 3 jest ograniczony z 

dołu, a o takiej liczbie 

, że jest liczbą ograniczającą ten zbiór z dołu. 

* !  ≤ "

#∈Z

[∈1

 

 

Def. Niech 

3 ⊂ 5. Jeżeli istnieje liczba \ ∈ 5 taka, że \ ≥ ", dla " ∈ 3 to mówimy, że jest liczbą ograniczającą ten 

zbiór z dołu. 

* ! " ≤ \

#∈Z

]∈1

 

 

Tw. Na to aby zbiór 

3 ⊂ 5 był ograniczony potrzeba i wystarcza aby istniała stała  > 0 taka, że dla każdego " ∈ 3 

zachodziła nierówność: 

|"| ≤  

* !|"| < 

#∈Z

^_`

 

|"| ≤ 5 ⇔ − ≤ " ≤ , " ∈ a−, b  

 

Def. Niech 

3 ⊂ 5. Mówimy, że liczba  jest kresem dolnym zbioru 3 jeżeli  jest najmniejszą liczbą zbioru lub 

(jeżeli najmniejszej liczby zbiór 

3 nie posiada) największą liczbę ograniczającą ten zbiór z dołu. 

 = '3 

Def. Mówimy, że liczba 

\ jest kresem górnym zbioru 3 ⊂ 5 jeżeli \ jest największą liczbą zbioru 3, bądź (gdy 

zbiór 

3 nie ma największej liczby) najmniejszą liczba ograniczającą ten zbiór z góry. 

\ = ,
8 

Tw. 

3 ⊂ 8 ⊂ 5 to: 

 

 '3 ≥ '8 

 

 ,3 ≤ ,8 

Funkcje: 

Def. 

), c − &   2 . Funkcją określoną na zbiorze ) o wartościach w zbiorze c nazywamy 

przyporządkowanie takie, które każdemu elementowi zbioru 

) przyporządkowuje jeden i tylko jeden element ze 

zbioru 

c. 

': ) → c - funkcja ' jest określona na ) i wartość na w zbiorze c 

) = e

f

 - dziedzina funkcji, 

g

f

 - zbiór wartości funkcji, 

f

 – wykres funkcji 

g

f

= ; ∈ c: ! "

f

→ = = ; ∈ c: *  = '"

#∈%

#∈%

  

"

f

→  ⇔  = '" 

g

f

⊂ c, e

f

≠ c 

h

f

≝ ;",  ∈ ) × c: *  = '"

#∈i

j

  

Wykres istnieje tylko wtedy gdy dowolna linia prostopadła do osi X przecina linię wykresu tylko w jednym miejscu. 

Def. Mówimy, że funkcja 

': ) → c jest iniekcją (różnowartościową) jeżeli: 

!

#

k

,#

l

∈%

"

m

≠ "

.

⇒ '"

m

 ≠ '"

.

 

Def. Mówimy, że funkcja 

': ) → c jest surjekcją („na”) jeżeli:  

g

f

= c, 

!

0∈n

*

#∈%

 = '" 

Def. Funkcję, która jest iniekcją i surjekcją nazywany bijekcją.  

 

Sposoby zadawania funkcji: 

I.

 

Tabelka, jeżeli zbiory są skończone, 

) = ;"

m

, "

.

, "

P

, … "

p

=, c ⊂ 5 

x

1 

x

2 

x

3 

…  x

n 

y

1 

y

2 

y

3 

…  y

n 

 

II.

 

Wzór funkcyjny 

III.

 

Wykres funkcji 

Funkcja jest injiekcją jeśli dowolna prosta prostopadła do osi Y może przecinać wykres w najwięcej jednym punkcie. 

Rzut wykresu na oś X daje 

e

f

, na oś Y daje 

g

f

. 

Def. Jeżeli 

': ) → c jest bijekcją to funkcja '

qm

: ) → c taka, że gdy  = '"to '

qm

 = ". Nazywamy taką 

funkcję funkcją odwrotną do 

' 

) → "

f

→  ∈ c ⇔ 

f

rk

stu " 

Złożenie funkcji 

Dane: 

': " →  

(:  → 2 

" → )

f

→  → c 

 → c

v

→ 2 → w 

ℎ: ) → w 

2 = ℎ" ⇔  = '" ∧ 2 = ( 

xy = z{|y} ⇒ ℎ" = (,  = '" 

ℎ = ' ∘ ( 

ℎ" = ' ∘ (" = ({'"} 

Tw. Własności złożenia funkcji i funkcji odwrotnych. 

Jeżeli 

': ) → c, (: c → w są bijekcjami to: 

a)

 

' ∘ (

qm

= (

qm

∘ '

qm

 

b)

 

'

qm

{'"} = " 

c)

 

'{'

qm

"} = " 

 

I.

 

Funkcje liniowe 

'" = " + ,     ,  ∈ 5 

 = 0, '" =  (funkcja stała) e

f

= 5, g

f

= 5 Zbiór wartości funkcji = 

przeciwdziedzina. 

 = (  
Przecięcie z 

€c0, , z €) −

W
V

, 0‚ 

 

 

 

 

II.

 

Funkcja kwadratowa 

'" = "

.

+ " + , , ,  ∈ 5,  ≠ 0 

e

f

= 5,  

g

f

= a

qƒ

„V

; I I∞,  > 0,  g

f

= −∞;

qƒ

„V

‚ ,  < 0  

h 

qW

.V

;

qƒ

„V

‚ - wierzchołek paraboli 

"

‡

=

qW

.V

 , Δ = 0       

 

III.

 

Wielomiany 

h

p

" = 

p

" + 

pqm

"

pqm

+ ⋯ + 

m

" + 

`

,  



`

, 

m

, 

.

, … 

p

∈ 5 ⇔ 

Š

∈ 5,  = 0,1,2 …  

n – stopień wielomianu 

Jeżeli n jest stopniem wielomianu to może on mieć co najwyżej n pierwiastków. 

"

`

−  
 , , '"

`

 = 0 

Tw. Bezouta 

Jeżeli 

"

`

 jest pierwiastkiem wielomianu 

h

p

 to 

h

p

" = " − "

`

‹

pqm

". Jeżeli wielomian h

p

 ma dokładnie n 

pierwiastków to 

h

p

" = 

p

" − "

m

" − "

.

 … " − "

p

, "

Š

 – pierwiastki wielomianu. 

'" = h

.

" = " − "

m

" − "

.

 – postać iloczynowa trójmianu kwadratowego 

 

 

Tw. (Podstawowe algebry) 

Każdy wielomian daje się zapisać w postaci iloczynu pewnej ilości czynników typu 

" − "

`



^

"

.

+ 
" + 

Œ

 

gdzie suma wszytkich liczb 

 i 2 jest równa  oraz 

.

− 4 < 0 

IV.

 

Funkcja potęgowa 

'" = "



, Ž ∈ 5 

V.

 

Funkcja wymierna 

'" =





#

‘

’

#

 - da się zapisać jako ułamek (liczby wymierne) 

'" =

V#“W
X#“”

 - funkcja homograficzna 

VI.

 

Funkcja wykładnicza 

'" = 

#

 – zmienna jest wykładnikiem 

1.

 

 = 1, '" = 1 

2.

 

 > 1 
 

 

           

 

 

 

3.

 

0 <  < 1 

 

 

 

 

 

 

Własności funkcji wykładniczej: 



#

k

“#

l

= 

#

k

∗ 

#

l

 



#

k

q#

l

=



#

k



#

l

 



#



^

= 

^#

 



q#

=

1



#

 



m

p

= √



 



[

p

= √

[



 

VII.

 

Funkcja logarytmiczna 

log

V

 =  ⇔ 

X

= ,  > 0, logatrytm z liczb ujemnych nie istnieje!! 

 

Własności logarytmu: 

log

V

" ∗  = log

V

" + log

V

 

log

V

"

 = log

V

" − log

V

 

log

V

"

^

=  log

V

" 

log

V

 =

1

log

W



 

Tw. 

log

V



X

=  



™š›

œ

W

=  

log

V

 = 1 

log

V

1 = 0 

 

VIII.

 

Funkcje trygonometryczne 

'" = sin ",   = 2¡, ¡ = 180° 

'" + 2¡ = '"  

  sin  =  ⇔ sin  =   

,:  a−

¤

.

;

¤

.

b → a−1; 1b,   sin: a−1; 1b → a−

¤

.

;

¤

.

b   

 

 

'" = cos ",   = 2¡ 

  cos  =  ⇔ cos  =   

cos: a0; ¡b → a−1; 1b  

  cos: a−1; 1b → a0; ¡b  

'" = (", (: 5 − ¦

¤

.

+ ¡§ → 5,   = ¡ 

  ( =  ⇔ ( =   

(: −

¤

.

;

¤

.

‚ → 5,   (: 5 → −

¤

.

;

¤

.

‚  

 

'" = (", (: 5 − ;¡= → 5 

  ( =  ⇔ ( =    

(: 0; ¡ → 5  

  (: 5 → 0; ¡  

 

 

Tw. (Własności funkcji trygonomertycznych) 

!

#∈1

sin

.

" + cos

.

" = 1 

!

,¨∈1

sinŽ + © = sin Ž cos © + sin © cos Ž 

!

,¨∈1

sinŽ − © = sin Ž cos © − sin © cos Ž 

!

,¨∈1

cosŽ + © = cos Ž cos © − sin Ž sin © 

!

,¨∈1

cosŽ − © = cos Ž cos © + sin Ž sin © 

sin 2Ž = 2 sin Ž cos Ž 

cos 2Ž = cos

.

Ž − sin

.

Ž  

(Ž =

ª«¬ 

­šª 

  

(Ž =

­šª 

ª«¬ 

   

(Ž =

m

®v

   

(Ž + © =

®v“®v¨

mq®v®v¨

   

 

¤

¯

  

¤

„

  

¤

P

  

sin 

m
.

  

√.

.

  

√P

.

  

cos 

√P

.

  

√.

.

  

m
.

  

tg 

√P

P

  

1 

√3  

ctg 

√3    

1 

√P

P

  

 

 

I 

II 

III 

IV 

sin 

+ 

+ 

- 

- 

cos 

+ 

- 

- 

+ 

tg 

+ 

- 

+ 

- 

ctg 

+ 

- 

+ 

-