Logika:

∨ −

∧ −

⇒ − ż

⇔ − óż óż

Prawa de Morgana:

1.

~ ∧ ⇔ ~ ∨ ~

2.

~ ∨ ⇔ ~ ∧ ~

Kwantyfikatory:

! "

#∈%

− &ż ' & ż&( " ∈ )

* "

#∈%

− ł ' , " ∈ )

Reguła (prawo) de Morgana dla kwantyfikatorów:

1. ∼ ! "

#∈%

⇔ * ~"

#∈%

2. ~ * "

#∈%

⇔ ! ∼ "

#∈%

! ! "

.

<

0∈1

#∈1

− 'ł,2

* ! "

.

<

0∈1

#∈1

− 'ł,2

! * "

.

<

0∈1

#∈1

− &2

* * "

.

<

0∈1

#∈1

− &2

Zbiory:

3 ⊂ 5 − , &2 2 5, 3 2 , 5

3 ∪ 8 ≝ , &óℎ 2ó, , 2ó 2 &'

3 ∪ 8 ≝ ;" ∈ 5: " ∈ 3 ∨ " ∈ 8=

3 − 8 ≝ ;" ∈ 5: " ∈ 3 ∧ " ∉ 8= = ;" ∈ 5: " ∈ 3 ∧∼ " ∈ 8= − óż 2ó

3 ∩ 8 ≝ ;" ∈ 5: " ∈ 3 ∧ " ∈ 8= − 2 2ó

Def. Niech A i B będą dowolnymi zbiorami, wtedy iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B nazywamy zbiór:

3 × 8 ≝ ;, : ∈ 3 ∧ ∈ 8=

Def. Parą elementów a i b nazywamy zbiór

, = B;=, ;, =C

UWAGA:

3 × 8 ≠ 8 × 3

Wartość bezwzględna:

Def. Wartością bezwzględna nazywamy:

|"| = F " (& " ≥ 0

−" (& " < 0

I

Tw, Wartość bezwzględna spełnia warunki:

1. ! |" ∗ |

#,0∈1

= |"| ∗ ||

2. ! K

"

K

#,0∈1

=

|"|

||

3. ! M"

.

#∈1

= |"|

Wzory skróconego mnożenia:

1. +

.

=

.

+ 2 +

.

− & ,

2. −

.

=

.

− 2 +

.

− & óż

3.

.

−

.

= − + − óż &ó

4. +

P

=

P

+ 3

.

+ 3

.

+

P

− ,2ś ,

5. −

P

=

P

− 3

.

+ 3

.

−

P

− ,2ś óż

6.

P

−

P

= −

.

+ +

.

− óż ,2śó

7.

P

+

P

= +

.

− +

.

− , ,2śó

Prawo trychotomii:

! < ∨ = ∨ >

V,W∈1

! * < ⇒ < <

X∈1

V,W∈1

Def. Niech

3 ⊂ 5. Jeżeli istnieje liczba ∈ 5 taka, że ≤ ", dla " ∈ 3 to mówimy, że zbiór 3 jest ograniczony z

dołu, a o takiej liczbie

, że jest liczbą ograniczającą ten zbiór z dołu.

* ! ≤ "

#∈Z

[∈1

Def. Niech

3 ⊂ 5. Jeżeli istnieje liczba \ ∈ 5 taka, że \ ≥ ", dla " ∈ 3 to mówimy, że jest liczbą ograniczającą ten

zbiór z dołu.

* ! " ≤ \

#∈Z

]∈1

Tw. Na to aby zbiór

3 ⊂ 5 był ograniczony potrzeba i wystarcza aby istniała stała > 0 taka, że dla każdego " ∈ 3

zachodziła nierówność:

|"| ≤

* !|"| <

#∈Z

^_`

|"| ≤ 5 ⇔ − ≤ " ≤ , " ∈ a−, b

Def. Niech

3 ⊂ 5. Mówimy, że liczba jest kresem dolnym zbioru 3 jeżeli jest najmniejszą liczbą zbioru lub

(jeżeli najmniejszej liczby zbiór

3 nie posiada) największą liczbę ograniczającą ten zbiór z dołu.

= '3

Def. Mówimy, że liczba

\ jest kresem górnym zbioru 3 ⊂ 5 jeżeli \ jest największą liczbą zbioru 3, bądź (gdy

zbiór

3 nie ma największej liczby) najmniejszą liczba ograniczającą ten zbiór z góry.

\ = ,8

Tw.

3 ⊂ 8 ⊂ 5 to:

'3 ≥ '8

,3 ≤ ,8

Funkcje:

Def.

), c − & 2. Funkcją określoną na zbiorze ) o wartościach w zbiorze c nazywamy

przyporządkowanie takie, które każdemu elementowi zbioru

) przyporządkowuje jeden i tylko jeden element ze

zbioru

c.

': ) → c - funkcja ' jest określona na ) i wartość na w zbiorze c

) = e

f

- dziedzina funkcji,

g

f

- zbiór wartości funkcji,

f

– wykres funkcji

g

f

= ; ∈ c: ! "

f

→ = = ; ∈ c: * = '"

#∈%

#∈%

"

f

→ ⇔ = '"

g

f

⊂ c, e

f

≠ c

h

f

≝ ;", ∈ ) × c: * = '"

#∈i

j

Wykres istnieje tylko wtedy gdy dowolna linia prostopadła do osi X przecina linię wykresu tylko w jednym miejscu.

Def. Mówimy, że funkcja

': ) → c jest iniekcją (różnowartościową) jeżeli:

!

#

k

,#

l

∈%

"

m

≠ "

.

⇒ '"

m

≠ '"

.

Def. Mówimy, że funkcja

': ) → c jest surjekcją („na”) jeżeli:

g

f

= c,

!

0∈n

*

#∈%

= '"

Def. Funkcję, która jest iniekcją i surjekcją nazywany bijekcją.

Sposoby zadawania funkcji:

I.

Tabelka, jeżeli zbiory są skończone,

) = ;"

m

, "

.

, "

P

, … "

p

=, c ⊂ 5

x

1

x

2

x

3

… x

n

y

1

y

2

y

3

… y

n

II.

Wzór funkcyjny

III.

Wykres funkcji

Funkcja jest injiekcją jeśli dowolna prosta prostopadła do osi Y może przecinać wykres w najwięcej jednym punkcie.

Rzut wykresu na oś X daje

e

f

, na oś Y daje

g

f

.

Def. Jeżeli

': ) → c jest bijekcją to funkcja '

qm

: ) → c taka, że gdy = '"to '

qm

= ". Nazywamy taką

funkcję funkcją odwrotną do

'

) → "

f

→ ∈ c ⇔

f

rk

stu "

Złożenie funkcji

Dane:

': " →

(: → 2

" → )

f

→ → c

→ c

v

→ 2 → w

ℎ: ) → w

2 = ℎ" ⇔ = '" ∧ 2 = (

xy = z{|y} ⇒ ℎ" = (, = '"

ℎ = ' ∘ (

ℎ" = ' ∘ (" = ({'"}

Tw. Własności złożenia funkcji i funkcji odwrotnych.

Jeżeli

': ) → c, (: c → w są bijekcjami to:

a)

' ∘ (

qm

= (

qm

∘ '

qm

b)

'

qm

{'"} = "

c)

'{'

qm

"} = "

I.

Funkcje liniowe

'" = " + , , ∈ 5

= 0, '" = (funkcja stała) e

f

= 5, g

f

= 5 Zbiór wartości funkcji =

przeciwdziedzina.

= (
Przecięcie z

€c0, , z €) −

W
V

, 0‚

II.

Funkcja kwadratowa

'" = "

.

+ " + , , , ∈ 5, ≠ 0

e

f

= 5,

g

f

= a

qƒ

„V

; I I∞, > 0, g

f

= −∞;

qƒ

„V

‚ , < 0

h 

qW

.V

;

qƒ

„V

‚ - wierzchołek paraboli

"

‡

=

qW

.V

, Δ = 0

III.

Wielomiany

h

p

" =

p

" +

pqm

"

pqm

+ ⋯ +

m

" +

`

,

`

,

m

,

.

, …

p

∈ 5 ⇔

Š

∈ 5, = 0,1,2 …

n – stopień wielomianu

Jeżeli n jest stopniem wielomianu to może on mieć co najwyżej n pierwiastków.

"

`

− ,, '"

`

= 0

Tw. Bezouta

Jeżeli

"

`

jest pierwiastkiem wielomianu

h

p

to

h

p

" = " − "

`

‹

pqm

". Jeżeli wielomian h

p

ma dokładnie n

pierwiastków to

h

p

" =

p

" − "

m

" − "

.

… " − "

p

, "

Š

– pierwiastki wielomianu.

'" = h

.

" = " − "

m

" − "

.

– postać iloczynowa trójmianu kwadratowego

Tw. (Podstawowe algebry)

Każdy wielomian daje się zapisać w postaci iloczynu pewnej ilości czynników typu

" − "

`

^

"

.

+ " +

Œ

gdzie suma wszytkich liczb

i 2 jest równa oraz

.

− 4 < 0

IV.

Funkcja potęgowa

'" = "



, Ž ∈ 5

V.

Funkcja wymierna

'" =





#

‘

’

#

- da się zapisać jako ułamek (liczby wymierne)

'" =

V#“W
X#“”

- funkcja homograficzna

VI.

Funkcja wykładnicza

'" =

#

– zmienna jest wykładnikiem

1.

= 1, '" = 1

2.

> 1

3.

0 < < 1

Własności funkcji wykładniczej:

#

k

“#

l

=

#

k

∗

#

l

#

k

q#

l

=

#

k

#

l

#

^

=

^#

q#

=

1

#

m

p

= √



[

p

= √

[



VII.

Funkcja logarytmiczna

log

V

= ⇔

X

= , > 0, logatrytm z liczb ujemnych nie istnieje!!

Własności logarytmu:

log

V

" ∗ = log

V

" + log

V

log

V

"

= log

V

" − log

V

log

V

"

^

= log

V

"

log

V

=

1

log

W

Tw.

log

V

X

=

™š›

œ

W

=

log

V

= 1

log

V

1 = 0

VIII.

Funkcje trygonometryczne

'" = sin ",   = 2¡, ¡ = 180°

'" + 2¡ = '"

sin = ⇔ sin =

,: a−

¤

.

;

¤

.

b → a−1; 1b, sin: a−1; 1b → a−

¤

.

;

¤

.

b

'" = cos ",   = 2¡

cos = ⇔ cos =

cos: a0; ¡b → a−1; 1b

cos: a−1; 1b → a0; ¡b

'" = (", (: 5 − ¦

¤

.

+ ¡§ → 5,   = ¡

( = ⇔ ( =

(: −

¤

.

;

¤

.

‚ → 5, (: 5 → −

¤

.

;

¤

.

‚

'" = (", (: 5 − ;¡= → 5

( = ⇔ ( =

(: 0; ¡ → 5

(: 5 → 0; ¡

Tw. (Własności funkcji trygonomertycznych)

!

#∈1

sin

.

" + cos

.

" = 1

!

,¨∈1

sinŽ + © = sin Ž cos © + sin © cos Ž

!

,¨∈1

sinŽ − © = sin Ž cos © − sin © cos Ž

!

,¨∈1

cosŽ + © = cos Ž cos © − sin Ž sin ©

!

,¨∈1

cosŽ − © = cos Ž cos © + sin Ž sin ©

sin 2Ž = 2 sin Ž cos Ž

cos 2Ž = cos

.

Ž − sin

.

Ž

(Ž =

ª«¬ 

­šª 

(Ž =

­šª 

ª«¬ 

(Ž =

m

®v

(Ž + © =

®v“®v¨

mq®v®v¨

¤

¯

¤

„

¤

P

sin

m
.

√.

.

√P

.

cos

√P

.

√.

.

m
.

tg

√P

P

1

√3

ctg

√3

1

√P

P

I

II

III

IV

sin

+

+

-

-

cos

+

-

-

+

tg

+

-

+

-

ctg

+

-

+

-