Logika:
∨ −
∧ −
⇒ − ż
⇔ − óż óż
Prawa de Morgana:
1.
~ ∧ ⇔ ~ ∨ ~
2.
~ ∨ ⇔ ~ ∧ ~
Kwantyfikatory:
! "
#∈%
− &ż ' & ż&( " ∈ )
* "
#∈%
− ł ' , " ∈ )
Reguła (prawo) de Morgana dla kwantyfikatorów:
1. ∼ ! "
#∈%
⇔ * ~"
#∈%
2. ~ * "
#∈%
⇔ ! ∼ "
#∈%
! ! "
.
<
0∈1
#∈1
− 'ł,2
* ! "
.
<
0∈1
#∈1
− 'ł,2
! * "
.
<
0∈1
#∈1
− &2
* * "
.
<
0∈1
#∈1
− &2
Zbiory:
3 ⊂ 5 − , &2 2 5, 3 2 , 5
3 ∪ 8 ≝ , &óℎ 2ó, , 2ó 2 &'
3 ∪ 8 ≝ ;" ∈ 5: " ∈ 3 ∨ " ∈ 8=
3 − 8 ≝ ;" ∈ 5: " ∈ 3 ∧ " ∉ 8= = ;" ∈ 5: " ∈ 3 ∧∼ " ∈ 8= − óż 2ó
3 ∩ 8 ≝ ;" ∈ 5: " ∈ 3 ∧ " ∈ 8= − 2 2ó
Def. Niech A i B będą dowolnymi zbiorami, wtedy iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B nazywamy zbiór:
3 × 8 ≝ ;, : ∈ 3 ∧ ∈ 8=
Def. Parą elementów a i b nazywamy zbiór
, = B;=, ;, =C
UWAGA:
3 × 8 ≠ 8 × 3
Wartość bezwzględna:
Def. Wartością bezwzględna nazywamy:
|"| = F " (& " ≥ 0
−" (& " < 0
I
Tw, Wartość bezwzględna spełnia warunki:
1. ! |" ∗ |
#,0∈1
= |"| ∗ ||
2. ! K
"
K
#,0∈1
=
|"|
||
3. ! M"
.
#∈1
= |"|
Wzory skróconego mnożenia:
1. +
.
=
.
+ 2 +
.
− & ,
2. −
.
=
.
− 2 +
.
− & óż
3.
.
−
.
= − + − óż &ó
4. +
P
=
P
+ 3
.
+ 3
.
+
P
− ,2ś ,
5. −
P
=
P
− 3
.
+ 3
.
−
P
− ,2ś óż
6.
P
−
P
= −
.
+ +
.
− óż ,2śó
7.
P
+
P
= +
.
− +
.
− , ,2śó
Prawo trychotomii:
! < ∨ = ∨ >
V,W∈1
! * < ⇒ < <
X∈1
V,W∈1
Def. Niech
3 ⊂ 5. Jeżeli istnieje liczba ∈ 5 taka, że ≤ ", dla " ∈ 3 to mówimy, że zbiór 3 jest ograniczony z
dołu, a o takiej liczbie
, że jest liczbą ograniczającą ten zbiór z dołu.
* ! ≤ "
#∈Z
[∈1
Def. Niech
3 ⊂ 5. Jeżeli istnieje liczba \ ∈ 5 taka, że \ ≥ ", dla " ∈ 3 to mówimy, że jest liczbą ograniczającą ten
zbiór z dołu.
* ! " ≤ \
#∈Z
]∈1
Tw. Na to aby zbiór
3 ⊂ 5 był ograniczony potrzeba i wystarcza aby istniała stała > 0 taka, że dla każdego " ∈ 3
zachodziła nierówność:
|"| ≤
* !|"| <
#∈Z
^_`
|"| ≤ 5 ⇔ − ≤ " ≤ , " ∈ a−, b
Def. Niech
3 ⊂ 5. Mówimy, że liczba jest kresem dolnym zbioru 3 jeżeli jest najmniejszą liczbą zbioru lub
(jeżeli najmniejszej liczby zbiór
3 nie posiada) największą liczbę ograniczającą ten zbiór z dołu.
= '3
Def. Mówimy, że liczba
\ jest kresem górnym zbioru 3 ⊂ 5 jeżeli \ jest największą liczbą zbioru 3, bądź (gdy
zbiór
3 nie ma największej liczby) najmniejszą liczba ograniczającą ten zbiór z góry.
\ = ,8
Tw.
3 ⊂ 8 ⊂ 5 to:
'3 ≥ '8
,3 ≤ ,8
Funkcje:
Def.
), c − & 2. Funkcją określoną na zbiorze ) o wartościach w zbiorze c nazywamy
przyporządkowanie takie, które każdemu elementowi zbioru
) przyporządkowuje jeden i tylko jeden element ze
zbioru
c.
': ) → c - funkcja ' jest określona na ) i wartość na w zbiorze c
) = e
f
- dziedzina funkcji,
g
f
- zbiór wartości funkcji,
f
– wykres funkcji
g
f
= ; ∈ c: ! "
f
→ = = ; ∈ c: * = '"
#∈%
#∈%
"
f
→ ⇔ = '"
g
f
⊂ c, e
f
≠ c
h
f
≝ ;", ∈ ) × c: * = '"
#∈i
j
Wykres istnieje tylko wtedy gdy dowolna linia prostopadła do osi X przecina linię wykresu tylko w jednym miejscu.
Def. Mówimy, że funkcja
': ) → c jest iniekcją (różnowartościową) jeżeli:
!
#
k
,#
l
∈%
"
m
≠ "
.
⇒ '"
m
≠ '"
.
Def. Mówimy, że funkcja
': ) → c jest surjekcją („na”) jeżeli:
g
f
= c,
!
0∈n
*
#∈%
= '"
Def. Funkcję, która jest iniekcją i surjekcją nazywany bijekcją.
Sposoby zadawania funkcji:
I.
Tabelka, jeżeli zbiory są skończone,
) = ;"
m
, "
.
, "
P
, … "
p
=, c ⊂ 5
x
1
x
2
x
3
… x
n
y
1
y
2
y
3
… y
n
II.
Wzór funkcyjny
III.
Wykres funkcji
Funkcja jest injiekcją jeśli dowolna prosta prostopadła do osi Y może przecinać wykres w najwięcej jednym punkcie.
Rzut wykresu na oś X daje
e
f
, na oś Y daje
g
f
.
Def. Jeżeli
': ) → c jest bijekcją to funkcja '
qm
: ) → c taka, że gdy = '"to '
qm
= ". Nazywamy taką
funkcję funkcją odwrotną do
'
) → "
f
→ ∈ c ⇔
f
rk
stu "
Złożenie funkcji
Dane:
': " →
(: → 2
" → )
f
→ → c
→ c
v
→ 2 → w
ℎ: ) → w
2 = ℎ" ⇔ = '" ∧ 2 = (
xy = z{|y} ⇒ ℎ" = (, = '"
ℎ = ' ∘ (
ℎ" = ' ∘ (" = ({'"}
Tw. Własności złożenia funkcji i funkcji odwrotnych.
Jeżeli
': ) → c, (: c → w są bijekcjami to:
a)
' ∘ (
qm
= (
qm
∘ '
qm
b)
'
qm
{'"} = "
c)
'{'
qm
"} = "
I.
Funkcje liniowe
'" = " + , , ∈ 5
= 0, '" = (funkcja stała) e
f
= 5, g
f
= 5 Zbiór wartości funkcji =
przeciwdziedzina.
= (
Przecięcie z
c0, , z ) −
W
V
, 0
II.
Funkcja kwadratowa
'" = "
.
+ " + , , , ∈ 5, ≠ 0
e
f
= 5,
g
f
= a
q
V
; I I∞, > 0, g
f
= −∞;
q
V
, < 0
h
qW
.V
;
q
V
- wierzchołek paraboli
"
=
qW
.V
, Δ = 0
III.
Wielomiany
h
p
" =
p
" +
pqm
"
pqm
+ ⋯ +
m
" +
`
,
`
,
m
,
.
, …
p
∈ 5 ⇔
∈ 5, = 0,1,2 …
n – stopień wielomianu
Jeżeli n jest stopniem wielomianu to może on mieć co najwyżej n pierwiastków.
"
`
− ,, '"
`
= 0
Tw. Bezouta
Jeżeli
"
`
jest pierwiastkiem wielomianu
h
p
to
h
p
" = " − "
`
pqm
". Jeżeli wielomian h
p
ma dokładnie n
pierwiastków to
h
p
" =
p
" − "
m
" − "
.
… " − "
p
, "
– pierwiastki wielomianu.
'" = h
.
" = " − "
m
" − "
.
– postać iloczynowa trójmianu kwadratowego
Tw. (Podstawowe algebry)
Każdy wielomian daje się zapisać w postaci iloczynu pewnej ilości czynników typu
" − "
`
^
"
.
+ " +
gdzie suma wszytkich liczb
i 2 jest równa oraz
.
− 4 < 0
IV.
Funkcja potęgowa
'" = "
, ∈ 5
V.
Funkcja wymierna
'" =
#
#
- da się zapisać jako ułamek (liczby wymierne)
'" =
V#W
X#
- funkcja homograficzna
VI.
Funkcja wykładnicza
'" =
#
– zmienna jest wykładnikiem
1.
= 1, '" = 1
2.
> 1
3.
0 < < 1
Własności funkcji wykładniczej:
#
k
#
l
=
#
k
∗
#
l
#
k
q#
l
=
#
k
#
l
#
^
=
^#
q#
=
1
#
m
p
= √
[
p
= √
[
VII.
Funkcja logarytmiczna
log
V
= ⇔
X
= , > 0, logatrytm z liczb ujemnych nie istnieje!!
Własności logarytmu:
log
V
" ∗ = log
V
" + log
V
log
V
"
= log
V
" − log
V
log
V
"
^
= log
V
"
log
V
=
1
log
W
Tw.
log
V
X
=
W
=
log
V
= 1
log
V
1 = 0
VIII.
Funkcje trygonometryczne
'" = sin ", = 2¡, ¡ = 180°
'" + 2¡ = '"
sin = ⇔ sin =
,: a−
¤
.
;
¤
.
b → a−1; 1b, sin: a−1; 1b → a−
¤
.
;
¤
.
b
'" = cos ", = 2¡
cos = ⇔ cos =
cos: a0; ¡b → a−1; 1b
cos: a−1; 1b → a0; ¡b
'" = (", (: 5 − ¦
¤
.
+ ¡§ → 5, = ¡
( = ⇔ ( =
(: −
¤
.
;
¤
.
→ 5, (: 5 → −
¤
.
;
¤
.
'" = (", (: 5 − ;¡= → 5
( = ⇔ ( =
(: 0; ¡ → 5
(: 5 → 0; ¡
Tw. (Własności funkcji trygonomertycznych)
!
#∈1
sin
.
" + cos
.
" = 1
!
,¨∈1
sin + © = sin cos © + sin © cos
!
,¨∈1
sin − © = sin cos © − sin © cos
!
,¨∈1
cos + © = cos cos © − sin sin ©
!
,¨∈1
cos − © = cos cos © + sin sin ©
sin 2 = 2 sin cos
cos 2 = cos
.
− sin
.
( =
ª«¬
ª
( =
ª
ª«¬
( =
m
®v
( + © =
®v®v¨
mq®v®v¨
¤
¯
¤
¤
P
sin
m
.
√.
.
√P
.
cos
√P
.
√.
.
m
.
tg
√P
P
1
√3
ctg
√3
1
√P
P
I
II
III
IV
sin
+
+
-
-
cos
+
-
-
+
tg
+
-
+
-
ctg
+
-
+
-