Potencjał elektryczny

Ile pracy trzeba wykonać aby przenieść ładunek q w
polu elektrostatycznym pomiędzy punktami a i b?

a

b

q

F



r

d

r

d

F

b

a

W

b

a













 )

(

praca jest wykonywana

przeciw

siłom elektrycznym

r

d

E

r

d

q

F

q

b

a

W

b

a

b

a

























 )

(

Praca wykonana przy przeniesieniu jednostkowego ładunku

r

d

E

r

r

















)

(



Potencjał pola w punkcie określonym wektorem
względem punktu znajdującego się w nieskończoności

r

Funkcję  nazywamy potencjałem związanym z polem
wektorowym . Jest to funkcja skalarna zależna od położenia
punktu – pole skalarne. Zadając pole wektorowe możemy
wyznaczyć potencjał z dokładnością do stałej.

E



E



b

a

b

r

r

b

a

b

a

b

a

b

r

q

r

r

q

r

q

r

d

r

q

r

d

r

r

r

q

r

d

r

r

r

q

b

a

0

0

0

2

0

2

0

2

0

4

1

1

4

1

4

4

0

cos

4

4















































 



































W przypadku pola wytworzonego przez ładunek punktowy

W przypadku pola wytworzonego przez układ ładunków punktowych





i

bi

i

b

r

q

0

4





Powierzchnia ekwipotencjalna powierzchnia jednakowego
potencjału
zbiór wszystkich punktów, w których potencjał pola
elektrostatycznego ma taką samą wartość.
Powierzchnie ekwipotencjalne są powierzchniami prostopadłymi w
każdym punkcie do linii sił pola. Powierzchnie ekwipotencjalne są
sferami o środkach znajdujących się w punkcie, w którym znajduje
się ładunek.

+q

-Q

dla ładunków punktowych

Własności elektryczne ciał zależne są od ruchliwości nośników
ładunku – elektronów, jonów.

Jak wygląda pole wewnątrz przewodnika po ustaleniu się
stacjonarnego rozkładu ładunków?

Rozkład stacjonarny wszystkie siły się równoważą
jeśli na nośniki ładunku działają siły niekulombowskie, to
oznacza, że w przewodniku istnieje pewne skończone pole
elektryczne znoszące działanie innych sił.

Jednorodny izotropowy przewodnik - pole

musi znikać

wewnątrz takiego przewodnika.

Przewodniki prądu w polu

elektrostatycznym

Ładunki zostały uwolnione i zaczynają się poruszać. Ruch
ładunków będzie trwał do osiągnięcia stanu równowagi –
nie przesuwają się poza powierzchnię przewodnika.
Wewnątrz wytwarza się pole kompensujące pole
początkowe

Elektrycznie obojętne, nieprzewodzące ciało zawiera
unieruchomione ładunki dodatnie i ujemne.
Pole elektryczne jest jednakowe wewnątrz ciała i poza nim.

Stan równowagi – pole
wewnątrz przewodnika musi
znikać – gdyby tak nie było
ładunki poruszałyby się nadal (F
= qE).

Potencjał może zmienić się
gwałtownie na powierzchni
przewodnika – skok potencjału –
na zewnątrz E  0.

const

E







0

Powierzchnia przewodnika powierzchnia ekwipotencjalna

Funkcja potencjału wewnątrz pudła musi spełniać równanie
Laplace’a. Powierzchnia pudła jest ekwipotencjalna, 

p

= const.

Funkcja  = 

b

w całym rozpatrywanym obszarze spełnia warunek

brzegowy i równanie Laplace’a. Ze względu na twierdzenie o
jednoznaczności nie może być innych rozwiązań

0







E

grad

E







-

-

+

+

+

+

-

-

-

-

Wewnątrz puszki wykonanej z
przewodnika brak jest pola
elektrycznego – ekranowanie
elektryczne.

Dielektryki

Dielektryk (izolator) – materiał nie przewodzący prądu elektrycznego
dokładniej – przewodzi prąd o 10

15

– 10

20

razy słabiej od przewodników.

+

-

dielektryk





1

0









C

C

stała dielektryczna

Pojemność kondensatora

Jeśli okładki kondensatora są odłączone od źródła napięcia Q =
const

U

Q

C 

U

C

U

C

CU

U

C

CU

Q

0

0

0

0

0











0

U

U 

napięcie na
kondensatorze zmaleje ε
razy

Dla kondensatora płaskiego



0

E

E

d

U

E





natężenie pola
elektrycznego maleje ε
razy
Dlaczego?

+
+
+
+
+

-
-
-
-
-

Na powierzchni dielektryka muszą wystąpić ładunki wytwarzające
pole elektryczne w przeciwnym kierunku –

ładunki polaryzacyjne

(związane)

przewodnik
(ładunki swobodne)

-

-

-

+

+

+

E



0

E



natężenie pola w pustym kondensatorze

0

0







E

gęstość
powierzchniowa
ładunków swobodnych

0







p

E





gęstość
powierzchniowa
ładunków
polaryzacyjnych

0

0

0











p

p

E

E

E













E

e

p

0

1













 



podatność
elektryczna
dielektryka

E

e

p

0









Przyczyną pojawienia się ładunku polaryzacyjnego na
powierzchni dielektryka jest zjawisko

polaryzacji dielektryka.

Wektor polaryzacji







i

ei

p

V

P





1

elektryczny
moment dipolowy

Dipol elektryczny – układ dwóch ładunków
punktowych różnoimiennych, q

1

= q

2

=q

Wartość momentu dipolowego takiego
układu

Moment dipolowy rozkładu ładunków

ql

p

p







i

i

i

r

q

p





Jeżeli wektory momentów dipolowych wszystkich atomów
(cząsteczek) są jednakowe, to wektor polaryzacji

e

e

p

n

p

n

V

P







0

1









liczba atomów (cząsteczek) w
jednostce objętości - koncentracja

+
+
+
+
+

-
-
-
-
-

Wewnątrz dielektryka sumaryczny ładunek Q =
0. W każdej warstwie przypowierzchniowej
wartość ładunku

l

l

qn

S

Q

Sl

qn

Q

p

p

p

0

0









e

p

p

n

0





p

e

p

n

P







0

Bezwzględna wartość gęstości ładunku polaryzacji = polaryzacji

E

P

e





0







gdy wektory są zgodne

P

E





,

E

D





0





wektor indukcji elektrycznej

Trzy wektory pola elektrycznego





E

E

P

E

P











0

0

0

1

















E

E

P







0

0









Wektor indukcji elektrycznej wiąże się z ładunkiem swobodnym –
linie wektora zaczynają się i kończą na ładunkach swobodnych

Wektor polaryzacji wiąże się wyłącznie z ładunkiem
polaryzacyjnym. Linie wektora zaczynają się i kończą na
ładunkach polaryzacyjnych. Zwrot wektora - od ładunku
ujemnego do dodatniego (jak w każdym dipolu)

Wektor związany jest z całkowitym ładunkiem – swobodnym i
polaryzacyjnym.

+ + + + + + + + + + + + + + + + + + +

- - - - - - - - - - - - - - - - - - - -

- - - - - - - - - - - - - -

+ + + + + + + + + + + + + +

D



E



0



P



D



P



P



E



Dielektryki niepolarne w jednorodnym
polu elektrycznym – polaryzacja
elektronowa

Rozważmy symetryczną cząsteczkę wodoru H

2

.

H

H



r

E



r

eE

F

r

e

F

e





,

4

2

0

2



oddziaływanie
między protonem i
elektronem

działanie pola
zewnętrznego na
elektron

e

F

F

r

l



2

2

0

4

e

r

eE

r

l







3

0

4

Er

p

el

e







indukowany moment dipolowy

l

r

l 

Dielektryki polarne w jednorodnym polu
elektrycznym – polaryzacja orientacyjna

Zewnętrzne pole elektryczne
powoduje takie ustawienie
cząsteczek dielektryka, aby ich
moment dipolowy był zgodny z
kierunkiem pola elektrycznego.
Ruch cieplny cząsteczek
przeciwdziała takiemu ustawieniu.

Można wykazać, że wektor polaryzacji dielektryka polarnego

T

k

E

p

n

P

B

e

3

2

0



k

B

= stała Boltzmanna

Ferroelektryki

Charakteryzują się:
• dużą przenikalnością dielektryczną, np. tytanian baru (BaTiO

3

) –

ε = 5900
• nieliniową zależnością polaryzacji od przyłożonego pola
elektrycznego
• wartości polaryzacji (a więc i D) zależą od historii dielektryka,
przy cyklicznych zmianach pola P(E) ma kształt pętli

histerezy

pole E < 0 P = 0 dla E = E

c

pole

koercji

wzrasta pole E - polaryzacja rośnie

1

1

maleje pole E – polaryzacja
maleje

2

2

pole E = 0 –

P = Ps

polaryzacja spontaniczna

dalsza zmiana pola E - P zmienia się tak jak na krzywej

3

3

Polaryzacja początkowa = 0.

Własności ferroelektryczne kryształów obserwuje się w pewnych
temperaturach – zanikają powyżej tzw.

temperatury Curie

W ferroelektrykach istnieją spontanicznie spolaryzowane
obszary – domeny. Po wprowadzeniu ferroelektryka w pole
elektryczne następuje zmiana orientacji momentów
dipolowych domen i kryształ uzyskuje trwałą polaryzację.

Elektrety

Dielektryki wykazujące trwałą polaryzację elektryczną –
odpowiednik trwałych magnesów.

Wewnętrzna
struktura
elektretu

P



Można je wytworzyć z dielektryków
polarnych, których cząsteczki mają duży
moment dipolowy.
Dielektryk ogrzany do wysokiej
temperatury, nawet powyżej topnienia,
umieszcza się w silnym polu elektrycznym
i ochładza.
Polaryzacja istniejąca w wysokiej
temperaturze zostaje w dielektryku
utrwalona, nawet po wyłączeniu pola.
Elektrety wykorzystuje się np. w
mikrofonach elektretowych.

Piezoelektryki

Zjawisko piezoelektryczne – powstawanie polaryzacji pod
wpływem odkształceń mechanicznych.
Odwrotne zjawisko piezoelektryczne – kryształy zmieniają swoje
rozmiary pod wpływem pola elektrycznego.

+

+

+

-

-

-

Całkowity moment
dipolowy = 0

+

+

+

-

-

-

Odkształcenie mechaniczne,
całkowity moment dipolowy
 0

+

+

+

-

-

-

Przyłożenie zewnętrznego pola powoduje odkształcenie
cząsteczek – wydłużenie lub skrócenie kryształu w kierunku
pola.
Przyłożenie

zmiennego napięcia

powoduje pobudzenie

piezoelektryka do

drgań mechanicznych

.

Amplituda tych drgań jest maksymalna (rezonans) gdy
częstość zmian napięcia = częstości drgań własnych kryształu.

Zastosowania:
• wytwarzanie ultradźwięków,
• stabilizacja częstości drgań w układach elektronicznych

Piroelektryki