WYKŁAD 10

DYNAMIKA RELATYWISTYCZNA
1. Dodawanie prędkości według Einsteina
2. Masa, pęd, energia i II zasada dynamiki w ujęciu relatywistycznym
3. Równoważność masy i energii

Kinematyka - ogólne własności czasu i przestrzeni. 

Dynamika - cząstki materialne mające masę, pęd i energie. 

Zasady zachowania pędu i energii (dla v  c) nadal obowiązują, lecz 

zmieniają się klasyczne definicje pędu i energii (definicje te są 
oczywiście identyczne z  klasycznymi, gdy v→0). 

Nowość!!! -  z każdą masą m jest związana energia E=mc

2

. 

Einstein postulował, że 

w 1 kg każdej substancji jest zawarte 9∙10

16

 

J

. 

Ta ilość energii mogłaby zasilać 100 W żarówkę przez 30 mln lat.

Zaczniemy od - 

transformacji prędkości zgodnie z teorią względności.

Ad. 1. Dodawanie prędkości według Einsteina

Przykład – wózek porusza się z prędkością 

u

x

 

w układzie (x,y,z) i 

prędkością 

u

x

’

 w układzie (x’,y’,z’) (rys.1). 

y

u

x

x

v

x’

y‘

Rys. 1

Pan X - prędkość u

x

, 

Pana Prima - prędkość u

x

’ 

(szybciej). 

Klasycznie:

  

u

x

’ = u

x

 + v

 

Wzory relatywistyczne

 - 

równania na x i t w zmienionej 

postaci:

,

1

)

(

'

,

1

'

2

2

2

















dx

c

v

dt

dt

vdt

dx

dx

,

)

)(

(

1

)

(

2

2

'

'

dt

dx

c

v

v

dt

dx

dx

c

v

dt

vdt

dx

dt

dx













po podzieleniu równań dla dx’ i dt’, mamy

podstawiając

dz

dz

dy

dy





'

,

'

'

'

'

dt

dx

u

i

dt

dx

u

x

x





(*)

1

2

'

c

vu

v

u

u

x

x

x







Wzór Einsteina na dodawanie prędkości

 

(*)

1

2

'

c

vu

v

u

u

x

x

x







Wzór Einsteina na dodawanie prędkości

 

Prędkość wypadkowa jest mniejsza od sumy dwóch prędkości 
składowych u

x

 i v. 

Gdy obie prędkości są znacznie mniejsze od prędkości światła (

u

x

 i v << c

), 

prędkość wypadkowa (

u

x

’

) jest bardzo bliska sumie ich obu, czyli klasycznie 

u

x

’ = u

x

 + v. 

Jeżeli 

teoria ma być samozgodna

, równanie (*) musi wykluczać 

prędkości 

większe od c

.

Dla cząstki w układzie (x,y,z,t), poruszającej się z prędkością światła, czyli 
foton, neutrino, mamy 

u

x

 = c

. Wtedy obserwator w układzie (x’,y’,z’,t’) 

będzie widział

c

c

v

c

v

c

c

vc

v

c

u

x















2

'

1

Widzimy, że 

Światło (lub cokolwiek innego) biegnące z prędkością c, biegnie z tą 
prędkością dla wszystkich obserwatorów, bez względu na to, z jaką 
prędkością oni się poruszają, tzn. prędkość światła jest niezmiennicza 
względem transformacji Lorentza.

Ad. 2 Masa, pęd, energia i II zasada dynamiki w ujęciu 
relatywistycznym

Aby wprowadzić nowe pojecie pędu – zgodnie z transformacja 
Lorentza, musimy w rozważaniach zamienić czas, na 

czas własny , 

który dla każdego obserwatora jest jednakowy.

Czas własny:













d

dz

m

p

d

dy

m

p

d

dx

m

p

c

v

dt

d

c

v

t

c

v

t

z

y

x

0

0

0

2

2

2

,

1

1

1



























































,....

1

,

1

1

1

1

2

0

2

0

2

2





































































c

v

v

m

p

c

v

v

m

p

zatem

c

v

v

c

v

dt

dx

d

dt

dt

dx

d

dx

y

y

x

x

x





obliczymy

2

0

1

















c

v

v

m

p





czyli ogólnie

relatywistyczna definicja pędu

Wykresy dla pędu 
relatywistycznego (p

R

) i 

nierelatywistycznego (p

NR

) oraz 

masy przy różnych prędkościach. 

Z rys. 2 wynika, że

dla v→c    pęd →,

 

dla v<<c,   v/c→0    i    p

R

 = 

p

NR

.

m(v)

1,0

m

0

Rys. 3

v/c

2

0

1

)

(

















c

v

m

v

m

2

0

1

)

(

















c

v

m

v

m

gdzie m

0

 – masa 

spoczynkowa.

Zmiana 

masy 

przy 

małych 

prędkościach 

jest 

znikoma 

(dla 

sputnika  v  =  10  km/s  jest  ona 
ułamkiem 

rzędu 

3∙10

-10

 

masy 

spoczynkowej m

0

 (rys. 3).

Relatywistyczna
definicja
masy

1,0

mc

p

R

p

NR

Rys. 2

2

1

















c

v

p

p

NR

R

v/c

       Druga zasada dynamiki w postaci relatywistycznej

Do  drugiej  zasady  dynamiki  Newtona  podstawmy  wzór  dla  pędu 
relatywistycznego

2

0

1



















c

v

v

m

p

dt

p

d

F

































































































































































































































































































































































2

2

2

2

0

2

2

2

0

2

2

2

0

2

0

2

2

2

0

2

0

2

0

1

1

1

1

1

1

1

1

1

1

2

1

2

1

1

1

c

v

c

v

c

v

c

v

a

m

c

v

c

v

c

v

a

m

c

v

c

v

c

v

a

m

c

v

a

m

c

v

dt

v

d

c

v

c

v

v

m

c

v

dt

v

d

m

c

v

v

m

dt

d

F





















Postać ta przechodzi do wzoru opisującego 
drugą zasadę dynamiki Newtona w postaci 
klasycznej.

Dla  v<<c → v/c → 0

F = ma

3

2

0

1































c

v

a

m

F





Ad. 3 Równoważność masy i energii

Do wyprowadzenia wzoru na energię cząstki relatywistycznej 
musimy obliczyć pracę, jaką wykonuje siła F przy przemieszczeniu 
wzdłuż drogi ds.

 

dt

dm

v

dt

v

d

m

v

m

dt

d

dt

p

d

F



















Ponieważ

m = m(t)

i

m = m(v)

oraz

2

0

1

















c

v

m

m

Praca tej siły na drodze ds wynosi:

dm

v

v

d

v

m

v

dm

v

v

v

d

m

dt

s

d

dm

v

dt

s

d

v

md

s

d

F



























2

























Obliczymy teraz różniczkę masy dm ze wzoru na masę relatywistyczną

























































 













































2

2

2

0

2

0

1

1

1

2

2

1

c

v

c

v

v

d

c

v

m

c

v

m

d

dm





obliczamy ją tak jak pochodną ilorazu



















































































2

2

2

0

3

2

2

0

1

1

1

c

v

c

v

d

v

c

v

m

c

v

c

v

d

v

m









2

2

2

2

2

2

v

c

v

d

v

m

c

v

c

c

v

d

v

m































Wyznaczmy iloczyn





dm

v

c

v

d

v

m

2

2











po podstawieniu do wzoru na pracę otrzymamy

 

2

2

2

2

2

)

(

mc

d

dm

c

dm

v

dm

v

c

s

d

F















Praca cząstki relatywistycznej jest równa różniczce iloczynu masy i prędkości światła.

 

2

mc

d

s

d

F 





Wiemy, że siła jest związana z energią potencjalną wzorem

ds

dE

F

p





Często energię E

p 

opisuje się symbolem U, więc 

ds

dU

F 



Stąd w zapisie skalarnym

0

)

(

)

(

)

(

2

2

2















dU

mc

d

i

mc

d

dU

mc

d

ds

ds

dU

ds

F

Po scałkowaniu ostatniego równania otrzymamy

const

U

mc

E







2

E – oznacza całkowitą energię punktu materialnego 
poruszającego się w polu sił potencjalnych U.

wzór ogólny, gdy v≠0

Związek ten możemy zapisać w innej postaci

R

E

c

v

c

m

gdzie

const

U

c

v

c

m

E





































2

2

0

2

2

0

1

1

E

k

R 

= ½mv

2

v/c

m

0

c

½ m

0

c

1,0

m

0

c

2

Rys. 4

E

R

 – opisuje 

relatywistyczną postać 
energii całkowitej bez 
pola sił potencjalnych 
(U=0).

2

2

0

1

















c

v

c

m

E

R

Rozwijając 

2

1

1















c

v

w szereg otrzymamy postać 

....

8

3

2

1

1

1

1

4

4

2

2

2























c

v

c

v

c

v

zatem nasz wzór na energię całkowitą zapiszemy jeszcze inaczej

const

U

c

v

m

v

m

c

m

E

























...

8

3

2

1

4

4

0

2

0

2

0

gdy v<<c wszystkie wyrazy w nawiasie oprócz pierwszego są do zaniedbania, czyli

U

v

m

c

m

E







2

0

2

0

2

1

W przypadku gdy prędkość ciała v = 0, czyli gdy ciało jest w spoczynku, to

U

c

m

E





0

wzór na energię całkowitą, gdy v=0

otrzymujemy zaskakujący wniosek:

Jeżeli ciało jest w spoczynku, to obok energii potencjalnej U 
przypisuje się mu pewną dodatkową ilość energii, zwaną 
energią spoczynkową.

E = mc

2

Gdy cząstka nie znajduje się w polu sił potencjalnych czyli, 
gdy U=0 wówczas

Wzór ogólny gdy v≠0 oraz U=0

Związek ten podaje nam tzw. 

zasadę równoważności masy i 

energii:

 

masie m przypisuje się energię i energii przypisuje 

się masę, zatem energia i masa to, to samo.

Przykładem wielkiej energii zawartej w masie spoczynkowej jest 
anihilacja elektronu (e

-

) i pozytonu (e

+

 - dodatni elektron). W 

zetknięciu anihilują, zamieniając się w dwa fotony. 
Foton jest kwantem promieniowania elektromagnetycznego. 
W tym przypadku energia spoczynkowa E = 2m

e

c

2

 zostaje 

zamieniona na energię promieniowania E = 2hν.

Energia i pęd cząstki relatywistycznej

Zastanówmy się jaki istnieje związek między energia i pędem 
cząstki relatywistycznej

Wychodząc z równania

2

2

2

2

2

2

2

0

2

2

2

2

4

2

0

2

2

2

2

2

4

2

0

2

2

2

2

4

2

0

2

4

2

0

2

2

2

2

4

2

0

2

2

2

2

4

2

0

2

2

2

0

1

1

1

1

,

1

c

p

c

c

v

v

m

c

v

c

v

c

m

c

v

E

bo

c

p

c

m

E

c

v

E

c

m

E

c

m

c

v

E

E

c

m

E

c

v

c

v

c

m

E

mamy

kwadratu

do

podnosząc

c

v

c

m

E



















































































Można to przedstawić graficznie:

m

0

c

2

(energi

a 
spoczynkow
a)

E

 (energia

 całkowita)

pc

 (energia kinetyczna)

Transformacja masy i energii

2

2

0

0

2

2

0

2

0

2

0

2

2

0

2

2

0

2

1

1

,

2

,

-

1

,

1

c

v

m

m

c

v

m

bo

v

m

c

m

E

c

v

dla

c

m

mc

E

zatem

m

m























