WYKŁAD 4

Temat: Arytmetyka binarna

1. Arytmetyka binarna
1.1. Nadmiar
1.2. Arytmetyka w systemie uzupełnień do dwóch
1.3. Mnożenie i dzielenie przez dwa
1.4. Binarne mnożenie i dzielenie
2. Liczby zmiennopozycyjne
2.1. Zapis zmiennopozycyjny
2.2. Standardy zapisu

Literatura:

1. A. Skorupski; Podstawy techniki cyfrowej, WKiŁ

Warszawa 2001.

2. W. Sikorski; Wykłady z podstaw informatyki, Mikom

Warszawa 2002.

1. Arytmetyka binarna

Reguły dodawania

Np. dodajmy liczby binarne

1 0 1 0
+ 0 0 1 1
1 1 0 1
1 przeniesienia

Dodawane bity



przeniesienie

0 + 0

0

0

0 + 1

1

0

1 + 0

1

0

1 + 1

0

1

1.1. Nadmiar (overflow)

Projektując układy realizujące operacje arytmetyczne

należy uwzględniać zakres argumentów tych operacji

oraz zakres wyniku.

Np.

1 1 0 0 12

+ 0 1 1 0 + 6

0 0 1 0

2

błąd !

1

ZM 8 bitów 9 bitów
89 0 1 0 1 1 0 0 1 0 0 1 0 1 1 0 0 1
+ 45 0 0 1 0 1 1 0 1 0 0 0 1 0 1 1 0 1

134 1 0 0 0 0 1 1 0 0 1 0 0 0 0 1 1 0



wyszło – 6 !

1.2. Arytmetyka w systemie uzupełnień do

dwóch

Liczby w systemie uzupełnień do dwóch dodaje się w taki

sposób jak liczby binarne bez znaku, np.

12 + 20 = 32 0 0 0 0 1 1 0 0  12

10

+ 0 0 0 1 0 1 0 0  20

10

0 0 1 0 0 0 0 0  32

10

Liczby ujemne

-1 + (- 2) = - 3 1 1 1 1 1 1 1 1  - 1

10

+ 1 1 1 1 1 1 1 0  - 2

10

1 1 1 1 1 1 0 1  - 3

10

1
pomijamy przeniesienie

 Mnożenie robi się przez wielokrotne dodawanie

1.3. Mnożenie i dzielenie przez dwa

Wykonuje się przez przesuwanie liczb

0 0 1 0  2

10

0 1 0 0  4

10

1 0 0 0  8

10

0 0 0 1  1

10

na tzw. rejestrach

1.4. Binarne mnożenie i dzielenie

Ponieważ w urządzeniach cyfrowych stosuje się

sumatory dwuargumentowe, to algorytm mnożenia i

dzielenia musi być do tego przystosowany.

Nie może być sumowania wielu składników jak to ma

miejsce w klasycznym sposobie postępowania.

Dlatego też np. w każdym kroku algorytmu mnożenia

liczb dwójkowych wykonywane są dwie operacje:

 dodawania i przesunięcia iloczynu cząstkowego o

jedną pozycje w prawo.

Jednym ze składników dodawania jest zawsze iloczyn

cząstkowy, a drugi zależy od aktualnej wartości

najmniej znaczącego bitu (LSB) mnożnika.

2. Liczby zmiennopozycyjne

W dziesiętnym systemie liczbowym do oznaczania

bardzo dużych i bardzo małych liczb stosuje się
często notację wykładniczą np.:

294800000  2,948*10

+8

0,000001704  1,704*10

-6

wykładnik potęgi lub

1,602*10

-6

pozycja przecinka

dziesiętnego

mantysa

2.1. Zapis zmiennopozycyjny

Zapis formalny

L = M x N

E

• M - mantysa, liczba mniejsza od jedności; mantysa

znormalizowana należy do przedziału < 0.1; 1),


pierwszy znak po przecinku musi być różny od zera;

• N - podstawa systemu zgodnie z zapisem pozycyjnym

wagowym;

• E - cecha, czyli wykładnik potęgi, dzięki któremu

przecinek w liczbie zostaje przesunięty tak, aby

utworzyć mantysę w zgodzie z powyższą definicją.

Zastępując podstawę potęgi 10 podstawą 2,

możemy użyć podobnej adnotacji do

zapisywania liczb rzeczywistych w komputerze

np.

5,625

10

może być zapisana jako 1,01101*2

2

lub

1011,01*2

-1



Położenie przecinka może być dynamicznie

składane poprzez zmianę wartości wykładnika

 zmiennopozycyjna forma zapisu

Aby zapisać liczbę zmiennopozycyjną musimy zapisać

informację o:

 znaku
 mantysie
 wykładniku

Liczba słów, których do tego celu użyjemy, wraz z

metodą kodowania tej informacji nosi nazwę formatu

zmiennopozycyjnego np.:

+0,101101*2

3

Liczba binarna zapisana w postaci cecha-mantysa na

dwóch bajtach.

znak cecha mantysa

0

0

0 0

0

0

1

1

0

0

1

0

1

1 0

1

W praktyce zwykle na cechę przeznaczamy jeden bajt, na

mantysę minimum trzy bajty.

 ilość bajtów przeznaczonych na cechę decyduje o zakresie
 ilość bajtów przeznaczonych na mantysę decyduje o

błędzie


Gdy chcemy poprawić dokładność, musimy dodać bajt do

mantysy.

Gdy chcemy powiększyć zakres reprezentowanych liczb,

dodajemy bajt do cechy.

Przy jednym bajcie przeznaczonym na mantysę błąd

względny nie przekracza 0.8%

błąd bezwzględny * 100%
wartość liczby

Arytmetyka zmiennoprzecinkowa jest bardziej złożona niż

arytmetyka liczb całkowitych. Operacje mogą być

wykonywane programowo lub sprzętowo przez tzw.

koprocesor zmiennopozycyjny (numeryczny).

Zakres liczb, który można zapisać używając 8 bitowego

wykładnika to w przybliżeniu

od 10

-39

do 10

+39

a precyzja osiągana przy 7 bitowej mantysie to w

przybliżeniu od 1 do 10

3

.

Dokładność można zwiększyć, używając większej liczby

bitów do zapisu mantysy.

Stąd ustalono w postaci standardu 2 tryby precyzji:

a/ pojedyncza (3 bajty)
b/ podwójna (8 bajtów)

2.2. Standardy zapisu

Standard IEEE 754 dla liczby rzeczywistej: (3 bajty)

Standard IEEE dla liczby podwójnej precyzji: (8 bajtów)

Kolejne bity (od lewej)

Znaczenie

1 (jeden)

znak mantysy

2-9 (osiem)

cecha

10-23 (trzynaście)

mantysa

Kolejne bity (od lewej)

Znaczenie

1 (jeden)

Znak mantysy

2-12 (jedenaście)

cecha

13-64 (pięćdziesiąt dwa)

mantysa