Zbiór

Przykłady:

• zbiór studentów 1go roku 
• zbiór książek w bibliotece
• zbiór liczb naturalnych (ozn. N)
• zbiór liczb rzeczywistych (ozn. R)
• zbiór słów nad alfabetem A (ozn. A*)
Dział matematyki, którego 
zadaniem jest badanie 
ogólnych własności zbiorów, 
nazywamy Teorią Mnogości. 
(George Cantor).

Zamiast mówić, że 5 
jest liczbą naturalną, 
mówimy, że 5 należy 
do zbioru liczb 
naturalnych i piszemy 
5N.
Symbol   nazywamy 

relacją należenia.

Jeśli element nie 
należy do zbioru, np. 
-2.5 nie jest liczbą 
naturalną, tzn. -2.5 
nie należy do zbioru 
N, tzn. -2.5 N.

 

 

Definiowanie zbiorów

•  przez wymienienie ich 
elementów

•  przez podanie własności, które 
muszą spełniać elementy

•  przez podanie sposobu 
wyliczania elementów

A =  
{a,b,c,d,e,f,g}   

Jeśli zbiór nie posiada 
żadnych elementów, to 
powiemy, że jest pusty. 
Zbiór pusty oznaczamy 
przez .

Zbiór A nie jest pusty, bo należy 
do niego element a. A , bo 

aA.
Nie ma takiego obiektu, który 
należałby  do zbioru pustego!

  B = {x : xN oraz  

x<6}
   C =  {x

2

 + 1 : 

xN}

 

 

Równość zbiorów

Definicja 
Powiemy, że dwa zbiory są równe wtedy i tylko 
wtedy, 
gdy mają dokładnie te same elementy.
A = B   (wttw)  dla dowolnego x, jeżeli x A, to 

x  B 

i odwrotnie jeżeli x B, to x  A . 

Przykład:  A = {5,50,500,5000} = {5* 10

x

: 0 

x<4 i xN}

       A = {5000,5,50,500}

Uwaga:     Jeżeli A = B i B= C , to A = C.

AB wttw istnieje taki element zbioru A, który 

nie należy do B lub istnieje taki element zbioru 
B, który nie należy do A.

 

 

Relacja zawierania

Definicja
Powiemy, że zbiór A zawiera się w  zbiorze B, ozn. 
A B wttw  dla dowolnego obiektu x, jeśli x A, to 

x  B. 

UWAGA:  Jeśli A=B, to również AB.

Jeśli AB i A  B, to mówimy, że A 

jest

właściwym podzbiorem zbioru B, ozn. 

A B.  

inkluzja

Przykłady:  

N  R, Q  R, Z  R

{d, a}  {a,b,c,d,e,f}

 

 

O zbiorze A mówimy, że jest podzbiorem zbioru B. 

B

A

A jest 
zawart
y w 
zbiorze 
B

Zbiór B 
zawiera 
zbiór A

O zbiorze B mówimy, że jest nadzbiorem zbioru A. 

 

 

Jeżeli zbiór A nie zawiera się w zbiorze B, tzn. nie 
jest prawdą, że zbiór A jest zawarty w zbiorze B, 
to musi istnieć taki obiekt (element), który należy 
do zbioru A  i jednocześnie nie należy do zbioru B.  
 

A

B

A

B

A B  wttw istnieje takie x, że xA i x B.

Przykład.  Zbiór liczb podzielnych przez 2 nie 
jest 

podzbiorem zbioru liczb 

podzielnych przez 5, bo  

np. 4 jest 

podzielne przez 2, a nie jest podzielne 
przez 5.

 

 

Własności inkluzji

Twierdzenie 

Dla dowolnych zbiorów A,B,C :

•   A
•  A A
•  Jeśli A  B oraz B  C, to A  C.
•  Jeśli A  B oraz B  A, to A = B.
  

Uwaga:

Jeśli  xA, to   {x}  A. 

 

 

Zbiór potęgowy

Definicja
Zbiór, który składa się z wszystkich podzbiorów 
pewnego zbioru A, nazywa się zbiorem 
potęgowym ozn. P(A)

Przykład: A={1,2,3}, wtedy

P(A) = {, {1},{2}, {3},{1,2},{2,3},

{1,3}, {1,2,3}}
 UWAGA:  P(



) = {



}

 

 

Suma zbiorów

Definicja
Sumą zbiorów A i B nazywamy zbiór, którego 
elementami są wszystkie elementy zbioru A i 
wszystkie elementy zbioru B. Sumę zbiorów A i B 
oznaczamy  przez A B .

                 x A B wttw  x  A lub x  B 

Uwaga:

x  A B  wttw  x  A   i   x  B

Przykład:  A={3k: k  N}, B= {2k : k N}.

A B = {n: n jest liczbą,, która dzieli się przez 2 

lub przez 3.                        

A         

             B

 

 

Własności sumy

Twierdzenie

Dla dowolnych zbiorów A,B,C :

•    A = A
•  A  A = A 
•  A B = B  A 
•  (A  B)  C = A  (B  C) 

Uwaga:

Powyższe równości można udowodnić 

wykazując, 

że jeśli element należy do 

lewej strony równości, 

to należy do 

prawej strony i odwrotnie.

przemienność

 łączność

 

 

Inkluzja a suma

Twierdzenie   

Dla dowolnych zbiorów A,  B, C:

•    A  A  B   oraz   B  A  B
•    Jeśli A  C   i B  C , to A  B  C
•    Jeśli A  B   i C  D , to A  C  B  D
•    A  B wttw A  B = B 

 

 

Zakładamy, że A  B
Dowodzimy, że A  B= B (czyli A  B  B i B  A  B) 
i) Po pierwsze A, B  B  A  B
ii) Jeśli x  A  B to x  A lub x  B. Jeśli x  A to na mocy 

założenia A  B, 

    x  B. Powyższe rozumowanie jest poprawne dla dowolnego x 

(wzięliśmy
    dowolne x), więc udowodniliśmy, że jeśli A  B to A  B  B. 

Dowód własności:

A  B wttw A  B = B



Odwrotnie, zakładamy, że A  B = B. 

Jeżeli x  A wtedy x  A  B,

a ponieważ  zbiory A  B  i  B są równe więc x B. Czyli A  B.



 

 

Iloczyn zbiorów

Definicja
Iloczynem(przecięciem) zbiorów A i B 
nazywamy zbiór, którego elementami są  te 
elementy zbioru A , które są równocześnie 
elementami zbioru B. 

                 x A B wttw  x  A i x  B 

UWAGA:  x A B wttw    x  A lub x  B 

A

B

Przykład:       Niech iN{0}
 

            A={2i : i<16},  B={3i : i<11} 

A B={0,6,12,18,24,30}= {6i : i < 

6}

 

 

Twierdzenie 

Dla dowolnych zbiorów A,B,C :

•    A = 
•  A  A = A 
•  A  B = B  A 
•  (A  B)  C = A  (B  C) 

 łączność

przemienność

Własności iloczynu

 

 

Twierdzenie 

Dla dowolnych zbiorów A,B,C:

•  A  (A  B) = A   (A  B)  B 

= B
•  A  (B  C)  = (A  B)  (A  

C) 
•  A  (B  C) = (A  B)  (A   

C) 

Prawa

absorpcji

Prawa 

rozdzielności

 

 

A                  B

C

A                  B

C

=

Diagramy Venna

 

 

Różnica symetryczna

Definicja
Różnicą symetryczną zbiorów A, B nazywamy 
zbiór A B taki, że:

 

x A lub x B ale x nie należy do obu 

zbiorów 

równocześnie.

Przykład:  Niech iN{0}
                        A= {2i : i<6},  B= {3i : i<6}

A  B  = {2,3,4,8,9,10,12,15}

 

 

Różnica zbiorów

Definicja 
Różnicą zbiorów A i B nazywamy zbiór , którego 
elementami są te obiekty zbioru A, które nie są 
równocześnie elementami zbioru B. Różnicę 
zbiorów oznaczamy przez A\B.
                 x A\B wttw  x  A i x  B 

UWAGA:

x  A\ B wttw  x  A lub x  B . 

A

B

Przykład: A= {1,2,3,4,5,6} B={ 2i+1: i<5 i 
iN}

A\B = {2,4,6}  B\A = {7,9}

 

 

Własności różnicy

Twierdzenie

Dla dowolnych zbiorów A,B,C :

•  A\B  A
•  A B wttw A\B = 
•  Jeśli A  B,  to  C\B  C\A
•  A \(B C)= (A\B)\C. 

Prawa de Morgana 

A\(B C) = (A\B)  (A\C)
A\(B C) = (A\B)  (A\C)

 

 

Dopełnienie zbioru

Definicja 
Dopełnieniem (Uzupełnieniem) zbioru A w 
przestrzeni U nazywamy zbiór -A, którego 
elementami  są wszystkie elementy  przestrzeni U 
nie należące do zbioru A, tzn. dla dowolnego x U i 

dowolnego podzbioru A przestrzeni U:
                 

x- A wttw  x  A  

UWAGA:

U\A = -A 

Przykład:  

Niech uniwersum U=N oraz A={2i: i  N}.  
Wtedy -A jest zbiorem wszystkich liczb 

nieparzystych.

                    U

A

 

 

Własności dopełnień

Twierdzenie

Dla dowolnych zbiorów A,B pewnego 
uniwersum  U :

•  -

 

= U  -U

 

=  

•  -(-A ) = A
•  Jeśli A  B,  to - B   -A. 

Prawa de Morgana

 -(A  B) 

  

= -A  -B 

 -(A  B) 

 

= -A 

 



  

-B 

 

 

Działania nieskończone

Definicja 
Niech będzie rodzina zbiorów  A= {A

i

 : i  I}.

Sumą nieskończonej rodziny zbiorów nazywamy 
zbiór   A

i

  taki, że x   A

i

 wttw istnieje takie i  I, 

że x   A

i

 .

Iloczynem (lub przecięciem) nieskończonej rodziny 
zbiorów nazywamy zbiór  A

i

 taki, że x   A

i

 wttw 

dla wszystkich i  I,  x   A

i

 

Przykład:  A

i

 = {x 



 R : x<i}  dla i 

 N    

 

 A

i 

= R

    

 A

i

 = {x 



 R : x<0}

 

 

Para uporządkowana

Postulaty jakie musi spełniać para 

uporządkowana:

1. Można ją utworzyć dla dowolnych dwóch 

elementów

2. <x,y>=<z,w> wttw x=z i y=w

Definicja (K. Kuratowski)

<x,y>={{x},{x,y}}

UWAGA:

trójka uporządkowana 

<x,y,z>=<<x,y>,z>
n-ka uporządkowana <x

1

,x

2

,..,x

n

>=<< 

..<x

1

,x

2

>...,x

n-1

>,x

n

> 

UWAGA:

Jeśli xy to <x,y> <y,x>

 

 

Iloczyn (produkt) 

kartezjański

Definicja
Iloczynem kartezjańskim zbiorów A i B (ozn. AB) 

nazywamy
zbiór par uporządkowanych definiowany 
następująco:

AB={<x,y> : xA i y B}

UWAGA:

A B C={<x,y,z> : x A i y B i z C}

X

Y

Ilustracja graficzna iloczynu
kartezjańskiego 

 

 

Własności iloczynu 

kartezjańskiego

Stwierdzenie Jeżeli X jest zbiorem n-
elementowym, a Y zbiorem m-elementowym, to 
produkt X Y ma n*m elementów.

Twierdzenie

Dla dowolnych zbiorów 

X,A,B:
X  Y = Y  X  wttw X = Y

X    = 

X  (A  B) = (X  A)  (X  B)

X  (A  B) = (X  A)  (X  B)

X  (A\B) = (X  A) \ (X  B)

A B i C  D wttw AC  B  D

A  (B  C)   (A  B)  C