1

WYKŁAD 10

RACHUNEK WEKTOROWY

Symbolem

K

będziemy oznaczać ciało liczb rzeczywistych (

K = R

)

i nazywać

ciałem skalarów

, a jego elementy

skalarami

.

Niech będzie dany niepusty zbiór

V

, w którym określone jest działanie

wewnętrzne

+: V  V  V

zwane

dodawaniem

oraz działanie zewnętrzne

:

K  V  V

zwane

mnożeniem

.

Zbiór

V

z tak określonymi działaniami nazywamy

przestrzenia liniową

(

lub

wektorową

)

nad ciałem K,

jeśli spełnione są warunki:

1.

V

wraz z działaniem

+

jest

grupą abelową

.

2. - rozdzielność mnożenia

względem dodawania elementów.
3. - rozdzielność mnożenia

względem dodawania skalarów.

4. - łączność mnożenia.

5.

Elementy przestrzeni

V

nazywać będziemy

wektorami

.

y

x

y

x

V

y

x

K





























)

(

,

x

x

x

V

x

K

































)

(

,

x

x

V

x

K



















)

(

)

(

,













x

x

V

x









1

2

Wektory w R

n

Symbolem

R

n

oznaczamy zbiór wszystkich n-tek liczb rzeczywistych:

R

n

= {(x

1

,...,x

n

): x

1

. . . , x

n

R}

Określamy działania

+

i

∙

wzorami:

x + y = (x

1

+ y

1

, x

2

+ y

2

, …x

n

+ y

n

)

dla

a∙x = (ax

1

, ax

2

, …ax

n

)

dla

Iloczyn skalarny wektorów

Określamy działanie ○ tak, aby spełniało poniższe warunki dla dowolnych
wektorów

x, y, z

i skalaru



.

x ○ y = y ○ x

(przemienność)

(  x) ○ y =   (x ○ y)

(łączność mieszana)

(x  y) ○ z = (x ○ z) + (y ○ z)

(rozdzielność)

x ○ x  0; x ○ x = 0  x = 0



n

R

y

x



,

R

a

R

x

n





,

Iloczyn skalarny - geometrycznie

gdzie

|x|

i

|y|

są długościami

wektorów a



jest kątem miedzy nimi

|y|

|x|





cos

y

x



y

x

Np: iloczyn skalarny dwóch wersorów prostopadłych:

0

90

cos

1

1











j

i 

x

y

3

Iloczyn skalarny w R

n

]

,...x

x

,

x

[

n

2

1



x

]

,...y

y

,

y

[

n

2

1



y







n

y

x

1

i

i

i

y

x



np. [1,-1,2] ○ [2,3,0] =

1·2 + (-1)·3 + 2·0 = -1

Długość wektora (moduł, norma)

jest to przyporządkowana wektorowi

liczba, zdefiniowana przez iloczyn skalarny:

2

x

x

x

x







Także

kąt między wektorami

może być zdefiniowany przez iloczyn

skalarny:

y

x

y

x









cos

y

x

y

x







arccos



4

Iloczyn wektorowy

:

Iloczynem wektorowym pary wektorów

x

i

y

nazywamy przyporządkowany im wektor

z

w taki sposób, aby

1.

2. Kierunek wektora

z

był prostopadły do płaszczyzny, na której leżą

wektory

x

i

y

.

3. Układ wektorów (

x, y, z

) był zorientowany dodatnio (reguła prawej dłoni

lub śruby prawoskrętnej).

x

y

z





sin

y

x

z 

Jeśli w przestrzeni

R

3

dane są wektory

u = [x

1

,x

2

,x

3

]

i

v = [y

1

,y

2

,y

3

]

, to ich iloczyn

wektorowy daje się wyrazić wzorem:

z =

(x

2

y

3

– x

3

y

2

)[1,0,0] +

(x

3

y

1

– x

1

y

3

)[0,1,0] +

(x

1

y

2

- x

2

y

1

)[0,0,1]

5

Sumę y = nazywamy

liniową kombinacją

wektorów

x

1

,...,x

k

o współczynnikach



1

,

2

,..., 

k

(mówimy też, że wektor

y

jest

liniową kombinacją wektorów x

1

,...,x

k

).

Mówimy, że wektory

x

1

,...,x

n

V

są

liniowo niezależne

, jeśli



i

k

i

i

x



1



































)

0

...

(

)

(

1

1

,...

1

n

n

i

i

i

K

x

n











Mówimy, że wektory

x

1

,...,x

n

V

są

liniowo zależne

, jeśli nie są liniowo

niezależne, tzn.

































n

i

n

i

i

i

i

K

x

n

1

1

2

,...,

0

1









6

Baza przestrzeni wektorowej

Bazą

przestrzeni wektorowej

V

nad ciałem K nazywamy taki układ wektorów

x

1

,...,x

n

, że:

1)

x

1

,...,x

n

są wektorami liniowo niezależnymi;

2) każdy wektor

x V

jest liniową kombinacją wektorów

x

1

,...,x

n

, tzn.

i

n

i

i

K

V

x

x

x

n















1

,...,

1







Każde dwie bazy dowolnej przestrzeni wektorowej

V

mają tę samą ilość

elementów.

Jeśli

V={},

to mówimy, że

wymiar

tej przestrzeni jest równy

0

i

piszemy:

dim(V)=0

.

Załóżmy zatem, że

V{}.

Jeśli w przestrzeni istnieje skończony układ

wektorów stanowiący bazę tej przestrzeni, to

liczbę elementów tej bazy

nazywamy

wymiarem

tej przestrzeni i oznaczamy

dim(V).

Jeśli w

przestrzeni

V

taki skończony układ nie istnieje, to mówimy, że przestrzeń ta

jest

nieskończenie wymiarowa

i piszemy:

dim(V)=.

Przykład:

Przestrzeń

R

nad ciałem

R

ma wymiar

1

, a przestrzeń

R

2

nad ciałem

R

ma wymiar

2

(bazą jest np. układ wektorów

(1,0) i (0,1)

lub

(1,5), (0,7)).

7

Przykład:

Przestrzeń

R

nad ciałem

R

ma wymiar

1

, a przestrzeń

R

2

nad ciałem

R

ma

wymiar

2

(bazą jest np. układ wektorów

(1,0) i (0,1)

lub

(1,5), (0,7)).

Z definicji bazy wynika, że jeśli

x

1

,...,x

n

jest bazą tej przestrzeni oraz

x V

, to .

Liczby



i

są wyznaczone

jednoznacznie

(dla elementu

x

), tzn.

jeśli , to



i

= 

i

(i = 1,2,...n).

Liczby



1

,..., 

n

nazywamy

współrzędnymi

wektora x w bazie x

1

,...,x

n

.

Przykład:

Niech

u = [-3, 6].

Wtedy

u = -3[1,0] + 6[0,1]

lub

u = -3[1,5] + 3[0,7].

i

n

i

i

x

x







1



i

n

i

i

x

x







1

