1

WYKŁAD 10

RACHUNEK WEKTOROWY

    Symbolem 

K

 będziemy oznaczać ciało liczb rzeczywistych (

K = R

) 

i nazywać 

ciałem skalarów

, a jego elementy 

skalarami

.

     Niech będzie dany niepusty zbiór 

V

, w którym określone jest działanie 

wewnętrzne  

+: V  V  V

 zwane 

dodawaniem

 oraz działanie zewnętrzne 

: 

K  V  V

 zwane  

mnożeniem

.

 Zbiór 

V

 z tak określonymi działaniami nazywamy 

przestrzenia liniową

 (

lub 

wektorową

) 

nad  ciałem K,

 jeśli spełnione są warunki:

1. 

V 

wraz z działaniem 

+

 jest 

grupą abelową

.

2.                                                              - rozdzielność mnożenia 

względem dodawania elementów.
3.                                                              - rozdzielność mnożenia 

względem dodawania skalarów.

4.                                                             - łączność mnożenia.

5. 

Elementy przestrzeni 

V 

nazywać będziemy

 wektorami

.

y

x

y

x

V

y

x

K





























)

(

,

x

x

x

V

x

K

































)

(

,

x

x

V

x

K



















)

(

)

(

,













x

x

V

x









1

 

 

2

Wektory w R

n

       Symbolem 

R

n

 oznaczamy zbiór wszystkich n-tek liczb rzeczywistych: 

R

n

 = {(x

1

 ,...,x

n

): x

1

 . . . , x

n        

R}

      Określamy działania 

+

 i 

∙

 wzorami:

 x + y = (x

1

 + y

1

, x

2

 + y

2

, …x

n

 + y

n

)

  dla

 
a∙x = (ax

1

, ax

2

, …ax

n

)

  dla

Iloczyn skalarny wektorów

    Określamy działanie ○ tak, aby spełniało poniższe warunki dla dowolnych 
wektorów 

x, y, z

 i skalaru 



.

x ○ y  = y ○ x 

(przemienność)

(  x) ○ y =   (x ○ y)

(łączność mieszana)

 (x  y) ○ z = (x ○ z) + (y ○ z) 

(rozdzielność)

x ○ x  0;  x ○ x = 0  x = 0



n

R

y

x



,

R

a

R

x

n





,

Iloczyn skalarny - geometrycznie

gdzie 

|x|

 i 

|y|

 są długościami 

wektorów a

 

 



 jest kątem miedzy nimi 

|y|

|x|





cos

 

y

x



y

x

Np: iloczyn skalarny dwóch wersorów prostopadłych:

0

90

cos

1

1











j

i 

x

y

 

 

3

Iloczyn skalarny w  R

n

]

,...x

x

,

x

[

n

2

1



x

]

,...y

y

,

y

[

n

2

1



y







n

y

x

1

i

i

i

y

x



np. [1,-1,2] ○ [2,3,0] =

1·2 + (-1)·3 + 2·0 = -1

Długość wektora (moduł, norma)

 jest to przyporządkowana wektorowi 

liczba, zdefiniowana przez iloczyn skalarny:

2

x

x

x

x







Także 

kąt między wektorami

 może być zdefiniowany przez iloczyn 

skalarny:

y

x

y

x









cos

y

x

y

x







arccos



 

 

4

Iloczyn wektorowy

: 

Iloczynem wektorowym pary wektorów 

x

 i 

y

 

nazywamy przyporządkowany im wektor 

z

 w taki sposób, aby

1.                                     

2. Kierunek wektora 

z 

był prostopadły do płaszczyzny, na której leżą 

wektory 

x

 i

 y

.  

3. Układ wektorów (

x, y, z

) był zorientowany dodatnio (reguła prawej dłoni 

lub śruby prawoskrętnej).

x

y

z





sin

y

x

z 

Jeśli w przestrzeni 

R

3

 

dane są wektory 

u = [x

1

,x

2

,x

3

]

 i 

v = [y

1

,y

2

,y

3

]

 , to ich iloczyn 

wektorowy daje się wyrazić wzorem: 

z = 

(x

2

y

3

 – x

3

y

2

)[1,0,0] +

     (x

3

y

1

 – x

1

y

3

)[0,1,0] +

     (x

1

y

2

 -  x

2

y

1

)[0,0,1]

 

 

5

        Sumę y =                   nazywamy 

liniową kombinacją

 wektorów 

x

1

,...,x

k

  o współczynnikach 



1

,

2

,..., 

k

 (mówimy też, że wektor 

y

 jest 

liniową kombinacją wektorów x

1

,...,x

k

).

       Mówimy, że wektory 

x

1

,...,x

n

V

 są 

liniowo niezależne

, jeśli



i

k

i

i

x



1



































)

0

...

(

)

(

1

1

,...

1

n

n

i

i

i

K

x

n











       Mówimy, że wektory 

x

1

,...,x

n

V 

są

 liniowo zależne

, jeśli nie są liniowo 

niezależne, tzn.

































n

i

n

i

i

i

i

K

x

n

1

1

2

,...,

0

1









 

 

6

Baza przestrzeni wektorowej

Bazą 

przestrzeni wektorowej 

V

 nad ciałem K nazywamy taki układ wektorów 

x

1

,...,x

n

, że:

1) 

x

1

,...,x

n

 są wektorami liniowo niezależnymi;

2) każdy wektor 

x V

 jest liniową kombinacją wektorów 

x

1

,...,x

n

, tzn.

i

n

i

i

K

V

x

x

x

n















1

,...,

1







     Każde dwie bazy dowolnej przestrzeni wektorowej 

V

 mają tę samą ilość 

elementów.

        Jeśli 

V={},

  to  mówimy,  że 

wymiar

  tej  przestrzeni  jest  równy 

0

  i 

piszemy: 

dim(V)=0

. 

        Załóżmy  zatem,  że 

V{}.

  Jeśli  w  przestrzeni  istnieje  skończony  układ 

wektorów  stanowiący  bazę  tej  przestrzeni,  to 

liczbę  elementów  tej  bazy

 

nazywamy 

wymiarem

  tej  przestrzeni  i  oznaczamy 

dim(V).

  Jeśli  w 

przestrzeni 

V

 taki skończony układ nie istnieje, to mówimy, że przestrzeń ta 

jest 

nieskończenie wymiarowa

 i piszemy: 

dim(V)=.

Przykład:

 Przestrzeń 

R 

nad ciałem 

R

 ma wymiar 

1

, a przestrzeń 

R

2

 nad ciałem 

R

 ma wymiar 

2

 (bazą jest np. układ wektorów 

(1,0) i (0,1)

 lub 

(1,5), (0,7)).

 

 

7

Przykład:

 

     Przestrzeń 

R 

nad ciałem 

R

 ma wymiar 

1

, a przestrzeń 

R

2

 nad ciałem 

R

 ma 

wymiar 

2

 (bazą jest np. układ wektorów 

(1,0) i (0,1)

 lub 

(1,5), (0,7)).

    Z definicji bazy wynika, że jeśli 

x

1

,...,x

n

 jest bazą tej przestrzeni oraz 

x V

,  to                         . 

    Liczby 



i

 są wyznaczone 

jednoznacznie 

(dla elementu 

x

), tzn. 

jeśli                        , to 



i

 = 

i

 (i = 1,2,...n). 

Liczby 



1

,..., 

n

 nazywamy 

współrzędnymi

 

wektora x w bazie x

1

,...,x

n

.

Przykład:

Niech 

u = [-3, 6].

 Wtedy 

u = -3[1,0] + 6[0,1]

lub 

u = -3[1,5] + 3[0,7].

i

n

i

i

x

x







1



i

n

i

i

x

x







1

