RÓWNANIA

KWADRATOW

E

Aby rozwiązać równanie z niewiadomą x należy

wyznaczyć zbiór tych wartości x, dla których równanie

jest spełnione.

Rozwiązania równania kwadratowego to miejsca

zerowe funkcji kwadratowej.

Rozwiązując równanie kwadratowe:

• musimy wyznaczyć współczynniki a, b, c,
• obliczyć deltę (wyróżnik funkcji kwadratowej),
• w zależności od delty wyznaczyć miejsca zerowe.

Możemy stosować wzory skróconego mnożenia,

wyłączyć wspólny czynnik przed nawias rozkładając

równanie na czynniki.

Stosując różne metody rozwiążemy równania

kwadratowe.

x

2

-4x-5 = 0

a=1 b=-4 c=-5

Δ = b

2

- 4ac

Δ = (-4)

2

- 4·1·(-5) = 16 + 20 = 36

Δ

>

0

- wyznaczamy dwa miejsca zerowe

-6x

2

+x+1 = 0

a=-6 b=1 c=1

Δ = b

2

- 4ac

Δ = 1

2

- 4·(-6)·1 = 1 + 24 = 25

Δ

>

0

- wyznaczamy dwa miejsca zerowe

4x

2

+8x = 0

4x

2

+8x = 0

4x · (x+2) = 0
4x=0 ∨ x+2 = 0
x=0 ∨ x=-2

6x

2

-6 = 0

6x

2

-6 = 0

6x

2

= 6

x

2

= 1

x=-1 ∨ x=1

x

2

-4x+4 = 0

a=1 b=-4 c=4

Δ = b

2

- 4ac

Δ = (-4)

2

- 4·1·4

Δ = 16 - 16
Δ =

0

- wyznaczamy jedno miejsce zerowe

-x

2

-x-4 = 0

a=-1 b=-1 c=-4

Δ = b

2

- 4ac

Δ = (-1)

2

- 4·(-1)·(-4) = 1 - 16 = -15

Δ <

0

- równanie nie posiada rozwiązań

6x

2

+x+2 = 0

a=6 b=1 c=2

Δ = b

2

- 4ac

Δ = 1

2

– 4·6·2 = 1 – 48 = -47

Δ <

0

- równanie nie posiada rozwiązań

-x

2

+6x = 9

-x

2

+6x-9 = 0

a=-1 b=6 c=-9

Δ = b

2

- 4ac

Δ = 6

2

- 4·(-1)·(-9)

Δ = 36 - 36
Δ =

0

- wyznaczamy jedno miejsce zerowe

x(x-5)=2x(x-1)

x(x-5)=2x(x-1)

x

2

-5x = 2x

2

-2x

x

2

-2x

2

+2x-5x=0

-x

2

-3x=0

a=-1 b=-3 c=0

Δ = b

2

- 4ac

Δ = (-3)

2

- 4·(-1)·0

Δ = 9
Δ > 0 - wyznaczamy dwa
miejsca
zerowe

-2(x+5)(x-2)=-2(3x-10)

-2(x

2

-2x+5x-10)=-6x+20

-2x

2

-6x+20 = -6x+20

-2x

2

-6x+20+6x-20=0

-2x

2

=0

x

2

=0

x=0

2(x-5)=2x(x-1)

2(x-5)=2x(x-1)

2x-10 = 2x

2

-2x

2x-2x

2

+2x-10=0

-2x

2

+4x-10=0

a=-2 b=4 c=-10

Δ = b

2

- 4ac

Δ = 4

2

- 4·(-2)·(-10)

Δ = 16-80
Δ < -64 - równanie nie posiada rozwiązań

(x+1)

2

+(2-x)

2

=(2+x)

2

(x+1)

2

+(2-x)

2

=(2+x)

2

x

2

+2x+1+4-4x+x

2

=4+4x+x

2

2x

2

-2x+5=4+4x+x

2

2x

2

-x

2

-2x-4x+5-4=0

x

2

-6x+1=0

a=1 b=-6 c=1

Δ = b

2

- 4ac

Δ = (-6)

2

– 4·1·1

Δ = 36-4
Δ = 32
Δ > 0 - wyznaczamy dwa
miejsca
zerowe

4(x+2)-6x=(1-x)

2

-2

4(x+2)-6x=(1-x)

2

-2

4x+8-6x=1-2x+x

2

-2

-2x+8=-1-2x+x

2

-x

2

-2x+2x+8+1=0

-x

2

+9=0

-x

2

=-9

x

2

=9

x=-3 ∨ x=3

(2x+1)

2

+(x-3)

2

=10

4x

2

+4x+1+x

2

-6x+9=10

5x

2

-2x+10=10

5x

2

-2x=0

x(5x-2)=0

x=0 ∨ 5x-2=0

5x=2

x=0,4

a=-4 b=-2 c=0

Δ = b

2

- 4ac

Δ = (-2)

2

– 4·(-4)·0

Δ = 4
Δ > 0 - wyznaczamy dwa miejsca zerowe

a=2 b=5 c=3

Δ = b

2

- 4ac

Δ = 5

2

– 4·2·3

Δ = 25-24
Δ = 1
Δ > 0 - wyznaczamy dwa miejsca zerowe