RÓWNANIA
WIELOMIANOWE
RÓWNANIA
WIELOMIANOWE
Równanie postaci W(x)=0 gdzie W(x) jest
wielomianem stopnia n nazywamy równaniem
wielomianowym stopnia n.
Liczba, która jest rozwiązaniem równania
wielomianowego
to pierwiastek (miejsce zerowe) wielomianu W(x).
Aby rozwiązać równanie wielomianowe należy
rozłożyć na
czynniki wielomian i skorzystać z faktu, że iloczyn
jest
równy zero wtedy, gdy którykolwiek z czynników
jest równy
zero.
a
· b = 0 ⇔ a = 0 v ∨ b = 0
Rozwiązując równania wykorzystujemy metodę
grupowania wyrazów, wzory skróconego mnożenia,
wzory na rozkład trójmianu kwadratowego na
czynniki w zależności od delty.
Zadanie: Rozwiąż równania:
1) 16x+32=0
16x=-32
x=-2 Z
R
={-2}
2) (x-3)(3x+9)=0
x-3=0
∨
3x+9=0
x=3
∨
3x=-9
x=3
∨
x=-3
Z
R
={-3,3}
3) (4-x)(x+7)(5x+15)=0
4-x=0
∨
x+7=0
∨
5x+15=0
-x=-4
∨
x=-7
∨
5x=-15
x=4
∨
x=-7
∨
x=-3
Z
R
={-7,-3,4}
4) 16x(x-3)(x+9)=0
16x=0
∨
x-3=0
∨
x+9=0
x=0
∨
x=3
∨
x=-9
Z
R
={-9,0,3}
5) (x-3)(3x+9)=0
x-3=0
∨
3x+9=0
x=3
∨
3x=-9
x=3
∨
x=-3
Z
R
={-3,3}
6) (4-x)(x
2
+6x)(5x+5)=0
4-x=0
∨
x
2
+6x=0
∨
5x+5=0
-x=-4
∨
x(x+6)=0
∨
5x=-5
x=4
∨
x=0
∨
x+6=0
∨
x=-1
x=4
∨
x=0
∨
x=-6
∨
x=-1
Z
R
={-6,-1,0,4}
7) (x+4)(2x-10)(x
2
-4)=0
x+4=0
∨
2x-10=0
∨
x
2
-4=0
x=-4
∨
2x=10
∨
x
2
=4
x=-4
∨
x=5
∨
x=-2
∨
x=2
Z
R
={-4,-2,2,5}
8) (x
2
-9)(x
2
-6x)=0
x
2
-9=0
∨
x
2
-6x=0
x
2
=9
∨
x(x-6)=0
x=-3
∨
x=3
∨
x=0
∨
x-6=0
x=-3
∨
x=3
∨
x=0
∨
x=6
Z
R
={-3,0,3,6}
9) x
2
(x
2
-8x)(x+10)=0
x
2
=0
∨
x
2
-8x=0
∨
x+10=0
x=0
∨
x(x-8)=0
∨
x=-10
x=0
∨
x=0
∨
x=8
∨
x=-10
Z
R
={-10,0,8}
10) x
2
+x+4=0
a=1 b=1 c=4
=1-16=-15
< 0
xØ
Z
R
= Ø
11) x
2
+6x+5=0
a=1 b=6 c=5
=36-20=16
x
1
=-5 x
2
=-1
Z
R
={-5,-1}
12) x
3
+5x
2
+4x=0
x(x
2
+5x+4)=0
x=0
∨
x
2
+5x+4=0
a=1 b=5 c=4
=25-16=9
x
1
=-4 x
2
=-1
Z
R
={-4,-1,0}
13) x
3
+3x
2
+6x+18=0
(x
3
+3x
2
)+(6x+18)=0
x
2
(x+3)+6(x+3)=0
(x+3)(x
2
+6)=0
x+3=0
∨
x
2
+6=0
x=-3 a=1 b=0 c=6
=0-24=-24
< 0
xØ
Z
R
={-3}
14) x
3
-8x
2
+x-8=0
(x
3
-8x
2
)+(x-8)=0
x
2
(x-8)+1(x-8)=0
(x-8)(x
2
+1)=0
x-8=0
∨
x
2
+1=0
x=8 a=1 b=0 c=1
=0-4=-4
< 0
xØ
Z
R
={8}
15) x
3
-9x=0
x(x
2
-9)=0
x=0
∨
x
2
-9=0
x
2
=9
x=-3
∨
x=3
Z
R
={-3,0,3}
16) x
3
-x=0
x(x
2
-1)=0
x=0
∨
x
2
-1=0
x
2
=1
x=-1
∨
x=1
Z
R
={-1,0,1}
17) x
4
-1=0
(x
2
)
2
-1
2
=0
(x
2
-1)(x
2
+1)=0
x
2
-1=0
∨
x
2
+1=0
x
2
=1
∨
x
2
=-1
x=-1
∨
x=1 xØ
Z
R
={-1,1}
18) 3x
3
-x
2
-21x+7=0
(3x
3
-x
2
)+(-21x+7)=0
x
2
(3x-1)-7(3x-1)=0
(3x-1)(x
2
-7)=0
3x-1=0
∨
x
2
-7=0
3x=1
∨
x
2
=7
x=⅓
∨
x=-
∨
x=
Z
R
={-
,⅓, }
19) -2x
3
-5x
2
+8x+20=0
(-2x
3
-5x
2
)+(8x+20)=0
-x
2
(2x+5)+4(2x+5)=0
(2x+5)(-x
2
+4)=0
2x+5=0
∨
-x
2
+4=0
2x=-5
∨
x
2
=4
x=-2½
∨
x=-2
∨
x=2
Z
R
={-
2½,-2,2}
20) 2x
4
+x
3
+3x
2
+x+1=0
(2x
4
+x
3
+x
2
)+(2x
2
+x+1)=0
x
2
(2x
2
+x+1)+1(2x
2
+x+1)=0
(x
2
+1)(2x
2
+x+1)=0
x
2
+1=0
∨
2x
2
+x+1=0
x
2
=-1 2x
2
+x+1=0
xØ a=2 b=1 c=1
=1-8=-7
< 0
xØ
Z
R
=Ø
21) 9x
3
-18x
2
+2x-4=0
(9x
3
-18x
2
)+(2x-4)=0
9x
2
(x-2)+2(x-2)=0
(x-2)(9x
2
+2)=0
x-2=0
∨
9x
2
+2=0
x=2 a=9 b=0 c=2
=0-72=-72
< 0
xØ
Z
R
={2}
22) x
3
-9x
2
+x-9=0
(x
3
-9x
2
)+(x-9)=0
x
2
(x-9)+1(x-9)=0
(x-9)(x
2
+1)=0
x-9=0
∨
x
2
+1=0
x=9
∨
x
2
=-1
xØ
Z
R
={9}
23) 3x
4
+6x
3
+3x
2
+6x=0
(3x
4
+6x
3
)+(3x
2
+6x)=0
x
3
(3x+6)+x(3x+6)=0
(x
3
+x)(3x+6)=0
x
3
+x=0
∨
3x+6=0
x(x
2
+1)=0
∨
3x=-6
x=0
∨
x
2
+1=0
∨
x=-2
xØ
Z
R
={-2,0}
24) –x
5
-4x
3
-x
2
-4=0
(–x
5
-4x
3
)+(-x
2
-4)=0
-x
3
(x
2
+4)-1(x
2
+4)=0
(-x
3
-1)(x
2
+4)=0
-x
3
-1=0
∨
x
2
+4=0
x
3
=-1
∨
x
2
=-4
x=-1
∨
xØ
Z
R
={-1}
25) -x
4
-5x
2
-4=0
-(x
2
)
2
-5x
2
-4=0
podstawiamy
: x
2
=t
-t
2
-5t-4=0
a=-1 b=-5 c=-4
=25-16=9
t
1
=-1 t
2
=-4
wracamy do podstawienia:
x
2
=-1
∨
x
2
=-4
xØ xØ
Z
R
=Ø
26) x
8
-3x
4
-4=0
(x
4
)
2
-3x
4
-4=0
podstawiamy
: x
4
=t
t
2
-3t-4=0
a=1 b=-3 c=-4
=9+16=25
wracamy do podstawienia:
x
4
=-1
∨
x
4
=4
xØ x= x=-
Z
R
={- , }