Prądy stałe i zmienne

wielkość

wielkość

przemienna

wielkość

nieokresowa

wielkość

okresowa

wielkość

zmienna

wielkość

stała

wielkość tętniąca

Prądy zmienne

Prądy i napięcia zmienne - takie,
których wartości zależą od czasu.
Wartości prądów i napięć w określonej
chwili czasowej czyli wartości
chwilowe :

u(t) lub u

i(t) lub i

Prądy zmienne

wielkość

nieokresowa

wielkość

okresowa

wielkość

zmienna

Wielkość nazywamy okresową, gdy jej wartości
powtarzają się w jednakowych odstępach czasu.

Okresem T

wielkości okresowej nazywamy

najmniejszy odstęp czasu, po upływie którego
następuje powtarzanie się wartości.

Prądy zmienne

wielkość

nieokresowa

wielkość

okresowa

wielkość

zmienna

Warunek okresowości:





 





 

t

x

kT

t

x

t

x

T

t

x









lub
ogólniej:

przy czym:

,....

2

,

1





k

Prądy zmienne

wielkość

nieokresowa

wielkość

okresowa

wielkość

zmienna

Wielkości zmieniające się nieokresowo
w funkcji czasu nazywamy
nieokresowymi.

Prądy zmienne

wielkość

nieokresowa

wielkość

okresowa

wielkość

zmienna

i

t

0

wielkość

okresowa

i

t

wielkość

nieokresowa

Prądy zmienne

wielkość

nieokresowa

wielkość

okresowa

wielkość

zmienna

Wielkość okresowa jest wielkością
cykliczną, przy czym

cyklem

wielkości

nazywamy zbiór jej wartości
odpowiadający jednemu okresowi.

Odwrotność okresu

T

wielkości okresowej

nazywamy

częstotliwością f

tej

wielkości:

T

f

1



Jednostką częstotliwości jest

herc [Hz]

Prądy zmienne

wielkość

nieokresowa

wielkość

okresowa

wielkość

zmienna

i

t

0

wielkość okresowa

T

cyk
l

okres

Prądy zmienne

Wielkością

przemienną

nazywamy

wielkość okresową, której wartość
średnia za okres równa się zeru, czyli:

wielkość tętniąca

wielkość

przemienna

wielkość

okresowa

0

1

0







T

xdt

T

x

x

t

0

Prądy zmienne

Wielkością

tętniącą

nazywamy wielkość

okresową, której wartość średnia za okres
nie równa się zeru, czyli:

wielkość tętniąca

wielkość

przemienna

wielkość

okresowa

0

1

0







T

xdt

T

x

x

t

0

a

bt

a

x

sin





Elementy idealne w obwodach

prądu zmiennego

Przepływowi prądu elektrycznego
towarzyszą zawsze trzy zjawiska:
1. Powstawanie energii cieplnej kosztem
energii elektrycznej - straty energii
elektrycznej,
2. Występowanie pola elektrycznego
wewnątrz i na zewnątrz przewodów.
3. Występowanie pola magnetycznego
wewnątrz i na zewnątrz przewodów.

Elementy idealne w obwodach

prądu zmiennego

Dowolny element obwodu traktujemy
jako

idealny

, jeśli występuje w nim

tylko jedno

z wymienionych zjawisk a

pozostałe dwa mogą być pominięte.

W elementach rzeczywistych zawsze
występują wszystkie trzy zjawiska ale
jedno z nich może być dominujące.

Idealny opornik

Opornikiem idealnym nazywamy element, w
którym występuje

tylko przekształcanie energii

elektrycznej na cieplną

, nie występuje natomiast

ani pole elektryczne, ani pole magnetyczne.

Parametrem opornika idealnego jest

rezystancja R[



]

lub

konduktancja G[S]

,

przy czym:

R

G

1



Idealny opornik

Oznaczenie opornika idealnego:

i

u

R

Wartości chwilowe napięcia i prądu w
oporniku idealnym są do siebie
proporcjonalne, stąd

równania opornika

idealnego

:

Ri

u

Gu

i 

lub

Idealny kondensator

Kondensatorem idealnym nazywamy
element, w którym występuje

tylko pole

elektryczne

, nie ma natomiast ani pola

magnetycznego ani przemiany energii
elektrycznej na cieplną.

Parametrem określającym kondensator
idealny jest

pojemność C[F].

Idealny kondensator

Oznaczenie kondensatora

idealnego:

Jeżeli na zaciskach kondensatora idealnego
istnieje napięcie zmienne, wówczas w
kondensatorze płynie prąd:

i

u

C

dt

du

C

i 

Idealny kondensator

i

u

C

dt

du

C

i 

 

 

 

 

   





0

0

0

0

u

t

u

C

du

C

dt

dt

t

du

C

dt

t

i

t

u

u

t

t















Idealny kondensator

Napięcie na
kondensatorze:

i

u

C

 







t

idt

C

u

u

0

1

0

gdzie u(0) jest wartością początkową
napięcia na kondensatorze.





idt

C

u

1

Idealny kondensator - przykład

Kondensator o
pojemności

C = 1F

= 10

-6

F

i napięciu

początkowym

u(0) =

-1V.

Obliczmy

napięcie tego
kondensatora, jeżeli
płynący przez niego
prąd ma kształt jak na
rys.

0

1

1

2

2

i(t)

[A

]

t

[s]

Idealny kondensator - przykład

 







t

idt

C

u

u

0

1

0

 

t

dt

t

u

t

t

























1

10

10

1

1

:

1

0

0

6

6

0

1

1

2

2

i(t)

[A

]

t

[s]

Idealny kondensator - przykład

 







t

idt

C

u

u

0

1

0

 





1

2

10

2

10

1

10

10

1

1

:

2

1

1

6

6

1

0

6

6





 

























t

dt

dt

t

u

t

t

0

1

1

2

2

i(t)

[A

]

t

[s]

Idealny kondensator - przykład

 







t

idt

C

u

u

0

1

0

 

 

2

2

:

2







u

t

u

t

0

1

1

2

2

i(t)

[A

]

t

[s]

Idealny kondensator - przykład

0

1

1

2

2

u(t)

[V]

t

[s]

-1

0

1

1

2

2

i(t)

[A

]

t

[s]

Napięcie na kondensatorze w chwili t zależy od
napięcia początkowego u(0) oraz od przebiegu
prądu w przedziale czasu 0 – t. „Kondensator
pamięta przeszłość”.

Idealna cewka

Cewką idealną nazywamy element, w którym
występuje

tylko pole magnetyczne

, nie

występuje natomiast ani pole elektryczne, ani
zjawiska przekształcania energii elektrycznej
na cieplną.

Parametrem cewki idealnej jest

indukcyjność

L

Jednostką indukcyjności jest

henr

[H].

Idealna cewka

Oznaczenie cewki idealnej:

i

u

L

i

u

Przy przepływie prądu zmiennego w uzwojeniu
cewki idealnej powstaje zmienny strumień
magnetyczny skojarzony z cewką i w cewce o
indukcyjności L indukuje się siła
elektromotoryczna:

dt

di

L

e

i





Idealna cewka

i

u

L

i

u

dt

di

L

u 

Na zaciskach cewki
występuje wówczas
napięcie:

 

 

 

 

   





0

0

0

0

i

t

i

L

di

L

dt

dt

t

di

L

dt

t

u

t

i

i

t

t















Idealna cewka

i

u

L

i

u

dt

di

L

u 

Wobec tego prąd w cewce
idealnej:

 







t

udt

L

i

i

0

1

0

gdzie i(0) jest tzw. wartością początkową
prądu w cewce.





udt

L

i

1

Idealna cewka - przykład

Cewka o
indukcyjności

L =

0,01 H

, w której

płynie prąd

i(t

) o

kształcie jak na
rys. obliczymy
napięcie cewki.

1

i(t

)

[A

]

t

[s

]

0

0,

1

0,

2

0,

3

0,

4

Idealna cewka - przykład

Korzystamy ze wzoru:

 

 

dt

t

di

L

t

u



i obliczamy napięcie
na zaciskach cewki:

 

 

dt

t

di

t

u

01

,

0



1

i(t

)

[A

]

t

[s

]

0

0,

1

0,

2

0,

3

0,

4

Idealna cewka - przykład

Pochodną prądu cewki
obliczamy dla
kolejnych przedziałów:

 





10

10

1

,

0

0









t

dt

d

dt

t

di

t

1

i(t

)

[A

]

t

[s

]

0

0,

1

0,

2

0,

3

0,

4

Idealna cewka - przykład

Pochodną prądu cewki
obliczamy dla
kolejnych przedziałów:

 

 

0

1

3

,

0

1

,

0









dt

d

dt

t

di

t

1

i(t

)

[A

]

t

[s

]

0

0,

1

0,

2

0,

3

0,

4

Idealna cewka - przykład

Pochodną prądu cewki
obliczamy dla
kolejnych przedziałów:

 





10

10

4

,

0

3

,

0













t

dt

d

dt

t

di

t

1

i(t

)

[A

]

t

[s

]

0

0,

1

0,

2

0,

3

0,

4

Idealna cewka - przykład

Pochodną prądu cewki
obliczamy dla
kolejnych przedziałów:

 

 

0

0

4

,

0







dt

d

dt

t

di

t

1

i(t

)

[A

]

t

[s

]

0

0,

1

0,

2

0,

3

0,

4

Idealna cewka - przykład

Napięcie na cewce:

 



t

u

0

1

,

0

0

1

,

0



4

,

0

4

,

0

3

,

0

3

,

0

1

,

0

1

,

0

0















t

t

t

t

dla

dla

dla

dla

Idealna cewka - przykład

0,

1

u(t

)

[V

]

t

[s

]

0

0,

1

0,

2

0,

3

0,

4

-

0,1

1

i(t

)

[A

]

t

[s

]

0

0,

1

0,

2

0,

3

0,

4

Dwójniki

Dwójnik – element o 2 końcówkach.

i(t)

u(t)

2

1

Dwójnikiem może być
pojedynczy element
lub połączenie
elementów, z którego
wyprowadzono na
zewnątrz dwie
końcówki.

Moc i energia prądu zmiennego

i(t)

u(t)

2

1

Mocą chwilową dwójnika
nazywamy iloczyn wartości
chwilowych jego napięcia i
prądu:

 

   

     

A

V

W

t

i

t

u

t

p

1

1

1





Moc i energia prądu zmiennego

i(t)

u(t)

2

1

Moc chwilowa dwójnika jest
równa pochodnej czasowej
jego energii w

 

 

dt

t

dw

t

p



Moc dwójnika może
przybierać wartości dodatnie
lub ujemne, w zależności od
tego, czy energia w wzrasta,
czy maleje.

Moc i energia prądu zmiennego

i(t)

u(t)

2

1

Energia pobrana przez
dwójnik ze źródła
zasilającego w czasie od t

0

do t.





 

   

dt

t

i

t

u

dt

t

p

t

t

w

t

t

t

t











0

0

,

0

Moc i energia opornika

idealnego

 

 

 

 

     

 

 

 





2

2

1

1

t

u

R

t

i

R

t

i

t

u

t

p

t

u

R

t

i

t

Ri

t

u











Moc opornika:

Moc i energia opornika

idealnego

Energia pobierana przez opornik w
czasie od t

0

do t:

dt

i

R

w

t

t





0

2

Ta energia przekształca się w oporniku
na ciepło.

Moc i energia kondensatora

idealnego

i(t)

u(t)

C

G

e

n

e

ra

to

r

 

 

dt

t

du

C

t

i



Energia dostarczona do
kondensatora w czasie od
t

o

do t:





 

   

 

 

 

 



















t

u

t

u

t

t

t

t

t

t

Cudu

dt

t

du

C

t

u

dt

t

i

t

u

dt

t

p

t

t

w

0

0

0

0

,

0

Moc i energia kondensatora

idealnego

Załóżmy, że t

o

jest taką chwilą, w której

napięcie na kondensatorze jest równe 0.
Energia kondensatora jest wówczas również
zerowa i:

 

 

 

 

 

t

Cu

udu

C

Cudu

t

t

w

t

u

t

u

t

u

2

0

0

2

1

,

0











Moc i energia kondensatora

idealnego

Kondensator gromadzi energię w swoim
polu elektrycznym. Energia kondensatora w
chwili t jest równa energii dostarczonej z
generatora w czasie od t

0

do t.

 

 

 

 

dt

t

du

C

t

p

t

Cu

t

w

C

2

2

2

1

2

1





Moc kondensatora, jako pochodna jego
energii:

Moc i energia cewki idealnej

u(t)

i(t)

L

G

e

n

e

ra

to

r

 

 

dt

t

di

L

t

u 

Energia dostarczona z
generatora do cewki w
czasie od t

0

do t

wynosi:





 

   

   

 

 



















t

i

t

i

t

t

t

t

t

t

idi

L

dt

t

i

dt

t

di

L

dt

t

i

t

u

dt

t

p

t

t

w

0

0

0

0

,

0

Moc i energia cewki idealnej

Załóżmy, że t

0

jest chwilą, w której nie

płynie prąd przez cewkę, czyli:

 

0

0



t

i

Wówczas strumień magnetyczny cewki jest
0 i nie istnieje pole magnetyczne cewki. W
takim stanie energia cewki jest zerowa i:

 

 

 

 

 

 

2

0

0

0

2

1

,

t

i

L

idi

L

idi

L

t

t

w

t

i

t

i

t

i











Moc i energia cewki idealnej

Cewka magazynuje energię w swoim polu
magnetycznym. Jeżeli w chwili t

0

= 0

energia cewki była zerowa, to energia
dostarczona z generatora w czasie od t

0

do t jest energią zgromadzoną w cewce
w chwili t.

 

 

t

Li

t

w

L

2

2

1



Moc cewki:

 

dt

t

di

L

p

2

2

1



Połączenie szeregowe oporników

idealnych

R

1

i(t

)

u

1

(

t)

R

2

u

2

(

t)

u(t

)

 

 

 

 

 



  

t

i

R

R

t

i

R

t

i

R

t

u

t

u

t

u

2

1

2

1

2

1















Połączenie szeregowe oporników

idealnych

 

 

2

1

R

R

t

i

t

u





2

1

R

R

R





Opornik równoważny (zastępczy):

Połączenie szeregowe oporników

idealnych

Dla n szeregowo połączonych
oporników:







n

k

k

R

R

1

Połączenie równoległe

oporników idealnych

 

 

 

t

i

t

i

t

i

2

1





R

1

i

2

(t

)

i

1

(t

)

R

2

u(t

)

i(t

)

Połączenie równoległe

oporników idealnych

Zgodnie z prawem Ohma:

 

 

1

1

R

t

u

t

i



 

 

2

2

R

t

u

t

i



 

 

 

 

 

 

t

u

R

R

R

t

u

R

t

u

t

i

t

i

t

i

























2

1

2

1

2

1

1

1

 

 

t

u

R

R

t

i

















2

1

1

1

Połączenie równoległe

oporników idealnych

















2

1

1

1

1

R

R

R







n

k

k

R

R

1

1

1

Dla n oporników połączonych
równolegle:

Połączenie szeregowe

kondensatorów idealnych

u

1

(

t) u(t

)

C

1

u

2

(

t)

C

2

i(t)

u

(t)

C

i(t)

Połączenie szeregowe

kondensatorów idealnych

u

1

(

t) u(t

)

C

1

u

2

(

t)

C

2

i(t)

Przez obydwa
kondensatory
płynie ten
sam prąd.

Stosujemy
NPK.

 

 

 

0

0

0

2

1

u

u

u





Połączenie szeregowe

kondensatorów idealnych

u

1

(

t) u(t

)

C

1

u

2

(

t)

C

2

i(t)

 

 

 

 

 

 

dt

t

i

C

u

t

u

dt

t

i

C

u

t

u

t

t













0

2

2

2

0

1

1

1

1

0

1

0

Połączenie szeregowe

kondensatorów idealnych

u

1

(

t) u(t

)

C

1

u

2

(

t)

C

2

i(t)

 

 

 

 

 

 

 

dt

t

i

C

u

dt

t

i

C

dt

t

i

C

u

u

t

u

t

t

t





















0

0

2

0

1

2

1

1

0

1

1

0

0

Połączenie szeregowe

kondensatorów idealnych

 

 

 

dt

t

i

C

u

t

u

t







0

1

0

u

(t)

C

i(t)

gdzie:

2

1

1

1

1

C

C

C











n

k

k

C

C

1

1

1

Pojemność zastępcza n
kondensatorów
połączonych
szeregowo:

Połączenie równoległe

kondensatorów idealnych

C

2

i

2

(t)

u(t
)

C

1

i(t)

i

1

(t)

u(t
)

C

i(t)

Napięcia na kondensatorach są w każdej
chwili jednakowe.

Stosujemy PPK.

Połączenie równoległe

kondensatorów idealnych

C

2

i

2

(t

)

u(t
)

C

1

i(t)

i

1

(t

)

 

 

 

 

dt

t

du

C

t

i

dt

t

du

C

t

i

2

2

1

1





 

 

 

 

 



  

dt

t

du

C

C

dt

t

du

C

dt

t

du

C

t

i

t

i

t

i

2

1

2

1

2

1















Połączenie równoległe

kondensatorów idealnych

 

 













n

k

k

C

C

C

C

C

dt

t

du

C

t

i

1

2

1

u(t
)

C

i(t)

Pojemność zastępcza układu n
kondensatorów połączonych
równolegle:

Połączenie szeregowe cewek

idealnych

L

1

i(t

)

u

1

(t

)

u(t

)

L

2

u

2

(t

)

L

u

(t)

Prąd płynący przez obydwie cewki jest w
każdej chwili jednakowy, czyli:

 

 

 

0

0

0

2

1

i

i

i





Połączenie szeregowe cewek

idealnych

L

1

i(t

)

u

1

(

t)

u(t

)

L

2

u

2

(

t)

Stosujemy
NPK

 

 

 

t

u

t

u

t

u

2

1





 

 

 

 

dt

t

di

L

t

u

dt

t

di

L

t

u

2

2

2

1

1

1





Połączenie szeregowe cewek

idealnych

L

1

i(t

)

u

1

(

t)

u(t

)

L

2

u

2

(

t)

 

 

 

 

dt

t

di

L

dt

t

di

L

dt

t

di

L

t

u







2

1

Połączenie szeregowe cewek

idealnych

 

 

2

1

L

L

L

dt

t

di

L

t

u







L

u

(t)

Dla n cewek,
przy:

 

 

 

0

0

0

1

n

i

i

i



















n

k

k

L

L

1

Połączenie równoległe cewek

idealnych

L

u

(t)

i

(t)

u

(t)

L

1

i

1

(t

)

L

2

i

2

(t

)

i

(t)

Prądy
początkowe
cewek:

 

 

 

0

0

0

2

1

i

i

i





Połączenie równoległe cewek

idealnych

u

(t)

L

1

i

1

(t

)

L

2

i

2

(t

)

i

(t)

Napięcia na obydwu
cewkach są jednakowe i
równe u(t)

 

 

 

 

 

 

dt

t

u

L

i

t

i

dt

t

u

L

i

t

i

t

t













0

2

2

2

0

1

1

1

1

0

1

0

Połączenie równoległe cewek

idealnych

u

(t)

L

1

i

1

(t

)

L

2

i

2

(t

)

i

(t)

Zgodnie z PPK:

 

 

 

t

i

t

i

t

i

2

1





 

 

 

 

 

 

dt

t

u

L

i

dt

t

u

L

L

i

i

t

i

t

t































0

0

2

1

2

1

1

0

1

1

0

0

Połączenie równoległe cewek

idealnych

L

u

(t)

i

(t)

2

1

2

1

2

1

1

1

1

L

L

L

L

L

L

L

L









Dla n cewek połączonych
równolegle:

 

 

 

 

0

0

0

0

2

1

n

i

i

i

i





















n

k

k

L

L

1

1

1