Ruch postępowy i obrotowy

Ruch postępowy i obrotowy



Kinematyka punktu materialnego i bryły sztywnej

Kinematyka punktu materialnego i bryły sztywnej

•

Ruch jednowymiarowy

Ruch jednowymiarowy

•

Ruch w dwóch wymiarach

Ruch w dwóch wymiarach

•

Kinematyka bryły sztywnej

Kinematyka bryły sztywnej



Dynamika ruchu postępowego i obrotowego

Dynamika ruchu postępowego i obrotowego

•

Dynamika ruchu postępowego

Dynamika ruchu postępowego

•

Dynamika ruchu obrotowego

Dynamika ruchu obrotowego

•

Układy inercjalne i nieinercjalne

Układy inercjalne i nieinercjalne

Wykład

Wykład

2

2

Kinematyka

Kinematyka



Ruch jednowymiarowy

Ruch jednowymiarowy

•

Prędkość

Prędkość

•

Przyspieszenie

Przyspieszenie

•

Ruch jednostajnie przyspieszony

Ruch jednostajnie przyspieszony



Ruch w dwóch wymiarach

Ruch w dwóch wymiarach

•

Ruch krzywoliniowy

Ruch krzywoliniowy

•

Ruch po okręgu

Ruch po okręgu



Kinematyka bryły sztywnej

Kinematyka bryły sztywnej

Wykład

Wykład

2

2

Ruch jednowymiarowy

Ruch jednowymiarowy

prędkość

prędkość

czyli zmiana odległości w jednostce

czyli zmiana odległości w jednostce

czasu

czasu

s vt

=

Wykład

Wykład

2

2

s

0

s

s

t

s

0

t

0

Jeżeli samochód

porusza się ze stałą prędkością

v,

to odległość

jaką przebywa w czasie

t

jest:

Ruch jednowymiarowy

Ruch jednowymiarowy

prędkość średnia

prędkość średnia

Wykład

Wykład

2

2

Prędkość średnia charakteryzuje ruch zmienny w sposób przybliżony.

Wyraża ona prędkość, jaką posiadałoby dane ciało gdyby

przebywało drogę s w czasie t ruchem jednostajnym.

s

1

s

2

A

B

t

1

t

2

0

Prędkość średnia na odcinku s

2

– s

1

nie

określa prędkości, z jaką badane ciało

mija dowolny punkt tego odcinka.

_

2

1

2

1

s

s

s

v

t

t

t

-

D

=

=

-

D

Ruch jednowymiarowy

Ruch jednowymiarowy

prędkość chwilowa

prędkość chwilowa

_

2

1

2

1

s

s

v

t

t

-

=

-

Wykład

Wykład

2

2

0

t C

s

'

'

2

1

'

'

2

1

s

s

t

t

-
-

s’

1

t’

1

A

s’

2

t’

2

B

s

1

t

1

A

s

2

t

2

B

'

"

1

1

'

"

2

2

t t

t

t

t

t

< < <

> > >

K

K

'

"

1

1

'

"

2

2

s s

s

s

s

s

< < <

> > >

K

K

_

2

1

0

0

0

2

1

lim

lim

lim

t

t

t

s

s

s ds

v

v

t

t

t dt

D �

D �

D �

-

D

=

=

=

=

-

D

s”

2

t”

2

B

s”

1

t”

1

A

"

"

2

1

"

"

2

1

,

s

s

t

t

-
-

K

Ruch jednowymiarowy

Ruch jednowymiarowy

przyspieszenie

przyspieszenie

czyli tempo zmiany

czyli tempo zmiany

prędkości

prędkości

v at

=

Wykład

Wykład

2

2

v

t

v

0

t

0

Samochód

porusza się ze stałym przyspieszeniem

a

,

gdy jego

prędkość

v

zmienia się jednostajnie z czasem

t

Ruch jednowymiarowy

Ruch jednowymiarowy

przyspieszenie średnie

przyspieszenie średnie

Wykład

Wykład

2

2

Przyspieszenie średnie charakteryzuje zmiany prędkości w sposób

przybliżony.

Wyraża ono przyspieszenie, z jakim poruszałoby się dane ciało

gdyby jego prędkość zmieniała się jednostajnie w czasie.

Przyspieszenie średnie od prędkości v

1

do prędkości v

2

nie określa

przyspieszenia, z jakim badane ciało porusza cię w dowolnej chwili

czasu.

_

2

1

2

1

v

v

v

a

t

t

t

-

D

=

=

-

D

Ruch jednowymiarowy

Ruch jednowymiarowy

przyspieszanie chwilowe

przyspieszanie chwilowe

_

2

1

2

1

v

v

a

t

t

-

=

-

Wykład

Wykład

2

2

'

"

1

1

'

"

2

2

t t

t

t

t

t

< < <

> > >

K

K

'

"

1

1

'

"

2

2

v v

v

v

v

v

< < <

> > >

K

K

_

2

1

0

0

0

2

1

lim

lim

lim

t

t

t

v

v

v dv

a

a

t

t

t

dt

D �

D �

D �

-

D

=

=

=

=

-

D

'

"

1

1

a

a

a

< < <

K

2

2

dv d s

a

dt

dt

=

=

Ruch jednowymiarowy

Ruch jednowymiarowy

ruch jednostajnie

ruch jednostajnie

przyspieszony

przyspieszony

_

0

s s

v

t

-

=

_

0

2

v

v

v

+

=

Wykład

Wykład

2

2

v

t

v

0

t

v

v

_

0

s s

vt

= +

0

0

2

v

v

s s

t

+

= +

_

0

v v

a

a

t

-

=

=

0

0

0

2

v

v

at

s s

t

+ +

= +

2

0

0

2

at

s s

v t

= +

+

0

v v

at

= +

_

0

s s

vt

= +

Ruch jednowymiarowy

Ruch jednowymiarowy

ruch jednostajnie

ruch jednostajnie

przyspieszony

przyspieszony

0

ds

v v

at

dt

= = +

Wykład

Wykład

2

2

2

0

0

2

at

s s

v t

= +

+

v

t

v

0

t

s

s

0

a

t

a

2

2

d s dv

a

dt

dt

=

=

Ruch jednowymiarowy

Ruch jednowymiarowy

swobodny spadek

swobodny spadek

jako przykład ruchu jednostajnie

jako przykład ruchu jednostajnie

przyspieszonego

przyspieszonego

Wykład

Wykład

2

2

2

0

0

2

at

s s

v t

= +

+

0

0

0
0

s

v

=

=

2

9.81

m

a g

s

� �

= @

� �

� �

2

2

gt

s =

2

1

1

2

2

g

g

s =

=

Droga przebyta przez 1 sekundę

2

2

4

1

3

2

2

2

2

g

g

g

g

s=

=

=

+

Droga przebyta przez 2 sekundy

2

3

9

1

3

5

2

2

2

2

2

g

g

g

g

g

s =

=

=

+

+

Droga przebyta przez 3 sekundy

2

4

16

1

3

5

7

2

2

2

2

2

2

g

g

g

g

g

g

s=

=

=

+

+

+

Droga przebyta przez 4 sekundy

Ruch w dwóch wymiarach

Ruch w dwóch wymiarach

ruch krzywoliniowy

ruch krzywoliniowy

( )

r f t

=

r

Wykład

Wykład

2

2

Do opisu toru ruchu krzywoliniowego

może służyć wektor promienia

wodzącego, którego początek leży stale

w początku układu współrzędnych, a

koniec stale zmienia swoje położenie

przesuwając się wzdłuż.

y

x

r

$

r xi y j

= +

r

$

$

$

r xi y j zk

= +

+

r

$

Ruch w dwóch wymiarach

Ruch w dwóch wymiarach

prędkość w ruchu krzywoliniowym

prędkość w ruchu krzywoliniowym

r

s

D � D

r

Wykład

Wykład

2

2

y

x

r

1

r

2

r

s

_

v

0

t

D �

gdy

r

v

t

D

=

D

r

r

wektor prędkości średniej

2

1

_

r r

v

t

-

�

=

�

D

3

1

_

r r

v

t

-

�

�

=

�

�

D

A

v

dt

dr

=

y

x

r

1

r

2

r

3

A

0

lim

t

r dr

v

t

dt

D �

D

=

=

D

r

r

r

wektor prędkości chwilowej

0

0

lim

lim

t

t

r

s ds

v

t

t dt

D �

D �

D

D

=

=

=

D

D

wartość liczbowa
wektor prędkości
chwilowej

Ruch w dwóch wymiarach

Ruch w dwóch wymiarach

prędkość w ruchu krzywoliniowym

prędkość w ruchu krzywoliniowym

Wykład

Wykład

2

2

Kierunek wektora prędkości

chwilowej jest styczny do

toru w danym punkcie

A

B

C

v

1

v

2

v

3

Wektor prędkości można

przedstawić za pomocą

składowych

skierowanych wzdłuż osi

współrzędnych

$

dr

dx

dy

v

i

j

dt

dt

dt

=

=

+

r

r

$

$

x

y

v v i v j

=

+

r

$

$

$

dr

dx

dy

dz

v

i

j

k

dt

dt

dt

dt

=

=

+

+

r

r

$

$

$

x

y

z

v v i v j v k

=

+

+

r

$

W ruchu krzywoliniowym jednostajnym długości wektorów prędkości w
różnych punktach toru są jednakowe, kierunki ich jednak ciągle się
zmieniają

Ruch w dwóch wymiarach

Ruch w dwóch wymiarach

przyspieszenie w ruchu

przyspieszenie w ruchu

krzywoliniowym

krzywoliniowym

0

dv

t

a

dt

D �

=

r

r

Wykład

Wykład

2

2

W ruchu krzywoliniowym jednostajnym wektor prędkości nie jest stały.

A

B

v

1

v

2

v

2

1

v v

v

D = -

r uur ur

_

a

v

a

t

D

=

D

r

r

Przejściu do granicy towarzyszy

zmiana kierunku przyspieszenia

średniego na kierunek

przyspieszenia chwilowego.

Wektor przyspieszenia chwilowego różni się od wektora przyspieszenia

średniego zarówno wartością jak i kierunkiem.

Ruch w dwóch wymiarach

Ruch w dwóch wymiarach

przyspieszenie w ruchu

przyspieszenie w ruchu

krzywoliniowym

krzywoliniowym

Wykład

Wykład

2

2

$

$

2

2

2

2

y

x

dv

dv

d x

d y

a i

j

i

j

dt

dt

dt

dt

=

+

=

+

r $

$

Wektor przyspieszenia można przedstawić za pomocą składowych

skierowanych wzdłuż osi współrzędnych.

$

$

$

$

2

2

2

2

2

2

y

x

z

dv

dv

dv

d x

d y

d z

a i

j

k

i

j

k

dt

dt

dt

dt

dt

dt

=

+

+

=

+

+

r $

$

$

x

y

a a i a j

=

+

r

$

$

$

x

y

z

a a i a j a k

=

+

+

r

$

Ruch w dwóch wymiarach

Ruch w dwóch wymiarach

analiza ruchu krzywoliniowego

analiza ruchu krzywoliniowego

czyli jak rozwiązywać zadania z kinematyki

czyli jak rozwiązywać zadania z kinematyki

Wykład

Wykład

2

2



Wykonać rysunek

Wykonać rysunek

czyli umieścić badane zdarzenie w

czyli umieścić badane zdarzenie w

układzie współrzędnych

układzie współrzędnych



Zapisać równania ruchu

Zapisać równania ruchu

czyli przedstawić równaniami

czyli przedstawić równaniami

jak zmienia się w czasie droga przebyta przez badane ciało

jak zmienia się w czasie droga przebyta przez badane ciało



Zapisać równanie toru

Zapisać równanie toru

czyli przedstawić równanie

czyli przedstawić równanie

krzywej po której porusza się badane ciało

krzywej po której porusza się badane ciało



Podać prędkość badanego ciała

Podać prędkość badanego ciała



Podać przyspieszenie badanego ciała

Podać przyspieszenie badanego ciała

Ruch w dwóch wymiarach

Ruch w dwóch wymiarach

analiza ruchu krzywoliniowego

analiza ruchu krzywoliniowego

czyli jak rozwiązywać zadania z kinematyki

czyli jak rozwiązywać zadania z kinematyki

Wykład

Wykład

2

2

ZADANIE:

Kula została wystrzelona z prędkością v

0

z pewnej

wysokości w kierunku poziomym. Wyznaczyć
równanie toru, podać prędkość i przyspieszenie.

y

x

v

0

x v t

=

v

0

v

x

v

y

2

2

gt

y

-

=

2

0

0

2

at

s s

v t

= +

+

0

x

dx

v

v

dt

=

=

y

dy

v

gt

dt

=

=-

2

2

2

2 2

0

x

y

v

v

v

v

g t

=

+ =

+

0

x

x

dv

a

dt

=

=

y

y

dv

a

g

dt

=

=-

0

x

t

v

=

2

2

0

2

g

y

x

v

=-

parabola

g

Ruch w dwóch wymiarach

Ruch w dwóch wymiarach

rzut poziomy – rzut pionowy

rzut poziomy – rzut pionowy

Wykład

Wykład

2

2

W rzucie ukośnym ruchy

cząstki w kierunku

poziomym i w kierunku

pionowym można

traktować jako niezależne

– żaden z nich nie ma

wpływu na drugi.

Rozpatrzmy dwie piłki

wyrzucone w tej samej

chwili – jedna

upuszczono pionowo w

dół, drugą wystrzelono

poziomo.

Rzut do góry

Ruch w dwóch wymiarach

Ruch w dwóch wymiarach

przykład – rzut pionowy

przykład – rzut pionowy

2

2

gt

h 

Wykład

Wykład

2

2

Swobodny spadek

g

h

t

2



h

h

max

gt

v

k



wzn

k

gt

v

v







0

0

g

v

t

wzn

0



2

2

0

gt

t

v

h





g

v

h

2

2

0

max



Czas wznoszenia się ciała na

maksymalna wysokość i czas

swobodnego spadku z takiej

wysokości są jednakowe.

x

y

Ruch w dwóch wymiarach

Ruch w dwóch wymiarach

przykład – rzut ukośny

przykład – rzut ukośny

Wykład

Wykład

2

2

V

o

V

0x

V

0y







sin

cos

0

0

0

0

v

v

v

v

y

x





d









2

sin

0

cos

2

0

0

gt

t

v

y

t

v

x

d



















cos

sin

2

2

0

g

v

d 







2

sin

cos

sin

2





2

sin

2

0

g

v

d 

Z równania tego nie otrzymamy odległości

przebytej przez ciało w poziomie, jeżeli

położenie końcowe ciała nie znajduje się na tej

samej wysokości co punkt jego wystrzelenia.

Ruch w dwóch wymiarach

Ruch w dwóch wymiarach

ruch po okręgu

ruch po okręgu

Wykład

Wykład

2

2

x

y



y

x

r

A(x,y)

( )

cos

x r

t

j

=

( )

sin

y r

t

j

=

doga kątowa promienia wodzącego czyli kąt 

zakreślany przez promień wodzący w czasie t

sin

x

dx

d

v

r

dt

dt

j

j

=

=-

cos

y

dy

d

v

r

dt

dt

j

j

=

=

$

x

y

v v i v j

=

+

r

$

v

r

(

)

2

2

2

2

2

2

sin

cos

x

y

d

v

v

v

r

dt

j

j

j

� �

=

+ =

+

� �

� �

d

v r

dt

j

=

prędkość kątowa 

v rw

=

Prędkość kątową umówiono się traktować jako wektor

prostopadły do płaszczyzny toru kołowego, wyprowadzony

z jego środka. Kierunek tego wektora określa reguła

korkociągu. Jeżeli rączkę korkociągu ustawionego

prostopadle do płaszczyzny toru kołowego obracać

zgodnie z kierunkiem ruchu punktu po okręgu, to kierunek

przesuwania się korkociągu określi kierunek wektora

prędkości kątowej.

v r w

= �

r r ur

Ruch w dwóch wymiarach

Ruch w dwóch wymiarach

ruch jednostajny po okręgu

ruch jednostajny po okręgu

t

j

w

=

Wykład

Wykład

2

2

W ruchu jednostajnym po okręgu prędkość kątowa  ma wartość

stałą, a zatem droga kątowa  rośnie proporcjonalnie do czasu

cos

x r

t

w

=

sin

y r

t

w

=

sin

x

v

r

t

w

w

=-

cos

y

v

r

t

w

w

=

2

cos

x

a

r

t

w

w

=-

2

sin

y

a

r

t

w

w

=-

2

a

r

w

=-

r

r

2

x

y

r

v

v

v

r

T

p

w

=

+ =

=

2

x

y

a

a

a

r

w

=

+

=

przyspieszenie dośrodkowe

Ruch w dwóch wymiarach

Ruch w dwóch wymiarach

ruch jednostajny po okręgu

ruch jednostajny po okręgu

Wykład

Wykład

2

2

W ruchu jednostajnym po okręgu, mimo istnienia przyspieszenia

dośrodkowego, wartość liczbowa prędkości liniowej nie ulega zmianie

v

r

w

=

2

a

r

w

=

v

r

w =

2

v

a

r

=

2

2

0

d

d

dt

dt

w

j

a =

=

=

przyspieszenie kątowe

Ruch w dwóch wymiarach

Ruch w dwóch wymiarach

ruch niejednostajny po okręgu

ruch niejednostajny po okręgu

Wykład

Wykład

2

2

W ruchu niejednostajnym po okręgu prędkość kątowa  nie ma stałej

wartości czyli tym razem przyspieszenie kątowe  nie równa się zeru.

2

2

0

d

d

dt

dt

w

j

a =

=

�

Według umowy przyspieszenie kątowe jest traktowane jako wektor

prostopadły do płaszczyzny toru kołowego wyprowadzony z jego

środka. Kierunek wektora  jest zawsze zgodny z kierunkiem . Zwroty

obu wektorów są zgodne w ruchu przyspieszonym, a przeciwne w

ruchu opóźnionym.

z

x

y

v



Ruch w dwóch wymiarach

Ruch w dwóch wymiarach

ruch niejednostajny po okręgu

ruch niejednostajny po okręgu

Wykład

Wykład

2

2

Przyspieszenie liniowe w ruchu niejednostajnym po okręgu

(

)

dv

d

d

dr

a

r

r

dt

dt

dt

dt

w

w

w

=

=

� =

� + �

r

r

uv

r

r

uv v

uv

v

r

w

= �

r

r

uv

r

a �

r

uv

r



a

t

v

w�

uv v

a

n

z

x

y

r

v



t

a

r

a

= �

r

ur r

wektor przyspieszenia
stycznego o wartości:

t

a

r

a

=

n

a

v

w

= �

r

ur r

wektor przyspieszenia
normalnego (dośrodkowego)
o wartości:

2

n

a

r

w

=-

v

A”

B”

III

A’

B’

II

I

A

B

Kinematyka bryły sztywnej

Kinematyka bryły sztywnej

ruch postępowy

ruch postępowy

Wykład

Wykład

2

2

Przez bryłę sztywną rozumiemy ciało, które pod działaniem dowolnie

wielkich sił nie ulega ani odkształceniu postaci ani odkształceniu objętości.

Ruch postępowy bryły sztywnej

jest to taki ruch, przy którym

dowolny odcinek łączący dwa

punkty bryły zachowuje stałe

położenie do siebie równoległe.

Wszystkie punkty bryły sztywnej, odbywającej ruch postępowy, zakreślają

drogi równe oraz mają jednakowe prędkości i przyspieszenia.

Badanie ruchu postępowego bryły sztywnej sprowadza się do do badania

ruchu jakiegokolwiek dowolnie wybranego punktu bryły.

t

2

Kinematyka bryły sztywnej

Kinematyka bryły sztywnej

ruch obrotowy

ruch obrotowy

Wykład

Wykład

2

2

Jeżeli bryła sztywna wprawiona jest w ruch

obrotowy, można w niej wyodrębnić szereg

punktów nie poruszających się. Zbiór tych

punktów leżących na jednej prostej stanowi

oś obrotu. Oś obrotu jest stała, jeżeli z

biegiem czasu nie zmienia swego położenia

ani w ciele ani w przestrzeni.

t=0

Aby określić położenie wirującej bryły wystarczy znać położenie jednego punktu

materialnego bryły w danym układzie współrzędnych. Zadanie kinematyczne

sprowadza się do rozważenia ruchu punktu materialnego po okręgu w przestrzeni

dwuwymiarowej.

Pozostałe punkty bryły sztywnej zataczają tory kołowe w płaszczyznach

prostopadłych do osi. Promienie tych kół równe są odległościom rozpatrywanych

punktów od osi obrotu.

t

1

Kinematyka

Kinematyka

podsumowanie

podsumowanie

Wielkość

Wielkość

fizyczna

fizyczna

Ruch postępowy

Ruch postępowy

(stały kierunek ruchu)

(stały kierunek ruchu)

Ruch po okręgu

Ruch po okręgu

Wielkości kątowe

Wielkości kątowe

Wielkości liniowe

Wielkości liniowe

Droga

Droga

Prędkość

Prędkość

Przyspieszenie

Przyspieszenie

Wycinek okręgu

Wycinek okręgu

2

0

0

2

at

x x

v t

= +

+

Wykład

Wykład

2

2

0

v v

at

= +

2

n

t

a a

a

r

r

w

a

= +

=-

+

2

0

0

2

t

t

a

j

j

w

= +

+

0

t

w w a

= +

a

v

r

w

=

a

Dynamika

Dynamika



Dynamika ruchu postępowego

Dynamika ruchu postępowego

•

Pierwsza zasada dynamiki

Pierwsza zasada dynamiki

•

Druga zasada dynamiki

Druga zasada dynamiki

•

Trzecia zasada dynamiki

Trzecia zasada dynamiki

•

Równia pochyła

Równia pochyła

•

Układ punktów materialnych

Układ punktów materialnych



Dynamika ruchu obrotowego

Dynamika ruchu obrotowego

•

Ruch po okręgu

Ruch po okręgu

•

Ruch obrotowy bryły sztywnej

Ruch obrotowy bryły sztywnej



Układy inercjalne i nieinercjalne

Układy inercjalne i nieinercjalne

Wykład

Wykład

2

2

Dynamika

Dynamika

definicje

definicje

m Vr

=

P mg

=

Wykład

Wykład

2

2

Masa

Ciężar

[kg]

[N]

objętość

gęstość

przyspieszenie

Dynamika

Dynamika

definicje

definicje

m Vr

=

P mg

=

Wykład

Wykład

2

2

Masa

Ciężar

[kg]

[N]

objętość

gęstość

przyspieszenie

Pomiar masy

m

0

m

v

0

v

0

0

v

m m

v

�

Dynamika

Dynamika

definicje

definicje

dp

F

dt

�

p mv

�

Wykład

Wykład

2

2

Siła

Pęd

[kg m/s]

[kg m/s

2

= N]

prędkość

Dynamika

Dynamika

definicje

definicje

dp

F

dt

�

p mv

�

Wykład

Wykład

2

2

Siła

Pęd

[kg m/s]

[kg m/s

2

= N]

prędkość

Pomiar siły

m

0

1

m = 1kg

a = 1m/s

2

F = 1N

F

Dynamika ruchu postępowego

Dynamika ruchu postępowego

trzy zasady dynamiki

trzy zasady dynamiki

Wykład

Wykład

2

2

Z kolekcji pana dr Jerzego Rutkowskiego

Dynamika ruchu postępowego

Dynamika ruchu postępowego

pierwsza zasada dynamiki

pierwsza zasada dynamiki

czyli zasada

czyli zasada

bezwładności

bezwładności

0

0

wyp

F

a

=

=

uuuur

r

Wykład

Wykład

2

2

Słuszność pierwszej części tej zasady nie może być na
Ziemi doświadczalnie sprawdzona. Nie można stworzyć
warunków aby ciało było wolne od działanie sił.

Bezwładność jest właściwością ciała
decydującą o tym, że ciało bez działania sił
nie może zmienić ani wartości ani kierunku
swej prędkości.

Ciało nie poddane działaniu żadnej siły albo poddane działaniu sił

równoważących się pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem

jednostajnym prostoliniowym.

Dynamika ruchu postępowego

Dynamika ruchu postępowego

pierwsza zasada dynamiki - układy

pierwsza zasada dynamiki - układy

inercjalne

inercjalne

Wykład

Wykład

2

2

Inercja = Bezwładność

Definicja

Układy inercjalne to takie układy odniesienia, które albo

spoczywają, albo poruszają się ze stałą prędkością względem

średnich pozycji gwiazd stałych.

Jest to zbiór układów określonych przez pierwszą zasadę dynamiki

Newtona, mianowicie jest to taki zbiór układów, w którym ciało nie

ma przyspieszenia jeśli w otoczeniu tego ciała nie ma innych ciał

mogących wywierać na nie jakieś siły.

Każdy układ poruszający się ruchem prostoliniowym jednostajnym

względem układu inercjalnego jest również układem inercjalnym.

Dynamika ruchu postępowego

Dynamika ruchu postępowego

druga zasada dynamiki

druga zasada dynamiki

czyli co się dzieje gdy na ciało

czyli co się dzieje gdy na ciało

działają siły

działają siły

wyp

wyp

dp

F

dt

F

ma

=

=

ur

uuuur

uuuur

r

Wykład

Wykład

2

2

Tempo zmiany pędu ciała jest równe sile wypadkowej działającej

na to ciało. Siła jest proporcjonalna do przyspieszenia jakie

wywołuje działając na ciało o masie m.

Dynamika ruchu postępowego

Dynamika ruchu postępowego

trzecia zasada dynamiki

trzecia zasada dynamiki

czyli zasada

czyli zasada

akcji i

akcji i

reakcji

reakcji

AB

BA

F

F

=-

uuur

uuur

Wykład

Wykład

2

2

Jeśli ciało A działa na ciało B z siłą F

AB

, to ciało B działa na ciało A

siłą F

BA

, równą co do wartości, lecz przeciwnie skierowaną.

P

F

s

F

n

-F

n

Sytuacja bez tarcia

P

-P

-P

P

Dynamika ruchu postępowego

Dynamika ruchu postępowego

równia pochyła – wprowadzenie siły

równia pochyła – wprowadzenie siły

tarcia

tarcia

ts

s n

F

F

m

=

Wykład

Wykład

2

2

P

F

s

F

n

-F

n

tk

k n

F

F

m

=

F

t

krytyczna wartość siły tarcia

współczynnik tarcia statycznego

F

s

F

t

F

s

> F

t

wartość siły tarcia podczas ruchu

współczynnik tarcia kinetycznego

k

s

m

m

<

Dynamika ruchu postępowego

Dynamika ruchu postępowego

układ punktów materialnych – środek

układ punktów materialnych – środek

masy

masy

Wykład

Wykład

2

2

1

1

1

1

1

1

n

n

n

i i

i i

i i

i

i

i

n

n

n

i

i

i

i

i

i

mx

my

mz

x

y

z

m

m

m

=

=

=

=

=

=

=

=

=

�

�

�

�

�

�

Środek masy układu n punktów materialnych o masach m

1

, m

2

,…, m

m

jest punktem, którego współrzędne, w danym układzie współrzędnych
wyrażają się wzorami:

1 1

2 2

1

2

0

0

m x m x

x

y

z

m m

+

=

=

=

+

dwa punkty materialne

m

1

m

2

(x

2

, 0, 0)

(x

1

, 0, 0)

x

m

1

m

2

(a, 0, 0)

trzy punkty materialne

x

(

)

(

)

3

2

3

1

2

3

1

2

3

3/2

/2

0

m a

m a m a

x

y

z

m m m

m m m

+

=

=

=

+

+

+

+

(0, 0, 0)

( /2,

3/2,0)

a

a

Dynamika ruchu postępowego

Dynamika ruchu postępowego

układ punktów materialnych – środek

układ punktów materialnych – środek

masy

masy

Wykład

Wykład

2

2

Jakie są korzyści wynikające z wprowadzenia środka masy?

m

0

0

1 1

2 2

3 3

m y my m y

m y

=

+

+

+L

3

1

2

0

1

2

3

0

1 1

2 2

3 3

dy

dy

dy

dy

m

m

m

m

dt

dt

dt

dt

mv mv mv

mv

=

+

+

+

=

+

+

+

L

L

3

1

2

0

1

2

3

0

1 1

2 2

3 3

dv

dv

dv

dv

m

m

m

m

dt

dt

dt

dt

ma ma ma

ma

=

+

+

+

=

+

+

+

L

L

0

1

2

3

ma F F

F

F

= + + + =

�

L

v

a

F

Dynamika ruchu postępowego

Dynamika ruchu postępowego

układ punktów materialnych – środek

układ punktów materialnych – środek

masy

masy

Wykład

Wykład

2

2

Środek masy ciała ma tę własność, że iloczyn całkowitej masy
i przyspieszenia środka masy równa się sumie geometrycznej
wszystkich sił działających na poszczególne punkty układu.

Jakie są korzyści wynikające z wprowadzenia środka masy?

m

0

2

3

0

1

m a F F

F

F

= +

+

+ =

�

r uur ur

ur

ur

L

z

w

F

F

F

=

+

� �

ur

uur

uur

= 0

ze względu na trzecią zasadę dynamiki

z

ma

F

=

�

r

uur

czyli, środek masy porusza się tak, jakby w
nim była skupiona całkowita masa poddana
działaniu wypadkowej wszystkich sił
zewnętrznych

Dynamika ruchu postępowego

Dynamika ruchu postępowego

zasada zachowania pędu

zasada zachowania pędu

0

1 1

2 2

3 3

mv mv mv

mv

=

+

+

+L

0

1

2

3

w

p

p

p

p

p

= + + + =

uur uur uur uur

uur

L

Wykład

Wykład

2

2

pęd środka masy układu równa się pędowi
wypadkowemu czyli sumie geometrycznej
pędów poszczególnych jego punktów

pęd

0

w

F =

�

uur

ze względu na trzecią zasadę dynamiki

0

w

z

dp

dp

F

dt

dt

=

=

�

uur

uur

uur

Wypadkowa wszystkich sił zewnętrznych działających na układ punktów
materialnych równa się pochodnej względem czasu pędu środka masy lub
pochodnej względem czasu wypadkowego pędu układu.

Dynamika ruchu postępowego

Dynamika ruchu postępowego

zasada zachowania pędu

zasada zachowania pędu

Wykład

Wykład

2

2

0

w

w

dp

dt

p

const

=

=

uur

uur

0

z

F =

�

uur

Sformułowanie zasady zachowania pędy

Gdy wypadkowa wszystkich sił zewnętrznych działających na układ równa

się zero, to wektor wypadkowy pędu całego układu pozostaje stały.

Zmiana pędu układu może być wywołana jedynie działaniem takich sił

zewnętrznych, które się nawzajem nie równoważą.

Żadne siły wewnętrzne nie są w stanie zmienić wypadkowego pędy

układu.

Dynamika ruchu postępowego

Dynamika ruchu postępowego

układy nieinercjalne

układy nieinercjalne

Wykład

Wykład

2

2

Definicja

Układy nieinercjalne to takie układy odniesienia, które poruszają

się ze zmienną prędkością względem średnich pozycji gwiazd

stałych.

W układach nieinercjalnych można stosować mechanikę klasyczną

pod warunkiem, że wprowadzimy tzw. siły nienewtonowskie. Są to

siły pozorne, nazywane siłami bezwładności.

Jeżeli rozpatrujemy ruch ciała w układzie inercjalnym, to siły

bezwładności znikają. Wprowadzenie tych sił pozwala po prostu na

stosowanie mechaniki klasycznej do opisu zdarzeń z punktu

widzenia obserwatora poruszającego się

z pewnym

przyspieszeniem.

Układy inercjalne i

Układy inercjalne i

nieinercjalne

nieinercjalne

ruch postępowy - porównanie

ruch postępowy - porównanie

Wykład

Wykład

2

2

a

F

P

n

P P F

= +

a

F

P

n

P P F

= -

+

F

jest siłą oporu

bezwładnego odczuwaną
przez obserwatora w
windzie a nie widoczną dla
obserwatora z układu
inercjalnego

F

ma

=-

ur

r

(

)

n

P

m g a

=

+

(

)

n

P

m g a

=

-

Wykład

Wykład

2

2

a

N

P

F P N

= -

a

F P N

= -

+

N

P

ma mg N

-

=

-

(

)

N m g a

=

+

ma mg N

=

-

(

)

N m g a

=

-

Układy inercjalne i nieinercjalne

Układy inercjalne i nieinercjalne

ruch postępowy - porównanie

ruch postępowy - porównanie

Dynamika ruchu postępowego

Dynamika ruchu postępowego

układy nieinercjalne

układy nieinercjalne

Wykład

Wykład

2

2

Układ poruszający się ruchem zmiennym względem układu

inercjalne nie jest układem inercjalnym.

Rozpatrując ruch ciała z punktu widzenia obserwatora z układu

nieinercjalnego musimy do siły działającej na ciało w układzie

inercjalnym dodać siłę równą liczbowo iloczynowi masy przez

przyspieszenie układu lecz skierowanej przeciwnie względem tego

przyspieszenia.

Ciało spoczywa w układzie nieinercjalnym, gdy suma wszystkich

sił, łącznie z siłą bezwładności, równa się zeru. Jest to treść zasady

d’Alemberta

Dynamika ruchu obrotowego

Dynamika ruchu obrotowego

ruch po okręgu

ruch po okręgu

Wykład

Wykład

2

2

Jakie siły występują podczas ruchu po okręgu?

Dynamika ruchu obrotowego

Dynamika ruchu obrotowego

ruch po okręgu

ruch po okręgu

F ma

=

2

a

r

w

=

Wykład

Wykład

2

2

Jakie siły występują podczas ruchu po okręgu?

I. Siła dośrodkowa

nawet ruchu jednostajny po okręgu wymaga istnienia siły

2

F m r

w

=

F

Dynamika ruchu obrotowego

Dynamika ruchu obrotowego

ruch po okręgu

ruch po okręgu

do

od

F

F

=-

uuur

uuur

Wykład

Wykład

2

2

Jakie siły występują podczas ruchu po okręgu?

II. Siła odśrodkowa reakcji

działaniu siły dośrodkowej na ciało krążące po okręgu musi
towarzyszyć działanie siły odśrodkowej na tzw. więzy

siła dośrodkowa nie równoważy
się z siłą odśrodkową, gdyż obie
działają na różne ciała

F

do

F

od

Układy inercjalne i

Układy inercjalne i

nieinercjalne

nieinercjalne

ruch po okręgu - porównanie

ruch po okręgu - porównanie

Wykład

Wykład

2

2

Kula porusza się po
okręgu

Kula nie porusza się

Kula porusza się po
stycznej do okręgu
z prędkością jaką
miała w momencie
zerwania więzów

Kula oddala się wzdłuż
przedłużeń promieni

Dynamika ruchu obrotowego

Dynamika ruchu obrotowego

ruch po okręgu

ruch po okręgu

2

odb

F

m r

w

=

Wykład

Wykład

2

2

Jakie siły występują podczas ruchu po okręgu?

III. Siła odśrodkowa bezwładności

czyli jak wygląda ruch po okręgu z punktu widzenia obserwatora ruchomego

Kula porusza się po okręgu a więc podlega
działaniu siły dośrodkowej. Siłę tę wywiera
„liszka”, która spełnia rolę ruchomego
obserwatora i stanowi więzy wymuszające ruch
kuli po okręgu. Na „liszkę działa zatem siła
odśrodkowa reakcji odpychająca ją na zewnątrz w
kierunku zgodnym z promieniem okręgu.

F

do

F

od

F

odb

Względem „liszki” kula jest w spoczynku. Nie
obserwuje ona jej ruchu po okręgu, odczuwa
jednak działanie kuli.

Układy inercjalne i nieinercjalne

Układy inercjalne i nieinercjalne

ruch po okręgu - porównanie

ruch po okręgu - porównanie

Wykład

Wykład

2

2

P

P

F

b

N

N

F

d

Układy inercjalne i

Układy inercjalne i

nieinercjalne

nieinercjalne

ruch po okręgu

ruch po okręgu

Wykład

Wykład

2

2

Jakie siły występują podczas ruchu po okręgu?



Według obserwatora nieruchomego z ruchem kołowym

Według obserwatora nieruchomego z ruchem kołowym

wiążą się tylko dwie siły:

wiążą się tylko dwie siły:

•

siła dośrodkowa, działająca na badane ciało

siła dośrodkowa, działająca na badane ciało

•

siła odśrodkowa, działająca na więzy

siła odśrodkowa, działająca na więzy



Według obserwatora ruchomego istnieje trzecia siła:

Według obserwatora ruchomego istnieje trzecia siła:

•

siła odśrodkowa bezwładności

siła odśrodkowa bezwładności



Według obserwatora nieruchomego siła odśrodkowa

Według obserwatora nieruchomego siła odśrodkowa

bezwładności nie istnieje i dlatego nazywana jest:

bezwładności nie istnieje i dlatego nazywana jest:

•

siła odśrodkowa pozorną

siła odśrodkowa pozorną

Układy inercjalne i

Układy inercjalne i

nieinercjalne

nieinercjalne

ruch po okręgu

ruch po okręgu

- doświadczenie

- doświadczenie

Wykład

Wykład

2

2

Spłaszczenie Ziemi jest wywołane jej ruchem obrotowym dokoła własnej osi

i datuje się na okres, gdy Ziemia nie miała zastygniętej skorupy.

Dynamika ruchu obrotowego

Dynamika ruchu obrotowego

ruch obrotowy bryły sztywnej

ruch obrotowy bryły sztywnej

Wykład

Wykład

2

2

z

x

y

v



r



a

t

t

a

r

a

= �

r

ur r

wektor przyspieszenia
stycznego o wartości:

t

a

r

a

=

t

F ma

=

Dynamika ruchu obrotowego

Dynamika ruchu obrotowego

ruch obrotowy bryły sztywnej

ruch obrotowy bryły sztywnej

t

F ma

m r

a

=

=

Wykład

Wykład

2

2



F =

F =

const

const

im punkt przyłożenia siły bliżej osi obrotu tym większe

im punkt przyłożenia siły bliżej osi obrotu tym większe

przyspieszenie kątowe

przyspieszenie kątowe







= const

= const

im punkt przyłożenia siły bliżej osi obrotu tym mniejsza siła

im punkt przyłożenia siły bliżej osi obrotu tym mniejsza siła

potrzebna do wywołania tego przyspieszenie kątowego

potrzebna do wywołania tego przyspieszenie kątowego

Dynamika ruchu obrotowego

Dynamika ruchu obrotowego

moment siły

moment siły

Wykład

Wykład

2

2



F =

F =

const

const

im kąt jaki tworzy siła z promieniem

im kąt jaki tworzy siła z promieniem

mniejszy tym mniejsze przyspieszenie

mniejszy tym mniejsze przyspieszenie

kątowe

kątowe

Za zmiany w ruchu obrotowym odpowiedzialna jest
nie siła ale moment siły względem osi obrotu

( )

0

M F R F

= �

uuur

ur ur

Definicja momentu siły

0

R

F

R





0

sin

M

RF

J

=

sin

R

r

J =

r

ramię

działania siły F

względem punku 0

Dynamika ruchu obrotowego

Dynamika ruchu obrotowego

ruch obrotowy bryły sztywnej

ruch obrotowy bryły sztywnej

Wykład

Wykład

2

2

Sformułowanie zasad Newtona dla ruchu obrotowego

( )

2

0

M F

rF mr a

=

=

Ruch obrotowy jest jednostajny, gdy wypadkowy moment względem osi
obrotu wszystkich sił działających na ciało równa się zeru.

Tylko taka siła działająca na ciało obracające się wywoła przyspieszenie
kątowe, której moment względem osi obrotu nie równa się zeru.

W ruchu obrotowym działanie
siły jest warunkiem koniecznym
ale nie wystarczającym do
wywołania ruchu obrotowego
zmiennego.

Dynamika ruchu obrotowego

Dynamika ruchu obrotowego

moment bezwładności

moment bezwładności

Wykład

Wykład

2

2

2

1

n

w

i i

i

M

mr

a

=

=

�

uuur ur

( )

2

0

i

i i

M F

mr a

=

Bryła sztywna jest zbiorem punktów materialnych

Suma geometryczna wszystkich momentów – wobec ich
jednakowego kierunku – sprowadza się do sumy algebraicznej.

F ma

=

ur

r

wyrażenie to odgrywa w ruchu
obrotowym podobną rolę jak
masa w ruchu postępowym

Dynamika ruchu obrotowego

Dynamika ruchu obrotowego

moment bezwładności

moment bezwładności

Wykład

Wykład

2

2

2

1

n

i i

i

mr

I

=

=

�

Suma iloczynów mas poszczególnych cząstek bryły i kwadratów
ich odległości od osi obrotu jest miarą bezwładności bryły w ruchu
obrotowym i nosi nazwę momentu bezwładności względem danej
osi obrotu.

definicja momentu bezwładności

2

I

r dm

=

�

w

M

I

a

=

uuuv uv

wypadkowy moment siły działający na ciało
obracające się równy jest iloczynowi momentu
bezwładności względem aktualnej osi obrotu
przez przyspieszenie kątowe obrotu bryły

Dynamika ruchu obrotowego

Dynamika ruchu obrotowego

moment bezwładności

moment bezwładności

twierdzenie

twierdzenie

Steinera

Steinera

Wykład

Wykład

2

2

2

0

I I

md

= +

Momentu bezwładności został określony dla danej osi obrotu.

Twierdzenie Steinera określa moment bezwładności względem

dowolnej osi obrotu.

Moment bezwładności I względem dowolnej osi obrotu jest

związany z momentem bezwładności I

0

względem osi

przechodzącej przez środek masy i równoległej do osi danej

następującą zależnością:

odległość wzajemna obu osi

całkowita masa bryły

Zadanie domowe

Zadanie domowe

obliczyć moment bezwładności rury

obliczyć moment bezwładności rury

cylindrycznej

cylindrycznej

Wykład

Wykład

2

2

dr

r

R

1

R

2

L

M

 - gęstość

Dynamika ruchu obrotowego

Dynamika ruchu obrotowego

moment pędu

moment pędu

Wykład

Wykład

2

2

l r p

= �

v v uv

definicja momentu pędu
punktu materialnego

z

x

y

v



r



a

t

p mv

=

uv

v

d p

F

dt

=

uv

uv

dp

r F r

dt

� = �

uv

v uv v

moment siły M

(

)

dl

d

dr

dp

r p

p r

dt dt

dt

dt

=

� =

� + �

v

v

uv

v uv

uv v

(

)

dl

dp

v mv r

dt

dt

= �

+ �

v

uv

v

v v

0

dl

M

dt

=

v

uuv

p

Zmiana momentu pędu punktu materialnego w jednostce czasu jest równa momentowi
siły działającej na ten punkt.

Dynamika ruchu obrotowego

Dynamika ruchu obrotowego

moment pędu bryły

moment pędu bryły

czyli kręt

czyli kręt

Wykład

Wykład

2

2

wartość liczbowa momentu pędu punktu materialnego

l rmv

=

1

n

i i i

i

mrv

L

=

=

�

definicja krętu

2

1

n

i

i i

i

i

v

L

mr

r

=

=

�

moment bezwładności

prędkość kątowa

L Iw

=

uv uv

Dynamika ruchu obrotowego

Dynamika ruchu obrotowego

zasada zachowania krętu

zasada zachowania krętu

Wykład

Wykład

2

2

w

dL

M

dt

=

uv

uuuv

dmrv

M

dt

=

dla punktu materialnego

1

n

i i i

i

w

d

mrv

M

dt

=

=

�

dla bryły jako zbioru punktów materialnych

Gdy wypadkowy moment siły równa się
zeru to kręt bryły pozostaje stały

Kręt bryły może ulec zmianie jedynie pod działaniem momentu siły

Wielkość

Wielkość

fizyczna

fizyczna

Ruch postępowy

Ruch postępowy

Wielkość fizyczna

Wielkość fizyczna

Ruch obrotowy

Ruch obrotowy

Prędkość

Prędkość

Przyspieszenie

Przyspieszenie

Masa

Masa

Pęd

Pęd

Siła

Siła

Prędkość kątowa

Prędkość kątowa

Przyspieszenie kątowe

Przyspieszenie kątowe

Moment bezwładności

Moment bezwładności

Moment pędu

Moment pędu

Moment siły

Moment siły

Dynamika

Dynamika

podsumowanie

podsumowanie

Wykład

Wykład

2

2

ds

v

dt

=

d

dt

j

w =

dv

a

dt

=

d

dt

w

a =

m

2

I

r dm

=

�

p mv

=

uv

v

L Iw

=

u

v

uv

dp

F ma

dt

=

=

uv

uv

v

( )

dL

M F

I

dt

a

=

=

uv

uuuuuuv

uv