16a. OPTYKA FALOWA
Interferencja, dyfrakcja i
polaryzacja światła
16a. OPTYKA FALOWA
Interferencja, dyfrakcja i
polaryzacja światła
Poglądy na naturę światła począwszy od XVII wieku
uległy dużym zmianom. Jeden z twórców optyki I.Newton
(opierając się na tym, że podstawową właściwością jaką
wykazuje światło jest rozchodzenie się po liniach
prostych) uważał, że światło polega na ruchu bardzo
drobnych
cząsteczek,
korpuskuł
świetlnych,
poruszających się z określonymi prędkościami i mających
określony pęd. Teoria ta bardzo dobrze tłumaczyła
zjawiska załamania i odbicia.
W wieku XIX zapanowała (zapoczątkowana pod koniec
XVII wieku przez Ch. Huyghensa) teoria falowa – która
zakładała, że światło ma naturę falową. Teoria ta bardzo
dobrze tłumaczyła zjawiska ugięcia i interferencji oraz
prawa załamania i odbicia światła.
Obecnie obowiązuje zwarta fotonowa teoria światła.
Według
tej
teorii
światło
(promieniowanie
elektromagnetyczne) rozchodzi się w przestrzeni w
postaci paczek energii – fotonów. Foton odpowiadający
promieniowaniu o częstości drgań ma energię i pęd
(gdzie h – stała Plancka, c – prędkość światła w próżni).
Tak więc teoria fotonowa jest swoistym połączeniem
teorii korpuskularnej i falowej.
1 0
7
1 0
6
1 0
5
1 0
4
1 0
3
1 0
2
1 0
1
1
1 0
- 1
1 0
- 2
1 0
- 3
1 0
- 4
1 0
- 5
1 0
- 6
1 0
- 7
1 0
- 8
1 0
- 9
1 0
- 1 0
1 0
- 1 1
1 0
2 1
1 0
2 2
1 0
2 0
1 0
1 9
1 0
1 8
1 0
1 7
1 0
1 6
1 0
1 5
1 0
1 4
1 0
1 3
1 0
1 2
1 0
1 1
1 0
1 0
1 0
9
1 0
8
1 0
7
1 0
6
1 0
5
1 0
4
1 0
3
1 0
- 1 3
1 0
- 1 2
1 0
- 1 1
1 0
- 1 0
1 0
- 9
1 0
- 8
1 0
- 7
1 0
- 6
1 0
- 5
1 0
- 4
1 0
- 3
1 0
- 2
1 0
- 1
1
1 0
1
1 0
2
1 0
3
1 0
4
1 0
5
E n e r g i a
f o t o n ó w w e V
N a z w a
p r o m i e n i o w a n i a
C z ę s t o t l i w o ś ć
w H z
D ł u g o ś ć
f a l i w m
P r o m i e n i e
P r o m i e n i e X
T w a r d e
M i ę k k i e
N a d fi o l e t
P o d c z e r w o n e
Ś w i a tł o w i d z i a l n e
M i k r o f a l e
T e l e w i z j a
R a d i o f o n i a
F a l e d ł u g i e
1 k i l o m e tr [ k m ]
1 m e t r [ m ]
1 c e n t y m e tr [ c m ]
1 m i k r o m e t r [ m ]
1 n a n o m e tr [ n m ]
1 a n g s t r e m [ A ]
16.1
Zasada Huyghensa
W tej teorii światła podanej przez Christiana
Huyghensa w 1678 r. zakłada się, że światło jest falą ( a
nie strumieniem cząstek). Nie wspomina ona o
elektromagnetycznym charakterze światła ani nie
wyjaśnia, że światło jest falą poprzeczną.
Teoria Huyghensa oparta jest na konstrukcji
geometrycznej (zwanej zasadą Huyghensa), która
pozwala przewidzieć gdzie znajdzie się czoło fali w
dowolnej chwili w przyszłości, jeżeli znamy jej obecne
położenie. Zasada ta głosi, że
wszystkie punkty czoła fali
można uważać za źródła nowych fal kulistych. Położenie
czoła fali po czasie t będzie dane przez powierzchnię
styczną do tych fal kulistych
. Poniżej przedstawiony jest
na rysunku elementarny przykład obrazujący, za pomocą
elementarnych fal Huyghensa, rozchodzenie się fali
płaskiej w próżni.
Dane jest czoło fali płaskiej w
próżni. Zgodnie z zasadą
Huyghensa kilka dowolnie
wybranych punktów na tej
powierzchni traktujemy jako
źródła fal kulistych. Po czasie
t promienie tych kul będą
równe ct, gdzie c jest
prędkością światła.
Powierzchnia styczna do tych
kul po czasie t jest nową
powierzchnią falową.
Oczywiście powierzchnia
falowa fali płaskiej jest
płaszczyzną rozchodzącą się z
prędkością c.
Uwaga: Można by oczekiwać ( w oparciu o tę zasadę), że
wbrew obserwacji fala Huyghensa może się rozchodzić zarówno do
tyłu jak i do przodu. Tę „trudność” w modelu eliminuje się poprzez
założenie, że natężenie tych fal kulistych (Huyghensa) zmienia się
w sposób ciągły od maksimum dla kierunku „w przód” do zera dla
kierunku „w tył”.
Metoda Huyghensa daje się zastosować jakościowo do
wszelkich zjawisk falowych
. Można przedstawić za
pomocą fal elementarnych Huyghensa zarówno odbicie
fal jak i ich załamanie.
My zastosujemy je do wyjaśnienia ugięcia fal na
szczelinie (przeszkodzie).
Rozpatrzmy czoło fali dochodzącej do szczeliny.
Każdy jej punkt możemy potraktować jako źródło fal
kulistych Huyghensa. Jednak przez szczelinę przechodzi
tylko część fal. Fale leżące poza brzegami szczeliny
zostają wyeliminowane i z tym jest związane zaginanie
wiązki w obszar tzw. cienia geometrycznego. Szczegóły
dotyczące fal ugiętych zostaną przedstawione dokładnie
przy omawianiu dyfrakcji (ugięcia fal). Tutaj zwróćmy
jedynie uwagę na to, że gdy szerokość szczeliny
staje się duża (w stosunku do długości fali) a >>
to ugięcie można zaniedbać. Wydaje się, że światło
rozchodzi się po liniach prostych co można przedstawić
w postaci promieni podlegających prawom odbicia i
załamania. Mówimy, że mamy do czynienia z
optyką
geometryczną
.
Warunkiem stosowalności optyki geometrycznej
jest więc aby wymiary liniowe wszystkich obiektów
(soczewek, pryzmatów, szczelin itp.) były o wiele większe
od długości fali.
Jeżeli tak nie jest to nie możemy przy opisie światła
posługiwać się promieniami, lecz trzeba wziąć pod uwagę
falowy charakter światła
.
Mamy wtedy do czynienia z
optyką falową
.
Optyka geometryczna jest więc szczególnym
(granicznym) przypadkiem optyki falowej.
16.2
Interferencja
16.2.1 Doświadczenie Younga
Na wykładzie dotyczącym fal w ośrodkach sprężystych
omawiane było nakładanie się fal. Wykazanie, przez
Thomasa Younga (w 1801 r.) istnienia takiej
interferencji dla światła było pierwszym
eksperymentem wskazującym na falowy charakter
światła
.
S
0
S
2
S
1
Young oświetlił światłem słonecznym
ekran, w którym był zrobiony mały
otwór S
0
. Przechodzące światło padało
następnie na drugi ekran z dwoma
otworami S
1
i S
2
i rozchodzą się dalej
dwie, nakładające się fale kuliste tak
jak na rysunku. Warunki
stosowalności optyki geometrycznej
nie są spełnione i na szczelinach
następuje ugięcie fal.
Mamy do
czynienia z optyką falową
. Jeżeli
umieścimy ekran w jakimkolwiek
miejscu, tak aby przecinał on
nakładające się na siebie fale to
możemy oczekiwać pojawienia się na
nim ciemnych i jasnych plam
następujących po sobie kolejno.
S
1
S
2
d
D
y
P
r
1
r
2
O
b
Przeanalizujmy teraz doświadczenie Younga
ilościowo.
Zakładamy, że światło
padające zawiera tylko
jedną długość fali (jest
monochromatyczne). Na
rysunku punkt P jest
dowolnym punktem na
ekranie, odległym o r
1
i r
2
od
wąskich szczelin S
1
i S
2
.
Linia S
2
b została poprowadzona tak, aby PS
2
= Pb.
Trzeba zwrócić uwagę, że stosunek d/D przedstawiony
na rysunku jest dla większej jasności przesadnie duży.
Naprawdę d << D i wtedy kąt S
1
S
2
b jest równy
z dużą
dokładnością.
Oba promienie wychodzące ze szczelin S
1
i S
2
są
zgodne w fazie, gdyż pochodzą z tego samego czoła fali
płaskiej. Jednak drogi, po których docierają do punktu P
są różne więc i ich fazy mogą być różne.
Odcinki Pb i PS
2
są identyczne (tak to
skonstruowaliśmy) więc o różnicy faz decyduje różnica
dróg optycznych tj. odcinek S
1
b.
Aby w punkcie
P było
maksimum
to odcinek S
1
b musi zawierać
całkowitą liczbę długości fal. Jest tak dlatego, że po
przebyciu odcinka równego
faza fali powtarza się więc
dla drogi m
fala ma fazę taką jak na początku tej drogi;
odcinek S
1
b nie wpływa na różnicę faz a ponieważ fale
były zgodne w źródle (szczeliny S
1
i S
2
) więc będą
zgodne w fazie w punkcie P. Warunek ten możemy
zapisać w postaci
S
1
b = m
, m = 0, 1, 2, ......,
Lub
dsin
= m
, m = 0, 1, 2, ......,
(maksima)
(28.1)
Zauważmy, że każdemu maksimum powyżej punktu O
odpowiada położone symetrycznie maksimum poniżej
punktu O. Istnieje też centralne maksimum opisywane
przez m = 0.
Dla uzyskania
minimum
w punkcie P, odcinek S
1
b
musi zawierać połówkową liczbę długości fal, to jest:
S
1
b = (m+1/2)
, m = 0,1,2,....,
lub
dsin
= (m+1/2)
, m = 0, 1, 2, ......, (minima)
inaczej
dsin
= (2m+1)
/2, m = 0, 1, 2, ......,
(minima)
(28.2)
Przykład 1
Dwie szczeliny odległe od siebie o 1 mm oświetlono
światłem zielonym (linia zielona lampy rtęciowej) o
długości
= 546 nm. Jaka jest odległość między
sąsiednimi prążkami interferencyjnymi obserwowanymi
na ekranie umieszczonym w odległości 1 m od szczelin?
Najpierw sprawdźmy położenie kątowe np. pierwszego
maksimum.
Dla m = 1 otrzymujemy:
dsin
=
Skąd
sin
=
/d = (546·10
-9
m)/(10
-3
m) =
0.000546
co daje
0.03
Dla tak małych kątów dobrym jest przybliżenie
sin
tg
Z rysunku widać, że tg
= y/D. Podstawiając to
wyrażenie zamiast sin w równaniu na maksimum
interferencyjne otrzymujemy dla m-tego prążka
a dla następnego
Odległość między nimi wynosi więc
Równanie opisujące położenie kątowe maksimów może
posłużyć do wyznaczenia długości fali
Z tej relacji T. Young wyznaczył długości fal światła
widzialnego.
d
D
m
y
m
d
D
m
y
m
)
1
(
1
mm
546
.
0
m
10
)
m
1
(
)
m
10
546
(
3
9
1
d
D
y
y
y
m
m
m
d
sin
16.2.2
Koherencja
Podstawowym warunkiem powstania dobrze
określonego obrazu interferencyjnego jest, aby
fale świetlne które przybywają z punktów S
1
i S
2
miały
dokładnie określoną różnicę faz
stałą w
czasie
.
(Przypomnienie: faza jako określony stan fali w danym
miejscu i czasie, patrz równanie opisujące falę
E = E
m
sin(kx-
t)). Np. jest miejsce na ekranie, dla
którego różnica faz wynosi
co oznacza fizycznie, że
fale docierające tam wygaszają się (przy założeniu tej
samej amplitudy); mamy ciemny prążek. I tak jest
zawsze o ile różnica faz się nie zmieni. Gdyby taka
zmiana nastąpiła to w tym miejscu natężenie światła nie
będzie już równe zeru.
Warunkiem stabilności obrazu jest więc stałość w
czasie różnicy faz fal wychodzących ze źródeł S
1
i
S
2
.
Mówimy, że te źródła są
koherentne czyli
spójne
.
Jeżeli szczeliny S
1
i S
2
zastąpimy przez dwa
niezależne źródła fal (np. żarówki) to nie otrzymamy
prążków interferencyjnych, ekran będzie oświetlony
prawie równomiernie. Interpretujemy to w ten sposób,
że różnica faz dla fal pochodzących z niezależnych
źródeł zmienia się w czasie w sposób
nieuporządkowany.
W krótkim czasie są spełnione warunki dla
maksimum, a za chwile (b. krótką np. 10
-8
s) dla
minimum, a jeszcze za chwilę warunki pośrednie. I tak
dla każdego punktu na ekranie. Natężenie (w danym
punkcie) jest więc sumą natężeń od poszczególnych
źródeł. Mówimy, że te źródła są
niespójne
,
niekoherentne
.
Podsumujmy więc podstawową różnicę w opisie,
podyktowaną oczywiście przez fakty doświadczalne:
dla fal spójnych najpierw dodajemy amplitudy
(uwzględniając stała różnicę faz), a potem celem
obliczenia natężenia podnosimy otrzymaną amplitudę
wypadkową do kwadratu (przypomnienie dla ruchu
harmonicznego: Energia A
2
).
dla fal niespójnych najpierw podnosimy do
kwadratu amplitudy, żeby otrzymać natężenia
poszczególnych fal a potem dopiero sumujemy te
natężenia.
Pozostaje jedynie pytanie jak wytworzyć światło spójne.
Na tym etapie zapamiętajmy tylko, że zwykłe źródła
światła takie jak żarówki (żarzące się włókno) dają
światło niespójne dlatego, że emitujące atomy działają
zupełnie niezależnie. Natomiast współcześnie szeroko
stosowanymi źródłami światła spójnego są
lasery
.
16.2.3
Natężenie w doświadczeniu Younga
Załóżmy, że składowe pola elektrycznego obu fal w
punkcie P zmieniają się następująco
E
1
= E
0
sin
t
E
2
= E
0
sin(
t+
)
gdzie
= 2
v jest częstością kołową fal, a
różnicą faz
między nimi.
zależy od położenia punktu P a tym samym od kąta
załóżmy natomiast, że E
0
nie zależy od
(szczeliny są
dostatecznie wąskie, tak że światło ugięte na każdej ze
szczelin oświetla środkową część ekranu równomiernie)
Wynika stąd, że wypadkowe pole elektryczne w punkcie P
jest równe
E = E
1
+ E
2
Uwaga: Mówimy o polu E, a nie polu B (fali EM) ponieważ działanie tego
drugiego na detektory światła (w tym oko ludzkie) jest znikome.
Podstawiając równania dla obu fal obliczamy pole
wypadkowe
E = E
0
sin(
t+
) + E
0
sin
t = 2E
0
cos(
/2) sin(
t+
/2)
Lub
E = E
sin(
t+
)
gdzie
=
/2 oraz E
= 2E
0
cos
Teraz chcemy obliczyć natężenie fali wypadkowej
I
E
2
Obliczmy stosunek natężeń dwu fal: fali wypadkowej i
fali pojedynczej
Czyli
Natężenie zmienia się od zera (dla punktów, w których
= 2
=
) do maksymalnego (dla punktów, w których
= 2
= 0).
2
0
0
E
E
I
I
2
2
0
cos
cos
4
m
I
I
I
Różnica faz wiąże się z różnicą dróg S
1
b poprzez prostą
relację
różnica faz/2
= różnica dróg/
(28.4)
Czyli
Stąd
lub
Poprzez to równanie mamy zależność natężenia od kąta
.
sin
2
d
)
sin
(
2
d
sin
d
16.2.4
Interferencja w cienkich błonkach
Barwy cienkich błonek, baniek mydlanych, plam
np. oleju na wodzie są wynikiem interferencji. Na
rysunku pokazana jest warstwa o grubości d i
współczynniku załamania n. Błonka jest oświetlona
przez rozciągłe źródło światła monochromatycznego.
W źródle istnieje taki
punkt S, że dwa promienie
wychodzące z tego punktu
mogą dotrzeć do oka po
przejściu przez punkt a.
Promienie te przebiegają różne
drogi gdyż jeden odbija się od
górnej, a drugi od dolnej
powierzchni błonki. To czy
punkt a będzie jasny czy
ciemny zależy od wyniku
interferencji fal w punkcie a.
Fale te są spójne, bo pochodzą
z tego samego punktu źródła
światła.
Jeżeli światło pada prawie prostopadle to
geometryczna różnica dróg pomiędzy obu promieniami
wynosi prawie 2d. Można więc oczekiwać, że
maksimum interferencyjne (punkt a jasny) wystąpi gdy
odległość 2d będzie całkowitą wielokrotnością długości
fali.
Okazuje się, że tak nie jest z dwu powodów
długość fali odnosi się do długości fali w błonce
n
a nie do jej długości w powietrzu
. Oznacza to, że
musimy rozważać drogi optyczne, a nie geometryczne.
Przypomnijmy, że prędkość fali jest związana z
częstotliwością (barwą) i długością fali
v =
v
oraz, że przy przejściu do innego ośrodka
zmienia się
prędkość i długość fali, a częstotliwość pozostaje bez
zmiany
. Ponieważ przy przejściu z powietrza do
materiału o współczynniku załamania n prędkość
maleje n razy
v = c/n
to długość fali też maleje n razy
n
=
/n
okazuje się ponadto, że fala odbijając się od
ośrodka optycznie gęstszego (większe n)
zmienia swoją
fazę o
.
Natomiast gdy odbicie zachodzi od
powierzchni ośrodka rzadszego optycznie fala odbija się
bez zmiany fazy.
Oznacza to, że promień
odbity od górnej powierzchni błonki zmienia fazę,
a promień odbity od dolnej granicy nie.
Możemy teraz uwzględnić oba czynniki tj. różnice dróg
optycznych oraz zmiany faz przy odbiciu.
Dla dwóch promieni pokazanych na
rysunku warunek na maksimum ma
postać
2d = m
n
+
n
/2, m = 0, 1, 2, ....,
Czynnik
n
/2 opisuje zmianę fazy przy odbiciu (od górnej
powierzchni) bo zmiana fazy o 180 () jest równoważna
różnicy dróg równej połowie długości fali (różnica
faz/2
= różnica dróg/
. Ponieważ
n
= /n otrzymujemy
więc
,
m = 0, 1, 2,.....
(maksima)
Analogiczny warunek na minimum ma postać
,
m = 0, 1, 2,....(minimum)
Równania te są słuszne jeżeli współczynnik załamania błonki
jest większy lub mniejszy od współczynnika załamania
ośrodków po obu stronach błonki
.
2
1
2
m
dn
m
dn
2
Przykład
Błonka wodna (np. bańka mydlana, n = 1.33) znajdująca
się w powietrzu ma grubość 320 nm. Jaki kolor ma
światło odbite, gdy błonka jest oświetlona światłem
białym padającym prostopadle?
Z warunku na maksimum obliczamy
Obliczamy
dla kolejnych m:
m = 0,
= 1700 nm, poza zakresem widzialnym
m = 1,
= 567 nm, w zakresie widzialnym
(żółtozielona)
m = 2,
= 340 nm, poza zakresem widzialnym
m = 3, 4, ...., poza zakresem widzialnym.
2
1
nm
850
2
1
33
.
1
nm
320
2
2
1
2
m
m
m
dn
16.3
Dyfrakcja
Zjawisko dyfrakcji (ugięcia) odkrył Grimaldi (XVII w).
Polega ono na uginaniu się promieni świetlnych
przechodzących w pobliżu przeszkody (np. brzeg
szczeliny).
Fala ze źródła S pada na
szczelinę B i przechodzące
przez otwór pada na ekran
C. Natężenie w punkcie P
można obliczyć dodając do
siebie wszystkie zaburzenia
falowe (tj. wektory E). Te
zaburzenia falowe mają
różne amplitudy i fazy
ponieważ:
elementarne źródła Huyghensa (punkty w
szczelinie) są w różnych odległościach od punktu P.
światło opuszcza te punkty pod różnymi kątami.
Taka sytuacja gdy fale opuszczające otwór nie są płaskie
(promienie nie są równoległe) pojawia się gdy źródło fal
S i ekran (C), na którym powstaje obraz znajdują się w
skończonej odległości od ekranu ze szczeliną (B). Taki
przypadek nosi nazwę
dyfrakcji Fresnela
. Obliczenia
natężeń światła są w tej sytuacji trudne.
Całość upraszcza się, gdy źródło S i ekran C odsuniemy
na bardzo duże odległości od otworu uginającego. Ten
graniczny przypadek nazywamy
dyfrakcją Fraunhofera
.
Czoła fal padających jak i ugiętych są płaszczyznami
(promienie są równoległe) tak jak to widać na rysunku
do bardzo
odległego
ekranu
z bardzo
odległego
źródła
b)
B
Warunki do wystąpienia dyfrakcji Fraunhofera można
zrealizować w laboratorium za pomocą dwu soczewek
Pierwsza soczewka zmienia falę rozbieżną w
równoległą, a druga skupia w punkcie P fale płaskie
opuszczające otwór. Wszystkie promienie oświetlające
punkt P opuszczają otwór równolegle do linii
przerywanej (przechodzącej przez środek soczewki).
Warunki dyfrakcji Fraunhofera były z założenia
spełnione w doświadczeniu Younga.
W dalszej części
wykładu będziemy
zajmować się tylko
dyfrakcją
Fraunhofera.
16.3.1
Pojedyncza szczelina
Rysunek pokazuje falę płaską
padającą prostopadle na szczelinę o
szerokości a. Rozpatrzmy punkt
środkowy P
0
ekranu. Równoległe
promienie przebywają do tego
punktu te same drogi optyczne
(różne geometryczne) tzn. promienie
zawierają tę samą ilość długości fal
(soczewki cienkie). Ponieważ w
szczelinie promienie są zgodne w
fazie to po przebyciu takich samych
dróg optycznych nadal pozostają
zgodne w fazie. Dlatego
w środkowym punkcie P
0
będzie
maksimum.
Rozpatrzmy teraz inny
punkt P
1
na ekranie.
Promienie docierające do
P
1
wychodzą ze szczeliny
pod kątem . Jeden
promień ma początek u
góry szczeliny a drugi w
jej środku. (Promień xP
1
przechodzi przez środek
soczewki więc nie jest
odchylany).
Jeżeli wybierzemy punkt P
1
tak, żeby różnica dróg bb’
wynosiła
/2 to promienie zgodne w fazie w szczelinie będą
miały w punkcie P
1
fazy przeciwne i wygaszą się. Podobnie
każdy inny promień wychodzący z górnej połowy szczeliny
będzie się wygaszał z odpowiednim promieniem z dolnej
połówki leżącym w odległości a/2 poniżej. Punkt P
1
będzie
miał natężenie zerowe (pierwsze minimum dyfrakcyjne).
Warunek opisujący to minimum ma następującą postać
Czyli
asin
=
2
1
sin
2
1
a
Uwaga: Gdyby szerokość szczeliny była równa
wtedy pierwsze minimum pojawiłoby się dla
= 90 czyli
środkowe maksimum wypełniłoby cały ekran. W miarę
rozszerzania szczeliny środkowe maksimum staje się
węższe. (Podobnie było dla interferencji Younga w miarę
zmiany odległości między szczelinami punktowymi).
Podobne rozważania możemy powtórzyć dla wielu
punktów szczeliny i otrzymamy ogólne wyrażenie dla
minimów obrazu dyfrakcyjnego w postaci
asin
= m
, m = 1, 2, 3,...... (minimum)
(29.1)
Mniej więcej w połowie między każdą parą sąsiednich
minimów występują oczywiście maksima natężenia.
16.3.2
Pojedyncza szczelina, rozważania
jakościowe
Teraz chcemy znaleźć wyrażenie na rozkład
natężenia w całym obszarze dyfrakcyjnym w funkcji kąta
. Teraz zrobimy to jakościowo.
Wyobraźmy sobie, że
szczelinę o szerokości a
dzielimy na N pasków o
małej szerokości x. Każdy
pasek jest źródłem fal
kulistych Huyghensa, które
wytwarzają na ekranie
określone zaburzenie
falowe.
Różnica dróg między sąsiednimi
paskami wynosi xsin
stąd
różnica faz
pomiędzy falami
pochodzącymi z sąsiednich pasków
wynosi
sin
2
x
czyli
sin
2
x
Zakładamy, że paski są tak wąskie, że wszystkie
punkty na danym pasku mają tę samą drogę optyczną do
punktu P (całe światło ma tę samą fazę).
Dla małych kątów
amplitudy E
0
zaburzeń
falowych w punkcie P pochodzące od różnych pasków
przyjmujemy za jednakowe.
Zatem w punkcie P dodaje się N wektorów (pól
elektrycznych E) o tej samej amplitudzie E
0
, tej samej
częstości i tej samej różnicy faz
między kolejnymi
wektorami.
Szukamy zatem zaburzenia wypadkowego dla
różnych punktów P, tzn. dla różnych kątów
, tzn. dla
różnych
. Poniżej na rysunkach przedstawione jest
zaburzenie wypadkowe dla kilku różnych miejsc na
ekranie.
E
E
M
E
E
E
E
0
a)
b)
c)
d)
Rysunek (a) przedstawia warunki dla maksimum
środkowego (
=0).
Rysunek (b) przedstawia warunki dla kierunku
nieco odmiennego od maksimum środkowego (
=5).
Rysunek (c) przedstawia warunki dla pierwszego
minimum (
=30).
Rysunek (d) przedstawia warunki bliskie
pierwszemu maksimum (poza środkowym) (
=42).
Zwróćmy uwagę, że
długość łuku jest zawsze
równa E
M
ale amplituda
E
jest różna. Wektory na
rysunku odpowiadają
amplitudom (a nie
natężeniom). Żeby
otrzymać natężenia
trzeba je podnieść do
kwadratu. W
przeciwieństwie do
obrazu interferencyjnego
natężenia kolejnych
maksimów nie są
jednakowe
.
16.3.3
Pojedyncza
szczelina,
rozważania
ilościowe
Na rysunku poniżej jest przedstawiona
konstrukcja służąca do obliczenia natężenia światła w
przypadku dyfrakcji na jednej szczelinie. Sytuacja
odpowiada tej pokazanej na poprzednim rysunku (b).
Jeżeli szczelinę podzielimy na nieskończenie wiele
małych pasków o szerokości dx to łuk strzałek będzie
łukiem koła o promieniu R. Długość łuku wynosi E
m
czyli
równa jest amplitudzie w środku obrazu dyfrakcyjnego
(linia prosta strzałek).
R
R
E
m
E
m
E
Kąt
w dolnej części rysunku
przedstawia różnicę fazy
między skrajnymi wektorami w
łuku tzn.
jest różnicą faz
pomiędzy promieniami
wychodzącymi z góry i dołu
szczeliny.
Jak widać z rysunku
2
sin
2
R
E
2
sin
2
R
E
czyli
2
sin
2
R
E
W mierze łukowej
Stąd
Podstawiając do równania (*) otrzymamy
czyli
(29.3)
gdzie
=
/2.
Przypomnijmy, że
jest różnicą faz dla promieni
wychodzących z krańców szczeliny.
R
E
m
m
E
R
*
2
sin
2
m
E
E
sin
m
E
E
Ponieważ różnica dróg dla tych promieni wynosi asin
(a szerokość szczeliny) więc możemy posłużyć się znanym
związkiem
różnica faz/2
= różnica dróg/
otrzymując
lub
(29.4)
Teraz możemy już obliczyć natężenie światła dla dyfrakcji
na pojedynczej szczelinie. Natężenie jest proporcjonalne
do kwadratu amplitudy. Otrzymujemy więc
(29.5)
sin
2 a
sin
2
a
2
sin
m
I
I
2
sin
m
I
I
Wyrażenie na natężenie przyjmuje wartość minimalną dla
= m
, m = 1, 2, 3,....
Podstawiając do równania (29.4) otrzymujemy
asin
= m
, m = 1, 2, 3, ..... (minimum)
Jest to wynik zgodny z uzyskanym poprzednio (rozważania
jakościowe).
Obliczmy teraz względne natężenia kolejnych maksimów
dyfrakcyjnych.
Maksima
leżą w środku pomiędzy minimami, a więc w
punktach, dla których
= (m+1/2)
, m = 1, 2, 3,.......
Podstawiając to do równania (29.5) na natężenie otrzymujemy
I
/I
m
= 0.045, 0.016, 0.008 dla m = 1, 2, 3. Widać, że
natężenia kolejnych maksimów bardzo szybko maleją
.
Na rysunku poniżej przedstawiono krzywe I
dla różnych
szerokości szczeliny (w stosunku do długości fali
) w
funkcji położenia na ekranie (kąta
).
a=10
a=5
a=
10
5
10
5
w
zg
lę
dn
e
na
tę
że
ni
e
(deg)
16.4
Równoczesna interferencja i dyfrakcja na
dwóch szczelinach
W doświadczeniu Younga szczeliny były wąskie ( a <<
) tak,
że każda ze szczelin oświetlała równomiernie ekran. Jeżeli
takie fale (spójne) interferowały to otrzymywaliśmy prążki o
jednakowym natężeniu.
Dla realnych szczelin trudno jest zrealizować warunek a <<
.
Oznacza to, że pojedyncza szczelina będzie dawała obraz
dyfrakcyjny i interferencja fal da teraz obraz, w którym
natężenia prążków nie będą stałe (jak w doświadczeniu
Younga) ale zależne od tego obrazu dyfrakcyjnego.
Odejście od założenia a <<
powoduje głównie zmianę
natężenia prążków (ich położenia pozostają prawie nie
zmienione).
Przypomnijmy, że obraz interferencyjny dla dwóch szczelin
dany jest równaniem
gdzie
przy czym d jest odległością między szczelinami.
2
int
,
int
,
cos
m
I
I
sin
d
Natomiast natężenie fali ugiętej na szczelinie jest dane
równaniem
gdzie
przy czym a jest szerokością szczeliny.
Teraz chcemy otrzymać łączny efekt. Dlatego w
równaniu dla interferencji stałą amplitudę (dla wąskich
szczelin) zastępujemy realnym natężeniem dyfrakcyjnym.
Otrzymujemy
(29.6)
Ten wynik opisuje następujące fakty. W pewnym punkcie
ekranu natężenie światła, z każdej szczeliny osobno, jest dane
przez obraz dyfrakcyjny tej szczeliny. Obrazy dyfrakcyjne
dwóch szczelin rozpatrywanych oddzielnie nakładają się (fale
interferują).
2
,
,
sin
dyf
m
dyf
I
I
sin
a
2
2
sin
)
(cos
m
I
I
Rysunek poniżej jest wykresem powyższego równania dla
d = 50
i trzech wartości stosunku a/
.
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
a =
w
zg
lę
dn
e
na
tę
że
ni
e
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
a = 5
w
zg
lę
dn
e
na
tę
że
ni
e
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
a = 10
10
10
5
5
w
zg
lę
dn
e
na
tę
że
ni
e
(deg)
Obwiednie prążków
interferencyjnych pokrywają się
dokładnie z obrazem dyfrakcyjnym.
Obraz jest więc
iloczynem czynnika
interferencyjnego i dyfrakcyjnego
(rysunek poniżej).
Czynnik
interferencyjny (cos
2
)
jest
pokazany na górnym wykresie,
czynnik dyfrakcyjny (sin
/
)
2
na
środkowym, a ich iloczyn na
dolnym.
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
w
zg
lę
dn
e
na
tę
że
ni
e
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
w
zg
lę
dn
e
na
tę
że
ni
e
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
10
10
5
5
(deg)
a = 5
w
zg
lę
dn
e
na
tę
że
ni
e
16.5
Siatki dyfrakcyjne
Siatki dyfrakcyjne
Rozpatrzymy teraz przypadki gdy liczba centrów
rozpraszania jest większa. Tzn. rozpatrzmy naturalne
rozszerzenie
doświadczenia
Younga
poprzez
zwiększenie liczby szczelin od dwu do większej liczby N.
Układ zawierający zespół N równoległych szczelin
nazywamy
siatką dyfrakcyjną
(szczelin może być b.
dużo np. 10
4
/cm).
Na rysunku obok
pokazany jest rozkład
natężeń dla N = 5
szczelin.
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
Z tych rysunków widać, że zwiększenie liczby szczelin
nie zmienia odległości pomiędzy głównymi
maksimami (przy stałych d i
)
nastąpiło natomiast ich zwężenie (wyostrzenie)
pojawiły się wtórne maksima pomiędzy
maksimami bocznymi
Dla przypomnienia obok
pokazano wynik w
doświadczeniu Younga.
Maksima główne wystąpią gdy spełniony jest znany
warunek
dsin
= m
, m = 0, 1, 2, (maksima)
(30.1)
gdzie m nazywamy rzędem widma, a d jest odległością
między szczelinami (stała siatki dyfrakcyjnej).
Uwaga: Położenia maksimów głównych nie zależą od
N.
Pochodzenia maksimów wtórnych można wyjaśnić za pomocą
metody strzałek fazowych (wskazów).
Siatki dyfrakcyjne są często stosowane do
pomiarów
długości fali i do badań struktury i natężenia linii
widmowych
.
Ponieważ stałą siatki dyfrakcyjnej można zmierzyć
dokładnie pod mikroskopem to z warunku na
występowanie głównych maksimów możemy wyznaczyć
.
Z tego samego warunku widać, że fale o różnych
uginają się pod różnymi kątami jest więc szansa na ich
rozseparowanie.
Przykład 1
Siatka dyfrakcyjna ma 4000 nacięć na 1 cm. Pada na nią
prostopadle światło żółte z lampy sodowej. W świetle tym
występują dwie fale o długościach 589.00 i 589.59 nm.
Pod jakim kątem występuje maksimum dla pierwszego
rzędu dla 1 z tych linii ? Jaka jest odległość kątowa
pomiędzy maksimami pierwszego rzędu dla tych linii?
Maksimum pierwszego rzędu otrzymujemy z warunku
dsin
= m
dla m = 1
sin
=
/d = 0.236
= 13.6°
Najprostszym sposobem znalezienia odległości kątowej
jest powtórzenie obliczeń dla
= 589.59 i odjęcie
obliczonych kątów ale trzeba prowadzić bardzo
precyzyjne obliczenia tzn. dla wielu liczb znaczących
(nie tak jak powyżej).
Powtarzamy obliczenia
dla
= 589.00 nm
= 13.6270°
dla
= 589.59 nm
= 13.6409°
stąd
= 0.0139°
Możemy jednak przeprowadzić bezpośrednie obliczenia
tej różnicy.
W tym celu zróżniczkujemy nasze równanie
Otrzymujemy wtedy
Ponieważ długości fal mało się różnią więc możemy
zapisać
skąd mamy
Oczywiście otrzymujemy ten sam wynik ale obliczenia
wymagają tylko 2 cyfr znaczących zamiast 5 (jak
).
d
d
d
d
d
)
(sin
d
d
m
d
cos
d
m
d
d
m
cos
cos
m
Wielkość
jest nazywana
dyspersją kątową
siatki dyfrakcyjnej i
informuje o odległości kątowej (rozdzieleniu) dwóch fal o
mało różniących się długościach.
cos
d
d
d
m
D
16.6
Dyfrakcja promieni Roentgena (promieni
X)
Promienie X są falami elektromagnetycznymi o
długościach fal rzędu 0.1 nm.
(Dla przypomnienia światło
żółte z przykładu 1 ma długość równą 589 nm.)
W 1912 r. Max von Laue
zauważył, że ciała stałe
zawierające regularny układ
atomów mogą stanowić
naturalną, trójwymiarową „siatkę
dyfrakcyjną” dla promieniowania
X. (Standardowe optyczne siatki
dyfrakcyjne są bezużyteczne bo
<< d.).
Rysunek poniżej pokazuje wiązkę
promieni X, o widmie ciągłym,
padającą na kryształ.
Wiązki promieni powstałe w wyniku interferencji fal
ugiętych na atomach padają na kliszę tworząc na niej
charakterystyczny układ punktów zwany
obrazem
Lauego
. Analiza położeń i natężeń tych punktów pozwala
na określenie struktury kryształu.
Na pierwszym rysunku pokazana jest komórka
elementarna kryształu NaCl. Małe kule przedstawiają
jony sodu, a duże jony chloru.
Każda komórka elementarna NaCl zawiera 4 jony sodu i
cztery jony chloru czyli cztery cząsteczki NaCl (poza
jonem w środku, pozostałe należą też do komórek
sąsiednich).
Dla NaCl długość boku komórki elementarnej wynosi
0.562737 nm (długość fali promieniowania X =0,1 nm).
Ogólnie natężenia linii siatki dyfrakcyjnej zależą od
geometrii pojedynczej szczeliny. W idealnym przypadku
zależą od szerokości szczeliny.Tak samo natężenia wiązek
rozproszonych na krysztale zależą od geometrii
pojedynczej rozpraszającej komórki elementarnej.
Warunki, w jakich jest możliwa dyfrakcja
promieni Roentgena krysztale podaje prawo Bragga.
Rysunek poniżej pokazuje ugięcie wiązki promieni X na
zespole równoległych płaszczyzn (linie przerywane).
Rysunek (a) pokazuje falę oddziałującą z rodziną
płaszczyzn, z których jedna jest pokazana na rysunku
(b). Ugięcie następuje na elementarnych centrach
rozpraszania (komórki elementarne - odpowiednik
pojedynczej szczeliny).
Promienie ugięte będą się sumować gdy różnica dróg będzie
równa całkowitej wielokrotności długości fali.
ab’ – a’b = ab(cos
- cos
) = k
, k = 0, 1, 2,
Dla k = 0 otrzymujemy
=
tzn. płaszczyzna wyznaczona
przez atomy działa jak „zwierciadło” odbijające falę padającą
(kąt padania = kąt odbicia) tzn. w tym kierunku jest
wzmocnienie promieniowania ugiętego.
Jeżeli chcemy otrzymać wzmocnienie promieniowania odbitego
od całej rodziny płaszczyzn dla kierunku określonego przez kąt
to muszą się wzmacniać promienie odbite od poszczególnych
płaszczyzn. Oznacza to, że różnica dróg dla promieni odbitych
od sąsiednich płaszczyzn musi być równa całkowitej
wielokrotności
, tak więc
2dsin
= m
, m = 1, 2, 3,....
Zależność ta została podana przez W. L. Bragga i stąd nazwa
prawo Bragga
.
W równaniu tym d oznacza odległość między sąsiednimi
płaszczyznami.
Stąd widać, że dyfrakcja promieni X jest metodą
doświadczalną w badaniu rozmieszczenia atomów w
kryształach.
16.7
Polaryzacja
Teoria przewiduje, że światło podobnie jak każda fala
elektromagnetyczna jest falą poprzeczną. Kierunki drgań
wektorów E i B są prostopadłe do kierunku rozchodzenia
się fali. Na rysunku poniżej przedstawione falę
elektromagnetyczną, która ma jeszcze dodatkowo pewną
charakterystyczną własność:
>
wektory E są do siebie równoległe we wszystkich
punktach fali. > Podobnie wektory B.
Mówimy, że ta fala jest
płasko spolaryzowana
(spolaryzowana liniowo).
B
E
Drgający wektor E tworzy z kierunkiem ruchu fali
płaszczyznę zwaną
płaszczyzną drgań
.
W fali spolaryzowanej liniowo wszystkie takie
płaszczyzny są równoległe.
Z dotychczas opisanych doświadczeń z
interferencją i dyfrakcją nie można wydedukować
poprzecznej natury fal świetlnych ponieważ fale podłużne
też interferują i ulegają dyfrakcji.
Podstawy doświadczalne przyniosło następujące
doświadczenie.
W wyniku oświetlenia kryształu kalcytu (CaCO
3
) z
wiązki padającej można uzyskać dwie oddzielne wiązki
(omówione w dalszej części wykładu).
Wiązki te chociaż oczywiście są spójne
nie dają
prążków interferencyjnych
ale równomierne oświetlenie
ekranu.
Young wywnioskował z tego faktu, że światło jest
falą poprzeczną i że płaszczyzny drgań w tych falach są
prostopadłe względem siebie.
Zauważmy, że
chcemy dodać dwa zaburzenia
falowe
takie jak w doświadczeniu Younga tj.
ale
prostopadłe do siebie
. Można udowodnić, że fale świetlne
spolaryzowane liniowo o równych amplitudach i
prostopadłych kierunkach drgań nie interferują ze sobą
dając jednakowe (niezależnie od różnicy faz) natężenie
światła na ekranie. Tu tylko zauważmy, że te dwie fale
nigdy się nie wygaszają.
W fali poprzecznej, spolaryzowanej liniowo,
należy określić dwa kierunki:
kierunek drgania (np. wektora E),
kierunek rozchodzenia się fali.
Światło rozchodzące się w danym kierunku w
przestrzeni składa się z niezależnych ciągów fal, których
płaszczyzny drgań zorientowane są przypadkowo wokół
kierunku ruchu fali (rysunek poniżej). Takie światło
chociaż jest falą poprzeczną jest niespolaryzowane.
płytka
polaryzująca
Rysunek poniżej pokazuje różnicę między falą
poprzeczną spolaryzowaną liniowo (a) i falą poprzeczną
niespolaryzowaną (b). Rysunek (c) przedstawia inny
równoważny opis niespolaryzowanej fali poprzecznej;
tutaj traktujemy ją jako złożenie dwóch
spolaryzowanych liniowo fal o przypadkowo zmiennej
różnicy faz. Orientacja kierunków drgań pól E
względem kierunku rozchodzenia się fali jest też
przypadkowa (ale prostopadła).
Dla zbadania fal świetlnych niespolaryzowanych
potrzeba znaleźć metodę, która pozwoliłaby rozdzielić
fale o różnych płaszczyznach drgań.
16.7.1
Płytki polaryzujące
Na rysunku światło niespolaryzowane pada na
płytkę z materiału polaryzującego, zwanego polaroidem.
W płytce istnieje pewien charakterystyczny kierunek
polaryzacji zaznaczony liniami równoległymi. Płytka
przepuszcza tylko te fale, dla których kierunki drgań
wektora elektrycznego są równoległe do kierunku
polaryzacji, a pochłania te fale, w których są one
prostopadłe.
Kierunek polaryzacji ustala się w procesie produkcji:
cząsteczki o strukturze łańcuchowej osadza się na
elastycznej warstwie plastycznej,
warstwę rozciąga się co powoduje równoległe
ułożenie cząsteczek.
płytka
polaryzująca
Żeby zanalizować natężenie światła przechodzącego przez
polaryzator rozpatrzmy ciąg fal padający na polaroid tak, że wektor
E wyznaczający płaszczyznę drgań tworzy kąt
z kierunkiem
polaryzacji płytki (rysunek obok).
Ten ciąg fal jest równoważny ciągom fal o składowych E
x
i E
y
(składowe wektora E).
Składowa równoległa
E
y
= Ecos
jest przepuszczana podczas
gdy składowa prostopadła
E
x
= Esin
jest pochłaniana.
Postawmy teraz na drodze światła
drugą płytkę
polaryzującą
(nazywamy ją analizatorem). Jeżeli analizator
będziemy obracać wokół kierunku padania światła to natężenie
światła przechodzącego przez obie płytki będzie się zmieniać
osiągając minimum dla położeń różniących się o 180° tj. przy
prostopadłych kierunkach polaryzacji obu płytek.
Jeżeli amplituda pola elektrycznego fali padającej na analizator jest
równa E
m
to amplituda fali wychodzącej z analizatora wynosi
E
m
cos
, gdzie
jest kątem pomiędzy kierunkami polaryzacji obu
płytek. Ponieważ natężenie światła jest proporcjonalne do kwadratu
amplitudy więc otrzymujemy
I = I
m
cos
2
(30.1)
Zauważmy, że I ma maksimum dla
= 0° lub
= 180° a
minimum dla
= 90° lub
= 270°. Powyższe równanie zwane jest
prawem Malusa
.
16.7.3 Polaryzacja przez odbicie
W 1809 r. Malus odkrył, że światło może być
częściowo lub całkowicie spolaryzowane przez odbicie.
Rysunek przedstawia wiązkę niespolaryzowaną
padającą na powierzchnię szkła. Wektor E można
rozłożyć na dwie składowe:
składową
prostopadłą do płaszczyzny padania
(płaszczyzna rysunku),
składową
leżącą w płaszczyźnie padania.
Dla światła całkowicie niespolaryzowanego obie
składowe maja jednakowe amplitudy.
Stwierdzono doświadczalnie, że dla szkła (i
innych materiałów dielektrycznych) istnieje pewien
kąt padania, nazywany
kątem całkowitej polaryzacji
p
, dla którego współczynnik odbicia składowej
jest
równy zero. Wtedy wiązka odbita jest spolaryzowana
liniowo prostopadle do płaszczyzny padania. Wiązka
przechodząca jest tylko częściowo spolaryzowana
(składowa
jest całkowicie załamana, a składowa
tylko częściowo). Zwróćmy uwagę, że wiązka
załamana ma większe natężenie od wiązki odbitej.
Doświadczalnie stwierdzono, że gdy kąt padania jest
równy kątowi całkowitej polaryzacji to wówczas
wiązka odbita i załamana tworzą kąt prosty co oznacza
że
+
= 90°
Natomiast z prawa załamania mamy
sin
sin
2
1
n
n
Z obu tych równań otrzymujemy
albo
(30.2)
przy czym promień pada z ośrodka 1 i załamuje się w
ośrodku 2.
To ostatnie równanie jest nazywane
prawem Brewstera
.
Prawo to zostało znalezione doświadczalnie ale
oczywiście można je wyprowadzić ściśle przy pomocy
równań Maxwella.
cos
)
90
sin(
sin
2
2
1
n
n
n
n
n
n
1
2
tg
16.7.5
Załamanie podwójne
wiązka
padająca
kryształ
CaCO
3
e
o
Dotychczas milcząco
zakładaliśmy, że prędkość
światła, a więc i współczynnik
załamania, nie zależą od
kierunku rozchodzenia się
światła w ośrodku ani od jego
polaryzacji. Ciała spełniające
te warunki nazywamy
ciałami
optycznie izotropowymi
.
Istnieje jednak szereg ciał
anizotropowych
(nie
izotropowych).
Na rysunku powyżej niespolaryzowana wiązka
światła pada na kryształ kalcytu prostopadle do jednej z
jego ścian.
Pojedyncza wiązka rozszczepia się na powierzchni
kryształu na dwie.
Mamy do czynienia z
podwójnym załamaniem
.
Możemy zanalizować obie wychodzące wiązki za pomocą
płytki polaryzującej.
Okazuje się, że obie wiązki są spolaryzowane
liniowo, przy czym ich płaszczyzny drgań są wzajemnie
prostopadłe. Wiązki te są oznaczone przez o i e.
Jeżeli zmienimy kąt padania to okaże się, że jedna z
wiązek tzw.
promień zwyczajny o
spełnia prawo
załamania (tak jak dla ośrodka izotropowego) a druga
wiązka tzw.
promień nadzwyczajny
e
nie spełnia tego
prawa.
Różnicę tę można wyjaśnić następująco:
promień o przechodzi przez kryształ z jednakową
prędkością we wszystkich kierunkach tzn. ma jeden
współczynnik załamania n
0
tak jak izotropowe ciało
stałe.
promień e ma prędkość w krysztale zależna od
kierunku tzn. prędkość zmienia się od v
0
do v
e
a
współczynnik załamania od n
o
do n
e
. Dla kalcytu
n
e
= 1.658, n
o
= 1.486.
Wielkości n
e
i n
0
nazywamy
głównymi
współczynnikami załamania kryształu
.
Niektóre podwójnie załamujące kryształy mają
interesującą własność nazywaną
dichroizmem
,
polegającą na tym, że jedna ze składowych polaryzacji
jest pochłaniana silniej niż druga. Własność ta jest
pokazana na rysunku obok. Na tej zasadzie opiera się
działanie szeroko stosowanych polaroidów.
Zamiast dużej płytki wyciętej z kryształu można
zastosować wiele małych kryształów o osiach
optycznych ustawionych równolegle do siebie.