Zad 10. Drganie jako fazor. Różniczkowanie i całkowanie.

Wektory fazowe

Liczbę zespoloną
interpretujemy geometrycznie jako wektor r , którego rzut na oś rzeczywistą wynosi :

a= rcos
a

a na oś urojoną :

b= rsin

r =[rcos
,rsin
]

Graficzna interpretacja liczby zespolonej .Faza
=arc tg (b/a).

Moduł wektora

|r| =

A faza :

Jeżeli kąt zależy od czasu ,np. jest do niego proporcjonalny

To wektor przedstawiający liczbę zespoloną wiruje z prędkością kątową w tym przypadku w kierunku przeciwnym do ruchu wskazówek zegara. Rzuty końca wykonują ruch harmoniczny wzdłuż osi.

Ze względu na to, że

,

taki wektor przedstawia drgania harmoniczne o amplitudzie r i częstości kołowej
.Koniec wektora zakreśla okrąg ,a jego rzuty na osie poruszają się ruchem harmonicznym prostym:

Wektor o długości równej amplitudzie drgań ,nachylony do osi (rzeczywistej ) pod katem równym fazie ,nazywamy wektorem fazowym albo fazorem. Ruch harmoniczny oznacza wirowanie fazorów.

Obroty fazorów

Mnożenie liczby zespolonej przez i=
oznacza obrócenie wektora r o kąt prosty w lewo (przeciwnie do ruchu wskazówek zegara).Podobnie podzielenie przez i=
interpretujemy jako obrót wektora o kąt prosty w prawo.

Podobne wyniki daje różniczkowanie i całkowanie :

Prezentacja pochodnych na płaszczyźnie zespolonej

Różniczkowanie liczby zespolonej oznacza mnożenie przez
i obrót o
w lewo ,całkowanie -dzielenie przez
i obrót o
w prawo . Podwójne różniczkowanie jest równoznaczne z pomnożeniem przez
i obrotem o
.

W przypadku ,gdy fazor obraca się ze stałą prędkością kątową w czasie :

Różniczkujemy z po czasie

druga pochodna po czasie:

Każde różniczkowanie po czasie daje obrót fazora o 90 ^o .

Przy całkowaniu efekt jest odwrotny :

To znaczy następuję obrót o -90^o.