Zad 4. Jednowymiarowa transformacja Fouriera - prosta i odwrotna. Warunki istnienia. Transformacja w dziedzinie czasu oraz przestrzeni - częstość przestrzenna.

Transformacja Fouriera jest to operacja matematyczna, transformacja całkowa w dziedzinie częstotliwości. Została tak nazwana na cześć Jean Baptiste Joseph Fouriera.

Transformata jest to wynik transformacji Fouriera. (transformata-funkcja; transformacja-operacja na funkcji dająca transformatę).

Transformacja Fouriera
funkcji
zdefiniowana jest przez całkę:

Dla istnienia powyższej całki konieczne jest spełnienie dwóch warunków:

- warunek Dirichleta - skończona liczba nieciągłości funkcji

- warunek zbieżności całki niewłaściwej

(wynika z niego bezwzględna całkowalność funkcji w przedziale (-∞,∞) to znaczy bezwzględna zbieżność całki:

Dla spełnienia warunku (*) konieczne jest aby sama funkcja zbieżna była do zera w nieskończoności.

W większości zagadnień fizycznych, pola i sygnały spełniają powyższe założenia, dlatego warunki istnienia transformacji nie są zazwyczaj dyskutowane.

Zdefiniowana powyżej transformacja jest operacją matematyczną wiążącą funkcję f(x) określoną w dziedzinie liczb rzeczywistych
z jej widmem Fourierowskim F(u) gdzie
.

W zastosowaniach inżynierskich zmienne występujące w transformacie Fouriera są zazwyczaj wielkościami fizycznymi. Jeśli funkcja f zależy od czasu [s] to jej widmo Fourierowskie F określone jest w dziedzinie częstotliwości mierzonych w hercach [Hz=1/s]. Jeśli funkcja f określona jest w przestrzeni x, gdzie odległości mierzone są w metrach, to u określa częstości przestrzenne. Częstości przestrzenne mierzone są w jednostkach 1/m. (np. „Jeżeli odstępy pomiędzy liniami siatki dyfrakcyjnej wynoszą 0,005mm, to mówimy że częstość przestrzenna wynosi 200 linii na milimetr.”)

Transformacja odwrotna:

Transformata F(x) określa amplitudy poszczególnych składowych harmonicznych
. Stosując te amplitudy można zrekonstruować oryginalny sygnał poprzez następującą superpozycję:

Która znana jest pod nazwą odwrotna transformacja Fouriera.

„Dokładniej twierdzenie Fouriera mówi, że powyższa superpozycja odtwarza funkcję f(x) w punktach ciągłości, natomiast w punktach nieciągłości daje wartość stanowiącą średnią pomiędzy lewo- i prawostronną granicą funkcji.”

---