1

1

informatyka +

2

TRÓJKĄT I JEGO

WŁASNOŚCI

Bronisław Pabich

Agnieszka Rogalska

3

WSTĘP

Geometria trójkąta jest tematem objętym programem nauczania
matematyki w szkole ponadgimnazjalnej. Takie pojęcia, jak środek
okręgu opisanego na trójkącie, ortocentrum, środek ciężkości
mają wiele interesujących własności, które w ostatnich latach
zostały odkryte przy użyciu dynamicznych programów
geometrycznych, wśród nich również GeoGebry.
Seria lekcji poświęconych zagadnieniom trójkąta jest
przygotowana tak, by uczeń mógł poczuć się odkrywcą nieznanej
Ci wiedzy z planimetrii.
Lekcje mają również na celu ukazanie wybranych fragmentów
geometrii trójkąta od strony ich zastosowania w innych
dziedzinach życia.
Posługujemy się programem typu OpenSource – GeoGebra – jego
instalacja znajduje się na platformie.
Scenariusz „Trójkąt i jego własności” składa się z pięciu jednostek
lekcyjnych. Można je realizować w dłuższym czasie w zależności
od potrzeb. Wybrano tu kilkanaście problemów geometrii trójkąta,
które pomnażają wiedzę o nim na poziomie ucznia pierwszej klasy
liceum.

4

Polecenia zawarte w lekcjach traktujemy tak jak polecenia w arkuszu
pracy przy wykonywaniu etapów konstrukcji geometrycznych
z GeoGebrą.
Przygotowane pliki GeoGebry zawierają pola wyboru (przyciski) wraz
z opisem.
Wciskając je, uwidaczniamy obiekty geometryczne, na które należy
zwrócić szczególną uwagę.
Dzięki temu można manipulować nimi, dostrzegać własności trójkątów,
odkrywać nowe własności, stawiać hipotezy, dowodzić i formułować
twierdzenia.
W sytuacjach instrukcji zbyt trudnych korzystamy z gotowych plików
programu GeoGebra, które znajdują się na platformie, a które
wywołujesz
bezpośrednio w tym pokazie.

Dowody wybranych twierdzeń można obejrzeć jako dokumenty Worda,
klikając w odpowiedni przycisk akcji w pokazie.

WSTĘP

5

Link do pliku GeoGebry

W pokazie przyjęto następujące oznaczenia:

Link do filmu

Link do dowodu

Polecenia „Zrób to sam”

6

LEKCJA 1

ORTOCENTRUM TRÓJKĄTA

I JEGO WŁASNOŚCI

7

W gimnazjum poznałeś pojęcie wysokości trójkąta.
Na ogół mówi się, że wysokość trójkąta to odcinek łączący jego wierzchołek z
jego rzutem prostokątnym na przeciwległy mu bok lub jego przedłużenie.

W literaturze matematycznej rozważa się często tzw. przedłużenie wysokości
trójkąta i wówczas mamy na myśli proste prostopadłe do boku trójkąta
przechodzące przez wierzchołek leżący naprzeciw tego boku.

Zauważmy, że wysokości trójkąta są równoległe do symetralnych jego boków.
Ten fakt ułatwia dowodzenie wielu twierdzeń o wysokościach
i symetralnych boków trójkąta.

WYSOKOŚCI

TRÓJKĄTA

8

Każdy trójkąt ma trzy takie wysokości.
Ćwiczenie zamieszczone w pliku GeoGebry w kolejnym slajdzie upewni
Cię w przekonaniu, że przedłużenia tych wysokości przecinają się
w jednym punkcie, zwanym

ortocentrum trójkąta

(orto [gr] =

prostopadły, centrum [gr] = środek).

WYSOKOŚCI TRÓJKĄTA

9

W dowolnym trójkącie ABC poprowadź prostą prostopadłą do
boku BC
przechodzącą przez wierzchołek A tego trójkąta.
Gdy trójkąt jest ostrokątny, wówczas prosta ta przecina bok BC.
Jeśli jednak chwycisz myszą za wierzchołki C lub B i przesuniesz
je tak,
by trójkąt był rozwartokątny, to prosta ta pozostaje dalej na
ekranie.

Uaktywnij w tej konstrukcji przyciski:

WYSOKOŚCI TRÓJKĄTA

10

Niech punkt A’ będzie punktem wspólnym tej prostej i prostej
zawierającej
bok BC trójkąta.
Powtórz opisaną czynność dla pozostałych wierzchołków i boków
trójkąta ABC, uzyskując punkty B’ i C’ .

WYSOKOŚCI TRÓJKĄTA

11

Utwórz odcinki AA’, BB’ i CC’. Są to wysokości trójkąta ABC.
Punkty A’, B’ i C’ będziemy nazywać

spodkami wysokości

.

Czy spodki wysokości należą zawsze do boków trójkąta?

Zauważ, że niezależnie od położenia wierzchołków trójkąta jego
wysokości zawsze przecinają się w pewnym punkcie.
Punkt ten nazywamy

ortocentrum trójkąta

. Oznacz go literą

H

.

(z j. ang. hight = wysokość).

ORTOCENTRUM TRÓJKĄTA

12

Obierz na każdym z boków trójkąta po jednym dowolnym
punkcie
i oznacz je kolejno: K na boku AB, L na boku CB i M na boku
AC.
Utwórz trójkąt KLM i zmierz jego obwód. Przesuwaj punkty
K, L i M po bokach trójkąta ABC i obserwuj, jak zmienia się
obwód trójkąta KLM.
Kiedy jest on najmniejszy, kiedy największy?
Skorzystaj ze wskazówki umieszczonej w pliki GeoGebry.
Sformułuj odkrytą własność.

TRÓJKĄT O WIERZCHOŁKACH NA BOKACH INNEGO

TRÓJKĄTA

13

Czy zauważyłeś, że trójkąt ostrokątny KLM ma najmniejszy
obwód
w sytuacji, gdy jego wierzchołki K, L i M są spodkami wysokości
tego trójkąta?
O trójkącie KLM powiemy, że jest

trójkątem spodkowym

.

Zatem: z wszystkich trójkątów, których wierzchołki znajdują się
na bokach trójkąta ABC najmniejszy ma obwód ten, który jest
trójkątem spodkowym trójkąta ABC.

Uaktywniaj przyciski GeoGebry by obserwować położenie
punktów K, L i M oraz obwód trójkąta KLM.

TRÓJKĄT SPODKOWY

14

Ortocentrum każdego trójkąta ma niezwykle proste, ale bardzo
interesujące własności. Kilka z nich odkrył w latach 50. poprzedniego
stulecia węgierski matematyk George Pólya - wielki popularyzator
wiedzy matematycznej.
Poniższe dynamiczne eksperymenty ułatwią Ci odkrycie tych
własności.

WŁASNOŚCI ORTOCENTRUM TRÓJKĄTA

15

Utwórz dowolny trójkąt ABC. Skonstruuj jego ortocentrum H.
Skonstruuj okrąg opisany na trójkącie ABC. Poprowadź proste
zawierające boki trójkąta i przekształć ortocentrum H w
symetrii względem tych prostych.
Otrzymane punkty oznacz: H

1

=S

AC

(H), H

2

= S

CB

(H), H

3

= S

AB

(H).

Jakie jest położenie tych punktów względem okręgu opisanego
na trójkącie ABC?

WŁASNOŚCI ORTOCENTRUM TRÓJKĄTA

16

Skonstruuj środki A’, B’, C’ boków trójkąta ABC.
Przekształć ortocentrum H w symetrii środkowej względem
punktów A’, B’, C’ .
Otrzymane punkty oznacz:

H’ =S

A’

(H), H ‘’= S

B’

(H), H’’’ =S

.C.’

B(H)

Jakie jest położenie punktów H’, H’’, H’’’

OBRAZY ORTOCENTRUM TRÓJKĄTA W
SYMETRIACH

17

Czy zauważyłeś, że niezależnie od wielkości i kształtu trójkąta
ABC obrazy jego ortocentrum H względem boków trójkąta leżą
zawsze na okręgu opisanym na nim?

Czy to przypadek?

Podobnie, niezależnie od wielkości i kształtu trójkąta ABC obrazy
jego ortocentrum H względem środków boków trójkąta też leżą
zawsze na okręgu na nim opisanym.

Można powiedzieć, że na okręgu opisanym na trójkącie znajduje
się dziewięć tzw. punktów charakterystycznych trójkąta: trzy jego
wierzchołki, trzy obrazy ortocentrum w symetrii względem jego
boków i trzy obrazy ortocentrum względem środków jego boków.

Jak się później dowiesz, nie są to jedyne punkty
charakterystyczne trójkąta, leżące na okręgu opisanym na nim.

OBRAZY ORTOCENTRUM TRÓJKĄTA W
SYMETRIACH

18

Odkryte punkty charakterystyczne trójkąta ABC nie są
przypadkowymi punktami. Utwórzmy kilka odcinków łaczących
niektóre z nich.
Rozważ sześciokąt powstały z połączenia wierzchołków trójkąta
ABC z H’, H’’, H’’’. Dorysuj odcinki AH, BH i CH i spójrz na całość
jak na rysunek przestrzenny.
Czy dostrzegasz w nim rzut jakiegoś znanego Ci obiektu
przestrzennego?

OBRAZY ORTOCENTRUM TRÓJKĄTA W
SYMETRIACH

19

Jak niewątpliwie zauważyłeś, utworzone odcinki zamknęły się
w rzut pewnego prostopadłościanu.
W rzucie tego prostopadłościanu brakuje jednak ósmego
wierzchołka. Gdzie należy go umieścić, by konstrukcja
przedstawiała kompletny rzut tego przestrzennego obiektu?

Spróbuj tak ustawić położenia wierzchołków trójkąta ABC, by
rzut tego prostopadłościanu stał się dokładnie rzutem
sześcianu?

Jakim trójkątem wówczas jest trójkąt ABC?

OBRAZY ORTOCENTRUM TRÓJKĄTA W

SYMETRIACH

20

Aby znaleźć ósmy wierzchołek, powinniśmy wykreślić trzy
dodatkowe proste równoległe do wykreślonych już rzutów
krawędzi tego prostopadłościanu.

Ilustruje oto poniższa konstrukcja GeoGebry.

OBRAZY ORTOCENTRUM TRÓJKĄTA W
SYMETRIACH

21

Jeżeli masz trudności z odpowiedzią na to pytanie, skonstruuj
równoległą do odcinka WB przechodzącą przez punkt H’’ i
równoległą do odcinka HA przechodzącą przez punkt H’.
Niech punkt U będzie punktem wspólnym tych prostych.

Poprowadź odcinki UH’, UH’’ i UH’’’ .
Czy teraz dostrzegasz pełny kształt rzutu znanego Ci
wielościanu?

OBRAZY ORTOCENTRUM JAKO WIERZCHOŁKI RZUTU

PROSTOPADŁOŚCIANU

22

Czy dostrzegasz, jakim szczególnym punktem jest znaleziony

ósmy

wierzchołek sześcianu, którego rzut utworzył się na ekranie?
Jeśli nie, to zaobserwuj relację, w jakiej znajduje się ten punkt,
ortocentrum i środek okręgu opisanego.

Czy zauważyłeś, że poszukiwany ósmy wierzchołek rzutu

sześcianu

jest obrazem ortocentrum trójkąta ABC w symetrii względem

środka

okręgu opisanego na nim?

OBRAZY ORTOCENTRUM JAKO WIERZCHOŁKI RZUTU

PROSTOPADŁOŚCIANU

23

TWIERDZENIA

Obrazy ortocentrum H tego trójkąta w symetrii
osiowej względem prostych zawierających jego boki
znajdują się na okręgu opisanym na tym trójkącie.

Obrazy ortocentrum (punkty odpowiednio H’, H’’,
H’’’)
w symetrii względem środków boków BC, CA i AB
trójkąta znajdują się na okręgu opisanym na nim

.

24

TWIERDZENIA

Siedem punktów: trzy wierzchołki trójkąta, trzy
obrazy ortocentrum w symetrii względem boków
trójkąta oraz ortocentrum H trójkąta po odpowiednim
połączeniu odcinkami tworzą rzut pewnego
prostopadłościanu.

Ósmy wierzchołek w tym rzucie prostopadłościanu
jest obrazem ortocentrum w symetrii względem
środka okręgu opisanego na tym trójkącie.

Gdy trójkąt ABC jest trójkątem równobocznym,
wówczas rzut prostopadłościanu staje się rzutem
sześcianu.

25

LEKCJA 2

ŚRODKOWE TRÓJKĄTA

I ŚRODEK CIĘŻKOŚCI

TRÓJKĄTA

26

Mechanicy, fizycy, inżynierowie, akrobaci cyrkowi, tancerki, a

nawet

kominiarze to zawody wymagające dobrej znajomości pojęcia

środka

ciężkości.
Dla figury płaskiej jest to taki jej punkt, który zastępuje masę

(ciężar)

całej figury.
Zajmijmy się poszukiwaniem takiego punktu dla trójkąta.

ŚRODEK CIĘŻKOŚCI FIGURY PŁASKIEJ

27

W dowolnym trójkącie ABC wyznacz środki jego boków.
Oznacz odpowiednio:
środek boku BC jako A’, boku CA jako B’ i wreszcie boku AB
jako C’.
Utwórz odcinki AA’, BB’.
Znajdź punkt przecięcia S tych odcinków.
Poprowadź odcinek CC’.
Czy odcinek CC’ przechodzi przez punkt S?
Sprawdź to po zmianie położenia wierzchołków trójkąta.

ŚRODKOWE TRÓJKĄTA

28

Odcinki AA’, BB’ i CC’ nazywamy

środkowymi trójkąta

a punkt przecięcia tych odcinków - jego

środkiem ciężkości

.

Aby zrozumieć jego znaczenie, wykonaj pewien prosty
eksperyment.
Wytnij z grubszej sklejki lub pilśni dowolny trójkąt i skonstruuj
jego
środek ciężkości.
Obróć ten trójkąt „do góry nogami” i podłuż w wyznaczonym
punkcie środka jego ciężkości zaostrzony przedmiot (długopis,
gwóźdź, cyrkiel itp.).

Czy trójkąt ten utrzymuje się stale w równowadze?
Film prezentuje to doświadczenie.

Utworzone przez Ciebie odcinki dzielą
trójkąt ABC na sześć trójkątów.
Utwórz je w GeoGebrze, a następnie
odczytaj ich pola obliczone przez
program.
Co zauważasz interesującego?

ŚRODEK CIĘŻKOŚCI TRÓJKĄTA

29

Poruszając wierzchołkami trójkąta ABC możesz zaobserwować,
że położenie środka ciężkości na każdej ze środkowych nie jest
przypadkowe.
Zmierz dla przykładu długości odcinków AS i SA’.
Wykorzystując kalkulator oblicz iloraz AS/SA’.
Czy jest on przypadkową liczbą?
Poruszaj wierzchołkami trójkąta i obserwuj, czy ta liczba się zmienia.
Oblicz ilorazy długości pozostałych par odcinków: BS/SB’ i CS/SC’.
Sformułuj odkryte własności trójkąta, jego środkowych i środka
ciężkości.

WŁASNOŚĆ ŚRODKA CIĘŻKOŚCI TRÓJKĄTA

30

Zauważ, że niezależnie od rodzaju trójkąta środek ciężkości
zawsze znajduje się w jego wnętrzu.
Czy tę własność posiadają jednak inne wielokąty?
Sprawdźmy to na przykładzie czworokąta.

Ale jak znaleźć geometrycznie jego środek ciężkości?
Oto film ilustrujący kolejne kroki konstrukcji środka ciężkości
czworokąta.

ŚRODEK CIĘŻKOŚCI CZWOROKĄTA

31

Zauważmy, że jeśli czworokąt będzie wklęsły, to jego środek

ciężkości

znika, gdyż skonstruowane odcinki S

1

S

2

i S

3

S

4

nie przecinają się.

A

B

C

D

TR1

S1

S1

S2

TR2

S2

TR3

S3

S3

S4

TR4

S4

S1S2

S3S4

S

A

B

C

D

TR1

S1

S1

S2

TR2

S2

TR3

S3

S3

S4

TR4

S4

S1S2

S3S4

S

ŚRODEK CIĘŻKOŚCI CZWOROKĄTA

32

Czy to oznacza, że mimo tego ten czworokąt nie posiada środka ciężkości?
Nie, on znajduje się poza tym czworokątem. Można się o tym przekonać,
wykonując proste doświadczenie:
Dwa widelce umieszczamy jeden w drugim, a następnie zawieszamy je
w równowadze za pomocą prętu.
Mimo że widelce te stanowią figurę wklęsłą, to utrzymują się w równowadze,
a położenie palca podtrzymującego tę konstrukcję wskazuje środek ciężkości
tego wklęsłego układu widelców. Leży on zdecydowanie poza układem.

ŚRODEK CIĘŻKOŚCI CZWOROKĄTA WKLĘSŁEGO

33

Środek ciężkości trójkąta, czworokąta lub innego wielokąta można
odnaleźć również w programie GeoGebra za pomocą jednego
polecenia:

ŚrodekCiężkości[nazwa wielokąta]

ŚRODEK CIĘŻKOŚCI DOWOLNEGO WIELOKĄTA

34

Jeśli znamy współrzędne wierzchołków trójka, wówczas współrzędne jego
środka ciężkości są średnimi arytmetycznymi współrzędnych jego
wierzchołków. Sprawdźmy to na przykładzie. Odcięta i rzędna punktu S

Przyjmują wartości: co zgadza się

z obliczeniami GeoGebry.

1

3

5

1

3









1

3

4

2

1







WSPÓŁRZĘDNE ŚRODKA CIĘŻKOŚCI
TRÓJKĄTA

35

TWIERDZENIA

Środkowe dowolnego trójkąta przecinają się w jednym
punkcie, który jest środkiem ciężkości trójkąta.

Punkt ten dzieli każdą środkową na dwa odcinki,
których stosunek dłuższego do krótszego wynosi
zawsze 2.

36

LEKCJA 3

DWUSIECZNE I

SYMETRALNE TRÓJKĄTA A

OKRĄG DWUNASTU

PUNKTÓW TRÓJKĄTA

37

W gimnazjum nauczyłeś się konstruować symetralne boków
trójkąta
i dwusieczne jego kątów.
Przypomnijmy, że punkt przecięcia się symetralnych wyznacza
środek okręgu opisanego na trójkącie, zaś punkt przecięcia się
dwusiecznych wyznacza środek okręgu wpisanego w trójkąt.
Okazuje się, że pomiędzy symetralnymi i dwusiecznymi zachodzi
interesująca relacja, odkryta w Polsce w 1995 roku, którą teraz Ty
będziesz mógł odkryć.

DWUSIECZNE I SYMETRALNE W TRÓJKĄCIE

38

Rozważ dowolny trójkąt ABC i okrąg opisany na nim.
Możesz zmieniać dowolnie położenie wierzchołków trójkąta ABC.

Zaobserwuj, jak położone są względem siebie: symetralna boku BC
i dwusieczna kąta BAC.
Czy mogą być do siebie równoległe?
Czy przecinają się?
Jeśli tak, to gdzie?
Czy uważasz to położenie za przypadkowe?

Sprawdź czy tę własność spełniają inne symetralne i dwusieczne

tego

trójkąta.

DWUSIECZNE I SYMETRALNE W TRÓJKĄCIE

39

PUNKTY PRZECIĘCIA DWUSIECZNYCH I

SYMETRALNYCH TRÓJKĄTA

40

Skonstruuj trójkąt, którego wierzchołkami są punkty przecięcia
się
symetralnych i dwusiecznych trójkąta ABC.
Niech to będzie trójkąt A’B’C’’.
Czym są dwusieczne kątów trójkąta ABC dla trójkąta A’B’C’?

PUNKTY PRZECIĘCIA DWUSIECZNYCH I

SYMETRALNYCH TRÓJKĄTA

41

Rozważ trójkąt A’’B’’C’’, którego wierzchołki są punktami
przecięcia
dwusiecznych trójkąta ABC z bokami trójkąta A’B’C’.
Trójkąt ten jest dla trójkąta A’B’C’ trójkątem spodkowym.

TRÓJKĄT O WIERZCHOŁKACH W PUNKTACH

PRZECIĘCIA

DWUSIECZNYCH I SYMETRALNYCH TRÓJKĄTA

42

Jakie jest jego położenie względem trójkąta ABC?
Zmierz boki obu trójkątów.
W jakim przekształceniu trójkąt A’’B’’C’’ jest obrazem trójkąta
ABC?

Opisz na trójkącie A’’B’’C’’ okrąg i zastanów się, w jakiej relacji
pozostają promienie tego okręgu i okręgu opisanego na trójkącie
A’B’C’.

Znajdź środek W jednokładności trójkątów A’’B’’C’’ i ABC.
W trakcie konstruowania prostych AA’’, BB’’ i CC’’,
zaobserwuj, czym są te proste dla trójkąta A’B’C’?

TRÓJKĄT O WIERZCHOŁKACH W PUNKTACH

PRZECIĘCIA

DWUSIECZNYCH I SYMETRALNYCH TRÓJKĄTA

43

TRÓJKĄT O WIERZCHOŁKACH W PUNKTACH

PRZECIĘCIA

DWUSIECZNYCH I SYMETRALNYCH TRÓJKĄTA

44

Utwórz okrąg o(A’,A’B).
Które jeszcze punkty należą do tego okręgu? Dlaczego?

Zmierz kąty CA’C’’ i C’’AW, a następnie kąty WA’B’’ i B’’A’B.
Co dostrzegasz? Czy ma to jakiś związek z okręgiem o(A’, A’B)?

Sformułuj treść odkrytego przez Ciebie twierdzenia.
Spróbuj je udowodnić?
Zbadaj relacje między dwusiecznymi a bokami trójkąta A’B’C’.

TRÓJKĄT O WIERZCHOŁKACH W PUNKTACH

PRZECIĘCIA

DWUSIECZNYCH I SYMETRALNYCH TRÓJKĄTA

45

TRÓJKĄT O WIERZCHOŁKACH W PUNKTACH

PRZECIĘCIA

DWUSIECZNYCH I SYMETRALNYCH TRÓJKĄTA

46

A teraz spróbujemy dostrzec zależność pomiędzy punktami

przecięcia

się dwusiecznych kątów trójkąta z symetralnymi jego boków

w kontekście poznanych już wcześniej sześciu obrazów
ortocentrum trójkąta w symetriach jego boków i w symetriach
względem środków tych boków.

Łącznie z wierzchołkami trójkąta jest 12 takich punktów. Wszystkie

leżą na okręgu opisanym na trójkącie.

Sprawdź to, poruszając wierzchołkami trójkąta. Spróbujmy

dopatrzeć się zależności położeń tych punktów i punktów
przecięcia się symetralnych z dwusiecznymi.

OKRĄG DWUNASTU PUNKTÓW

TRÓJKĄTA

47

TWIERDZENIA

Dwusieczne kątów i symetralne przeciwległych im
boków przecinają się w punktach na okręgu opisanym
na tym trójkącie.

Punkty te są wierzchołkami nowo utworzonego trójkąta,
którego wysokości pokrywają się z dwusiecznymi
poprzedniego trójkąta.

Trójkąt spodkowy nowo utworzonego trójkąta jest
jednokładny
z trójkątem bazowym w skali 1/2.

Punkty przecięcia się symetralnych boków trójkąta z
dwusiecznymi jego kątów są środkami łuków o końcach
będących obrazami ortocentrum w symetrii względem
boków trójkąta i środków tych boków.

48

LEKCJA 4

TRÓJKĄTY RÓWNOBOCZNE

ZBUDOWANE NA BOKACH

DOWOLNEGO TRÓJKĄTA

49

Historia matematyki zna takie sytuacje, w których kilku

matematyków,

zajmując się niemal tym samym problemem, odkryło niezależnie od
siebie wiele znaczących równych twierdzeń dotyczących trójkąta.

Tak się stało w wieku XVII i XVIII, kiedy któryś z matematyków

utworzył

na bokach dowolnego trójkąta trójkąty równoboczne.

Okazało się wówczas, że w takiej konfiguracji można było dość

szybko dostrzec kilka interesujących własności. Odkrycie innych
wymagało

już dokładniejszego przyjrzenia się trójkątowi.

W kolejnych slajdach będziesz miał możliwość poznania tych bardzo
popularnych własności trójkąta.

TWIERDZENIE NAPOLEONA

BARLOTTIEGO

50

Na bokach dowolnego trójkąta ABC skonstruowane są trójkąty
równoboczne.
Chwyć myszą za jeden z wierzchołków trójkąta ABC, by się o
tym przekonać.
Jakim trójkątem jest trójkąt PQR?
Odpowiedz na to pytanie poruszając wierzchołkami A, B, C w
poniższej konstrukcji GeoGeobry.

TWIERDZENIE NAPOLEONA

BARLOTTIEGO

51

Czy możesz tak ustalić położenie punktów A, B i C, aby
cztery
z pięciu trójkątów widocznych na ekranie pokryły się?
Co dzieje się wówczas z piątym trójkątem?

TWIERDZENIE NAPOLEONA

BARLOTTIEGO

52

Czy dostrzeżona przez Ciebie własność pozostaje prawdziwa, gdy trójkąty
BCL, ABK i ACM będą skonstruowane „do wnętrza” trójkąta bazowego
ABC?

Dla zbadania tego problemu wykonaj własną konstrukcję. W tworzeniu jej
użyj makrokonstrukcję trójkąta równobocznego oraz makrokonstrukcję
ortocentrum trójkąta.

Poniżej znajduje się link do filmu opisującego sposób tworzenia
tych makrokonstrukcji w GeoGebrze.

TWIERDZENIE NAPOLEONA

BARLOTTIEGO

53

Twierdzenie to odkrył znany z historii wódź francuski Napoleon

Bonaparte.

Przez dorysowanie trójkątów równobocznych na bokach dowolnego
trójkąta można jeszcze odkryć kilka innych własności. Na kolejnym
slajdzie zobaczysz przygodę matematyczną zwaną problemem
Torricellego  Fermata.

W tym celu na bokach dowolnego trójkąta ABC, w którym żaden z

kątów

wewnętrznych nie przekracza miary 120º skonstruuj trójkąty

równoboczne.

TWIERDZENIE NAPOLEONA

BARLOTTIEGO

54

Chwyć myszą za jeden z wierzchołków trójkąta ABC by się o tym
przekonać.
Utwórz trzy odcinki, z których każdy łączy jeden z wierzchołków
trójkąta ABC z wierzchołkiem trójkąta skonstruowanego na boku
przeciwległym
temu wierzchołkowi. Poruszaj dowolnym z wierzchołków trójkąta
ABC
i obserwuj zachowanie się utworzonych odcinków.

Czy odcinki te przecinają się?
Czy zawsze?
Który z nich jest najdłuższy?
Czy proste zawierające te odcinki przecinają
się ze sobą?

TWIERDZENIE TORRICELLEGO

55

TWIERDZENIE TORRICELLEGO

56

Oznacz przez T punkt, w którym przecinają się odcinki AL, BM i CK.
Punkt ten nazywamy punktem Torricellego (Jan Evangelista
Torricelli 1608-1647).

TWIERDZENIE TORRICELLEGO

57

Zmierz kąty, jakie tworzą te odcinki między sobą. Co dostrzegasz?
Na każdym z trzech skonstruowanych trójkątów równobocznych
opisz okrąg.
Czy tak skonstruowane okręgi przecinają się?
Czy zawsze? Jeżeli tak, to gdzie znajduje się ich wspólny punkt?

TWIERDZENIE TORRICELLEGO

58

Rozważ odcinek łączący środki dwóch skonstruowanych okręgów
opisanych i odcinek łączący wierzchołek nowo powstałego
trójkąta równobocznego, na którym jest opisany trzeci okrąg z
wierzchołkiem trójkąta ABC, który nie należy do tego trójkąta
równobocznego.

Jak te odcinki są położone względem siebie? Sprawdź swoje
przypuszczenia.

PUNKT TORRICELLEGO

59

Punkt T zwany punktem Torricellego ma jeszcze jedną szczególną
własność.
Poniższa konstrukcja pozwoli Ci ją odczytać.
Porównaj ze sobą wartość sumy odległości punktu T od
wierzchołków trójkąta i tę samą sumę dla dowolnego punktu P
różnego od T.
Poruszaj punktem P i znajdź takie jego położenie, by PA + PB + PC
było minimalne.

PUNKT TORRICELLEGO

60

Problem poszukiwania punktu P, dla którego PA + PB + PC jest
minimalne postawił francuski matematyk Pierre Fermat.
Okazuje się, że punkt Torricellego jest równocześnie punktem
Fermata.

Pierre Fermat (1601-1665) rozwiązał swój problem w bardzo
oryginalny sposób. Potem dostrzeżono, że jego rozwiązanie
pokrywa się z punktem Torricellego.
Jeśli chcesz poznać rozwiązanie Fermata, obejrzyj film

Znajdź w Internecie biografię Pierre’a Fermata.
Dowiedz się również, co to są problemy
optymalizacyjne.
Czy problem Fermata należy do nich?

PUNKT FERMATA  TORRICELLEGO

61

TWIERDZENIA

Jeżeli na bokach dowolnego trójkąta skonstruujemy
trójkąty równoboczne, to trójkąt, którego wierzchołkami
są ortocentra tych trójkątów jest też równoboczny.

Autorem tego twierdzenia jest znany z historii Napoleon
Bonaparte oraz
włoski matematyk Adriano Barlotti, który w 1955 roku uogólnił
to twierdzenie.
Spróbuj przenieść analogicznie to twierdzenie na kwadraty i
sześciokąty foremne zbudowane na bokach dowolnego trójkąta
czworokąta lub sześciokąta. Czy są one prawdziwe?

62

TWIERDZENIA

Jeżeli na bokach dowolnego trójkąta, w którym żaden z
kątów nie przekracza miary 120º skonstruujemy trójkąty
równoboczne, wówczas odcinki łączące dowolny
wierzchołek trójkąta bazowego
z wierzchołkiem trójkąta dorysowanego na boku
przeciwległym temu wierzchołkowi są równej długości.

Proste w których te odcinki zawierają się, przecinają się
zawsze
w jednym punkcie zwanym punktem Torricellego 

Fermata i tworzą między sobą kąt 120º (60º).

Okręgi opisane na dorysowanych trójkątach przecinają się
również
w punkcie Torricellego  Fermata, przy czym odcinek

łączący środki dwóch z nich jest prostopadły do odcinka
łączącego trzeci wierzchołek trójkąta z punktem
Torricellego.

63

LEKCJA 5

PROSTA I OKRĄG EULERA

64

Wspomniane w poprzednich lekcjach punkty charakterystyczne trójkąta
mają jeszcze wiele rozmaitych własności. Kilka z nich zawdzięczamy
odkryciom dokonanym przez wybitnego matematyka szwajcarskiego,
który część swego życia spędził w ówczesnej Rosji, a następnie w Berlinie.
Ciekawostką jest fakt, że matematyk ten od 50. roku stracił całkowicie
wzrok.

Mimo tego faktu jego niesamowita pamięć i zdolność obliczania

w pamięci skomplikowanych obliczeń pozwoliła mu rozwiązać wiele
problemów z matematyki, które pieczołowicie spisywali jego synowie.

Leonard Euler, bo o nim mowa, dzięki słynnym mostom królewieckim,
stworzył podwaliny teorii grafów. W trójkącie odnalazł własności znane
pod nazwą prostej i okręgu Eulera.

LEONARD EULER

65

Rozważmy dowolny trójkąt ABC.

Wyznaczmy punkty charakterystyczne trójkąta, do których
zaliczamy: ortocentrum (H), środek ciężkości (M), punkt
przecięcia się środkowych, środek okręgu opisanego i
wpisanego.

Chwyć myszą dowolny wierzchołek trójkąta i zaobserwuj, jak
w trakcie zmiany jego położenia zmienia się położenie tych
punktów względem trójkąta i względem siebie.

Czy ortocentrum H może zająć położenie jednego z
wierzchołków trójkąta?
Gdzie wówczas znajduje się punkt O? Jaki to trójkąt ?

PROSTA LEONARDA EULERA

66

Zwróć szczególną uwagę na punkty H, M i O.
Czy może się zdarzyć, by któreś trzy z nich były współliniowe?
Jeżeli tak, to jakie jest ich uporządkowanie na tej wspólnej
prostej?
Który z tej trójki punktów znajduje się pomiędzy pozostałymi?

PROSTA LEONARDA EULERA

67

Utwórz odcinki MH i MO.
Zmierz je i zaobserwuj, jaka relacja zachodzi między ich

długościami
w trakcie zmiany położenia wierzchołków trójkąta ABC.

PROSTA LEONARDA EULERA

68

Rozważ w dowolnym trójkącie ABC środki A’, B’ i C’ jego boków
i skonstruuj okrąg przechodzący przez te punkty.

Jakim szczególnym punktem trójkąta jest środek E tego okręgu?
Dla ułatwienia skonstruuj odcinek OH, gdzie O jest środkiem
okręgu
opisanego na trójkącie ABC, zaś H jego ortocentrum

Poprowadź wysokości AH

1

, BH

2

i CH

3

, gdzie punkty H

1

, H

2

i H

3

są

ich spodkami.
Gdzie znajdują się te punkty?
Czy jest to fakt przypadkowy?
Poruszaj dowolnym z wierzchołków trójkąta ABC i zaobserwuj, czy
to, co
dostrzegłeś jest prawdziwe w przypadku innych trójkątów?

OKRĄG LEONARDA EULERA

69

Skonstruuj środki P, Q i R odcinków HA, HB i HC,
gdzie H jest ortocentrum trójkąta ABC.
Gdzie znajdują się te trzy nowopowstałe punkty?
Czy ten fakt jest przypadkowy?
Znowu zmień położenie wierzchołków trójkąta
i zaobserwuj, czy własności dostrzeżone przez Ciebie zmieniły
się?

OKRĄG LEONARDA EULERA

70

Zmierz promień okręgu opisanego (np. OA) i promień okręgu o środku E
(np. EC).
Co tym razem dostrzegasz?
Zbadaj, czy środek okręgu Eulera leży na prostej Eulera.

Sformułuj w postaci twierdzenia odkryte fakty i spróbuj je
uzasadnić.

OKRĄG LEONARDA EULERA

71

TWIERDZENIA

Środek okręgu opisanego na dowolnym trójkącie, środek
ciężkości i ortocentrum tego trójkąta leżą na wspólnej
prostej zwanej prostą Eulera, przy czym środek ciężkości
leży zawsze pomiędzy pozostałymi punktami i jego
odległość od ortocentrum jest dwukrotną odległością od
środka okręgu opisanego.

72

TWIERDZENIA

Środki boków dowolnego trójkąta i spodki jego wysokości
należą do wspólnego okręgu, zwanego okręgiem Eulera -
Feuerbacha.
Do okręgu tego należą również środki odcinków łączących
ortocentrum trójkąta z każdym z jego wierzchołków.
Środek tego okręgu znajduje się w środku odcinka
łączącego ortocentrum ze środkiem okręgu opisanego na
trójkącie, a długość jego promienia jest połową długości
promienia okręgu opisanego na trójkącie.

73

ZAMKNIĘTE

OTWARTE