Kształtowanie elementarnych pojęć geometrycznych w edukacji wczesnoszkolnej

1. Wymagania programowe

Kończąc przedszkole, dziecko:

- wie, na czym polega pomiar długości i zna proste sposoby mierzenia: krokami, stopa za stopą;

- potrafi określić kierunki oraz miejsca na kartce papieru, rozumie polecenia (np. narysuj koło w lewym górnym rogu kartki, narysuj szlaczek) , zaczynając od lewej strony kartki;

- rozumie sens informacji podanych w formie uproszczonych rysunków oraz często stosowanych oznaczeń symboli np. w przedszkolu, na ulicy, na dworcu.

Na koniec klasy I:

- dostrzega symetrię (np. rysując motyla), zauważa, że jedna figura jest powiększeniem lub pomniejszeniem drugiej; kontynuuje regularny wzór (np. szlaczek);

- w zakresie pomiaru długości: mierzy długość posługując się np. linijką; porównuje długości obiektów.

Kończąc klasę III:

- mierzy i zapisuje wynik pomiaru długości, szerokości i wysokości przedmiotów oraz odległości; posługuje się jednostkami: milimetr, centymetr, metr; wykonuje łatwe obliczenia dotyczące tych miar (bez zmiany jednostek i wyrażeń dwumianowanych w obliczeniach formalnych); używa pojęcia kilometr w sytuacjach życiowych, np. jechaliśmy autobusem 27 kilometrów (bez zmiany na metry);

- rozpoznaje i nazywa koła, kwadraty, prostokąty i trójkąty (również nietypowe, położone w różny sposób oraz w sytuacji, gdy figury zachodzą na siebie); rysuje odcinki o podanej długości; oblicza obwody trójkątów, kwadratów i prostokątów (w centymetrach);

- rysuje druga połowę figury symetrycznej; rysuje figury w powiększeniu i pomniejszeniu; kontynuuje regularność w prostych motywach (np. szlaczki, rozety).

2. Etapy kształtowania pojęć geometrycznych (wg OKONIA) - SLAJD 2

Wincenty Okoń wyróżnił trzy zasadnicze etapy kształtowania pojęć związanych z geometrią:

1. Kojarzenie nazw z odpowiadającymi im przedmiotami.

Uczniowie dostrzegają przedmioty najbliższego otoczenia, w tym również związane z geometrią. Kojarzenie nazwy może odbywać się dwoma sposobami:

a) uczeń wprowadza do swego słownictwa nowy wyraz i sam określa jego znaczenie,

b) nauczyciel wyjaśnia znaczenie nowego słowa przy pomocy innych słów znanych uczniom.

2. Kształtowanie pojęć na podstawie znajomości zewnętrznych cech przedmiotów.

3. Rozwijanie pojęć naukowych.

• Zależnie od poziomu zaawansowania matematycznego dzieci, już przy pierwszym kontakcie z figurami można posługiwać się znanymi z przedszkola terminami: trójkąty, kwadraty, prostokąty i koła, a także porównywać je w kategoriach: większy - mniejszy, dłuższy - krótszy, itp. Można również wykorzystać bajki, odszukując w nich elementów matematyki.

• Klasyfikowanie i porządkowanie przedmiotów, jak również wskazywanie i grupowanie przedmiotów podobnych do siebie pod względem wielkości i kształtu, porównywanie przedmiotów zachodzi z użyciem określeń: większy - mniejszy, dłuższy - krótszy, szerszy - węższy, wyższy - niższy, grubszy - cieńszy, duży - mały, długi - krótki, szeroki - wąski. A także porządkowanie przedmiotów od najdłuższego do najkrótszego, a także ocena i porównywanie odległości z użyciem określeń: daleko, dalej, najdalej, blisko, bliżej, najbliżej. Dziecko powinno również opanować określenia wzajemnego położenia przedmiotów, łącznie z określeniami stron - na lewo, na prawo od.

• Równolegle z kształtowaniem pojęć geometrycznych rozwija się zakres umiejętności geometrycznych dzieci. Umiejętności te wiążą się z działaniami- aktywnościami, które ujawniają się, gdy dziecko obcuje z obiektami lub sytuacjami geometrycznymi.

Do aktywności geometrycznych zaliczamy:

- obserwowanie, czyli zauważanie i ewentualne przekazywanie spostrzeżeń do pamięci trwałej;

- manipulowanie, czyli działanie rękami na fizycznych modelach obiektów geometrycznych lub z wykorzystaniem ich zastępników;

- badanie, analizowanie, identyfikowanie obiektów lub ich części, relacji i struktury dane sytuacji geometrycznej;

- werbalizowanie, czyli słowne opisywanie obiektów i sytuacji geometrycznych i wszystkiego, co jest przedmiotem badania;

- konstruowanie, czyli rysowanie lub robienie modelu obiektu geometrycznego z użyciem odpowiednich narzędzi;

- kreowanie, czyli tworzenie nieznanych obiektów lub sytuacji geometrycznych.

W procesie nauczania wymienione wyżej rodzaje aktywności geometrycznej dzieci przenikają się i uzupełniają.

• Abstrakcyjne obiekty geometryczne, np. trójkąt, prostokąt, koło, prosta, odcinek, w sensie geometrycznym istnieją tylko w umysłach ludzi. Natomiast w realnym świecie:

- Manipulują pudełkiem, płytką, piłką, wałkiem, cegłą itp., dostrzegają ich wielkość, materiał, z którego są zrobione, a nie tylko kształt,

- Widzą słońce, horyzont, promień światła, kręgi na wodzie i obserwowane linie koła, łuki i inne kształty, wtopione w wiele innych rzeczy.

• Należy korzystać z każdej okazji, by dzieci mogły obcować z poznanymi kształtami, rozróżniać je i opisywać. Na przykład podczas wycieczki warto zwrócić uwagę na znaki drogowe i ich kształty, a nawet już podczas pierwszej lekcji przy poznawaniu klasy dzieci obserwują wnętrze i również wskazują znane im kształty. W początkowym okresie nie są istotne nazwy tych figur, lecz zdobyte przez dziecko doświadczenie wynikające z obcowania z nimi. Nazwy wprowadzamy stopniowo, w trakcie poznawania własności, np. liczenie kątów porównywania długości boków i wielkość kątów, składania i rozkładania tych figur. Przydatne będą różnego rodzaju układanki, np. tangramy i klocki.

3. Definicje elementarnych pojęć geometrycznych:

• Figura płaska (Figurą geometryczną płaską nazywamy każdy zbiór punktów płaszczyzny. Figurami płaskimi są trójkąty, czworokąty i wielokąty) SLAJD 3

- Zaczynamy od trójkąta. (wielokąt o trzech bokach i trzech wierzchołkach) SLAJD 4

Dla uświadomienia sobie sensu trójkątności, a potem pojęcia „trójkąt” dziecko potrzebuje wielu różnorodnych doświadczeń. Musi obserwować dotykać, przesuwać, obracać, zmieniać kształt itp. Z tego wszystkiego dziecięcy umysł wyodrębnia to co najważniejsze. Potrzebne jest mu jednak wsparcie dorosłego. Polega ono na naprowadzaniu, podkreślaniu słowem i gestem postawieniu właściwego pytania i wreszcie na nazwaniu tego, co dziecko wydobywa i uogólnia. Trzeba także pamiętać, że kształtowanie pojęć geometrycznych nie odbywa się w izolacji od innych pojęć tworzonych wówczas w umyśle dziecka.

• Ćwiczenie (SLAJD 5) : Należy przygotować klocek - daszek, geoplan i trójkąty: duże, średnie i małe. Do geoplanu potrzebne będzie zwykłe sznurowadło zakończone twardymi końcówkami. Nasz geoplan ma kształt błękitnego kwadratu z zaznaczoną siecią kwadratową. W węzłach tej sieci znajdują się malutkie kółeczka. To są dziurki. Przez nie dziecko będzie przewlekało sznurowadło, aby otrzymać kształt np. trójkąta. Przewlekanie jest zarazem dobrym ćwiczeniem rozwijającym koordynację wzrokowo - ruchową. W trakcie próbnego przewlekania sznurowadła dziecko ma okazję oswoić się z geoplanem.

Na stole dorosły kładzie przed dzieckiem klocek-daszek, trójkąty, geo- plan i sznurowdło.

1. Dorosły zwraca się do dziecka: Weź do ręki trójkątną płytkę i oglądaj ją palcami. Możesz zamknąć oczy, żebyś zapamiętał kształt... Odłóż.

2. Weź do ręki klocek-daszek. Dotykaj palcami. Zamknij oczy i oglądaj palcami jeszcze raz. Otwórz oczy. Pokaż te ścianki klocka, które mają kształt trójkąta.

3. Podejdź do szyby, chuchnij na nią, żeby zaparowała (dorosły pomaga). Narysuj palcem na szybie trójkąt.

4. To jest geoplan. Próbowałeś już przeciągać sznurek tak, żeby był trójkąt... Możesz zrobić ich tyle, ile chcesz.

Po tej serii doświadczeń można już zwrócić się do dziecka: Rozejrzy się dookoła. Pokaż mi to wszystko, co ma kształt trójkąta. Dziecko potrafi już bowiem wydobyć trójkątność z innych cech przedmiotów.

- Prostokąt.( Figura płaska, która ma dwa boki dłuższe i dwa krótsze i której kąty są proste) SLAJD 6

• Ćwiczenie (SLAJD 7) : Należy przygotować klocek-cegłę, geoplan i prostokąty: duże i małe. Przyda się także pudełko tekturowe (po makaronie, po butach), do którego dziecko może zajrzeć i je rozłożyć (lub rozciąć Wszystkie te przedmioty leżą na stole, w zasięgu ręki dziecka.

1. Dorosły mówi do dziecka: Oglądnij palcami prostokątne płytki (prze suwa je w stronę dziecka). Zamknij oczy i jeszcze raz obejrzyj palcami. Zapamiętaj kształt... Odłóż.

2. Weź do ręki klocek-cegłę. Oglądnij go palcami. Zamknij oczy i jeszcze raz oglądnij. Otwórz oczy. Pokaż mi te ścianki, które mają kształt prostokąta.

3. Obejrzyj pudełko. Zajrzyj do środka. Rozsuń ścianki - możesz pomóc sobie nożyczkami. Pokaż ścianki, które mają kształt prostokąta.

4. Podejdź do okna. Chuchnij na szybę, żeby zaparowała. Narysuj palcem prostokąt.

5. Na geoplanie mają być różne prostokąty. Przeciągnij sznurek ta żebyś miał trzy prostokąty.

6. SLAJD 8 Zdejmij sznurki z geoplanu. Zbuduj na nim tylko jeden prostokąt. Pomyśl, co trzeba zmenić, żeby mieć trójkąt. Zrób to. Zmień prostokąt w trójkąt.

- Kwadrat. ( Figura płaska, która ma wszystkie boki równe i proste kąty) SLAJD 9

W pierwszym etapie kształcenia występuje ostre rozróżnianie kwadratu i prostokąta, dopiero później dziecko poznając własności prostokąta i kwadratu, uświadamia sobie, że każdy kwadrat jest prostokątem.

• Ćwiczenie (SLAJD 10) : Należy przygotować klocek - kostkę, geoplan oraz kwadraty duże i małe, oraz siatkę kostki do gry Potrzebna będzie trochę później. Teraz jest dobra okazja, aby ją złożyć. Wszystkie te przedmioty leżą na stole.

1. Dorosły przesuwa w stronę dziecka kolorowe kwadratowe płytki i mówi: Obejrzyj je palcami. Zamknij oczy i jeszcze raz oglądnij. Zapamiętaj kształt... Odłóż.

2. Weź do ręki klocek - kostkę. Oglądnij go palcami. Zamknij oczy i jeszcze raz obejrzyj. Otwórz oczy. Pokaż mi te ścianki, które mają kształt kwadratu. Policz je wszystkie.

3. To jest siatka kostki do gry. Przyjrzyj się jej. Pokaż te ścianki, które mają kształt kwadratu. Ile ich jest? Złóżmy ją (pomaga dorosły).

4. Podejdź do okna. Chuchamy na szybę, żeby pokryła się mgiełką. Narysuj palcem kwadrat.

5. Na geoplanie przeciągnij sznurek tak, aby tam był duży i mały kwadrat

6. SLAJD 11 Zdejmij sznurki z geoplanu tak, żeby pozostał na nim duży kwadrat. Co należy zrobić, żeby zmienić go w trójkąt?

7. SLAJD 12 Na geoplanie jest trójkąt. Pomyśl i zmień go w prostokąt.

8. SLAJD 13 Na geoplanie jest prostokąt. Pomyśl i zmień go tak, aby powstał kwadrat.

- Koło. (figura płaska, która nie posiada boków, część płaszczyzny ograniczona przez pewien okrąg) SLAJD 14

• Ćwiczenie (SLAJD 15) : Przygotuj kółka małe i duże . Będą potrzebne także: mała piłeczka (np. do ping-ponga), klocek-walec, sznurek, duża pinezka, zaostrzony ołówek i kartka papieru. Przyda się też geoplan. Wszystko to leży na stole.

1. Dorosły przysuwa kółka małe i duże do dziecka i mówi: Oglądnij je. Zamknij oczy i jeszcze raz obejrzyj palcami, zapamiętaj kształt.

2. Weź do ręki klocek. Oglądnij palcami. Pokaż mi koła.

3. Poturlaj piłkę w dłoniach. Narysuj palcem na piłce koło.

4. Chuchnij na szybę. Narysuj na zaparowanej szybie koło.

5. Na geoplanie, przewlekając sznurek, zrób koło...

Śmieszne, ale dzieci próbują to absurdalne polecenie wykonać. Szybko orientują się, że jest to niemożliwe. To dobra okazja, żeby pokazać dziecku, jak się rysuje koło przy pomocy sznurka i ołówka. Takie kreślenie kół jest trudne ze względów koordynacyjnych. Warto się potrudzić, bo osiąga się geometrycznie poprawną konstrukcję. Ponad to, po przełamaniu początkowych kłopotów, dzieciom bardzo się podoba kreślenie kół. Nie radzę korzystać z cyrkla. Za dużo w nim śrubek i innych detali. Odwracają one uwagę dziecka od tego, co ważne.

- (SLAJD 16)

Doświadczenia potrzebne dzieciom do uchwycenia tego, czym jest trójkąt, prostokąt, kwadrat i koło, polega na poznawaniu kształtów, opisywaniu ich, badaniu własności poprzez porównywanie oraz na wprowadzonych umowach o figurze i jej własnościach. Dzieci muszą dostrzegać poznane figury geometryczne, m.in. gdy figury zachodzą na siebie. Zadaniem dziecka jest wskazanie lub pokolorowanie wszystkich trójkątów, prostokątów itp. Dzieci mogą rozwiązywać lubiane łamigłówki rozwijające umiejętności geometryczne w połączeniu ze spostrzegawczością, np. Ile trójkątów jest na rysunku? Ile jest narysowanych kwadratów?

• Odcinek (SLAJD 17)

- Zanim dzieci poznają pojęcie odcinka, muszą zrozumieć istotę punktu. Najprostszym sposobem uświadomienia dzieciom pojęcia punktu, jest umówienie się, że każda kropka, którą postawimy na kartce papieru/ tablicy jest ilustracją punktu. Dzieci szybko zauważą, że takich kropek - punktów można postawić bardzo dużo. Skoro punktów w figurze geometrycznej jest tak wiele, to zamiast zaznaczania wielu poszczególnych punktów kropkami, można konstruując odcinek, narysować go linią ciągłą.

- W edukacji wczesnoszkolnej najpierw jest wprowadzane pojęcie odcinka, a potem dopiero prostej. Pojęcia odcinka jako figury ograniczonej (istnieje koło do którego należą wszystkie punkty odcinka) jest bliższe intuicji i wiąże się z uświadomieniem dziecku pojęcia punktu i figury geometrycznej. Zrozumienie pojęcia odcinka jest początkiem poznawania własności i widzenia tworu abstrakcyjnego. Warto zatem poświęcić temu zagadnieniu więcej czasu i dobrze przygotować dziecko do rozumienia pojęcia figury geometrycznej jako zbioru punktów.

• Ćwiczenie (SLAJD 18) : Można poprzestać na pokazaniu dzieciom przykładów odcinków i umówieniu się , że takie figury nazywać będziemy odcinkami, wskazując je m.in. jako krawędź stolika, tablicy, bądź pudelka, linijki, nawet jako prosty patyk lub napięty kawałek sznurka.

- Pojęcie prostej możemy wprowadzić dzięki przedłużeniu odcinka poza jego końce . Dziecko spotyka się z nieskończonością, w której „biegną” punkty na przedłużonym odcinku.

- Mierzenie odległości i długości odcinka wiąże się z miarowym aspektem liczby naturalnej oraz z tzw. Umiejętnościami praktycznymi. Zaczynamy od mierzenia długości, np. ławki, zeszytu, klasy różnymi jednostkami - „miarkami”, np. stopami, długopisem itp. Może to mieć miejsce, gdy dziecko nie zna pojęcia odcinka. Później, gdy pozna odcinek, zapozna się również ze sposobami jego mierzenia i użyciem linijki, mierzeniem długości boku figury i jej obwodu. Wskazując odcinki wokół siebie, dziecko powinno dostrzegać odcinki położone pionowo i skośnie. Podobnie rysując odcinki, nauczyciel powinien żądać uwzględnienia różnego ich położenia na tablicy lub w zeszycie.

- Obok mierzenia długości odcinków dziecko uczy się rysowania odcinków o danej długości. Pierwsze próby rysowania odcinków powinny się łączyć z wykorzystaniem np. kartek w zeszycie lub Geoplan, na którym dzieci budują odcinki o zadanej długości. Bardzo przydatny może być papier „kropkowany”, który podobnie jak Geoplan jest modelem sieci kwadratowej, gdzie w punktach węzłowych np. w odstępach 1cm są kropki, tak jak gwoździki w goplanie, na którym można rozpinać gumki ilustrujące figury geometryczne.

• Prostopadłość i równoległość

Proste prostopadłe to takie dwie proste, które przecinają się pod kątem prostym (SLAJD 19)

Proste równoległe to takie dwie proste które nigdy sie nie przetną lub sie pokrywają (SLAJD 20)

• Ćwiczenie (SLAJD 21) : Uczeń rozpoznaje odcinki prostopadłe i odcinków równoległe w otoczeniu, na modelach brył i figur płaskich, wykorzystanie geoplanu, kartek w zeszycie, ekierki i dwukrotnie zgiętej kartki;

• Obwód prostokąta (SLAJD 22)

Proces kształcenia pojęcia obwodu zaczyna się w klasie II. Dziecko powinno mieć opanowaną umiejętność mierzenia odległości i długości odcinka.

• Ćwiczenie (SLAJD 23): Obliczanie obwodu prostokąta powinno kojarzyć się dziecku z mierzeniem długości odcinka i sumowaniem długości boków prostokąta. Dobrym sposobem jest mierzenie rzeczy mających kształt prostokąta, np. blat szkolnej ławki.

• Dzieci powinny też praktycznie zapoznać się z kształtami innych figur. Na przykład warto, by zauważyły, są to takie czworokąty, które mają wszystkie boki równe, a nie są kwadratami, oraz że są takie czworokąty, które mają dwa boki równolegle, a nie są równoległobokami. Do ćwiczeń tego typu szczególnie nadaje się geoplan oraz papier w kropki.

4. Zabawy z figurami geometrycznymi

1. Zabawa „Szukamy w lustrze figur geometrycznych"

Dziecko będzie miało tu okazję wykazać się tym, co zdobyło w trakcie poprzednich ćwiczeń.

Zabawa polega na tworzeniu geometrycznych figur, korzystając z lustrzanego odbicia. Przy okazji bada się efekt symetrii.

Trzeba przygotować: prostokątne kieszonkowe lusterko (bez ramki żeby nie fałszowało odbicia), cztery kartoniki wielkości pocztówki. Na każdym kartoniku należy umieścić figurę tak jak na rysunku. Najlepiej wyciąć ją z kolorowego papieru i nakleić.

Kartoniki te należy przygotować razem z dzieckiem. Ma wówczas okazję do różnicowania i nazywania figur. (SLAJD 25)

SLAJD 26 : Dorosły pokazuje dziecku, jakie efekty można uzyskać przykładając lusterko do kwadratu umieszczonego na kartoniku (tak jak na rysunku). Zwykle to wystarcza, aby dziecko dostrzegło możliwości tkwiące w przykładaniu lusterka do figur znajdujących się na kartonikach.

SLAJD 27: Dorosły kładzie przed dzieckiem wszystkie kartoniki i zachęca: Przykładaj lusterko tak, aby przy pomocy odbicia powstawały różne figury. Ja je narysuję. Efekt takiej współpracy może być taki, jaki Widzim na slajdzie. (przerywane linie pokazują miejsce przyłożenia lusterka).

Teraz można zaproponować, aby dziecko zamalowało na czerwono wszystkie prostokąty, na zielono wszystkie trójkąty, a na żółto kwadraty.

2. Zabawa „Co nowego widzisz w lusterku?" (SLAJD 28) Należy przygotować ( w różnych wielkościach i kolorach) prostokąty, kwadraty, trójkąty, koła Dziecko je zna z wcześniejszych ćwiczeń. Dodatkowo można przygotować prostokąty z nadrukowanymi trójkątami. Trzeba je wyjąć i rozłożyć na białej kartce papieru (z dużego bloku rysunkowego). Druga taka kartka będzie potrzebna do zabawy. Ponadto konieczne jest znów lusterko.

Zabawa zaczyna się od segregowania (kontynuacja ćwiczeń z klasyfikacji). Dorosły wskazuje figury leżące na kartce i pyta: Jak je uporządkujemy? Co weźmiesz pod uwagę? Zwykle dzieci segregują według koloru lub kształtu. Dorosły pomaga dziecku, jeżeli nie jest ono konsekwentne w segregowaniu. Celem tego ćwiczenia nie jest klasyfikacja; znajduje się ona w tle i jest czynnością pomocniczą. Gdy dziecko nie radzi sobie, jest to sygnał dla dorosłego, że trzeba wrócić do ćwiczeń z klasyfikacji, ale na innych zajęciach.

( SLAJD 29) : Dorosły wręcza dziecku lusterko. Wybiera, na przykład, prostokąt z nadrukowanym trójkątem. Pokazuje dziecku, co ciekawego można zobaczyć przykładając lusterko do jego boków. Potem przesuwaj lusterko tak, aby dziecko mogło zobaczyć inne jeszcze efekty symetrii, np. takie jak na rysunku (przerywana linia to miejsce przyłożenia lusterka).

Dziecko rozpoznaje figury, liczy je.

---