Algorytm doboru testu istotności

różnic.

- zmienne niezależne

- zmienne zależne

zmienne niezależne

jakościowe

porządkowe

mierzalne

Testy

nieparametryczne:

- test chi-kwadrat

Czy rozkład

jest
normalny?

Testy nieparametryczne:

- Walda-Wolfowitza
- U Manna-Withneya
- Kołmogorowa-Smirnowa
- ANOVA Kruskala-Wallisa

Testy:

- t Studenta (dla

prób zależnych i
niezależnych)

- Cochrana-Coxa
- ANOVA jedno-

i
wieloczynnikowa

NIE

TAK

wariancje jednorodne

Testy

parametryczne:

- Test t Studenta
- ANOVA jedno-

i
wieloczynnikowa

Test

nieparametrycz

ny Cochrana-

Coxa

NIE

TAK

zmienne zależne

jakościowe

porządkowe

mierzalne

- test McNemary

Czy rozkład

jest
normalny?

Test kolejności par

Wilcoxona

Test różnic

NIE

TAK

Analiza wariancji (ANOVA)

Początki tej metody wiążą się praktycznymi potrzebami
występującymi w obszarze doświadczeń rolniczych, które miały na
celu rozstrzyganie problemów związanych z doborem najbardziej
korzystnych odmian lub sposobów uprawy.

Obecnie różne techniki analizy wariancji są z powodzeniem
stosowane w takich dziedzinach jak pedagogika,
psychologia, socjologia, medycyna i farmacja czy różne
obszary nauk technicznych.

Testy analizy wariancji są do dziś podstawowym narzędziem tzw.
statystyki eksperymentalnej. Są to rozwinięte metody oceny
wpływów pewnych kontrolowanych czynników na wynik
eksperymentu.

Procedury obliczeniowe analizy wariancji opierają
się na pomiarze różnych rodzajów zmienności
wyników badań oraz określeniu jej źródeł.
Podstawowa zaleta tej metody polega na
możliwości uwzględniania więcej niż jednego
kontrolowanego źródła zmienności oraz
możliwość oszacowania ich wpływu. Pozwala to
na efektywną analizę danych pochodzących z
bardzo wielu doświadczeń wieloczynnikowych.

Analiza wariancji:

• dla klasyfikacji pojedynczej -

jednoczynnikowa



wieloczynnikowa

Założenia:

• Analizowana zmienna jest mierzalna

• Normalność rozkładu

• Rozkłady mają jednakową wariancję

Analiza wariancji - klasyfikacja

pojedyncza.

Skategor. wykres ramka-wąsy: fat % BIA - p<

0,015054

Średnia
±Błąd std
±Odch.std

podstawowe

zawodowe

średnie

wyższe

wykształcenie ojca

14

16

18

20

22

24

26

28

30

32

fa

t

%

B

IA

ZADANIE 1

• W gospodarstwie doświadczalnym badano wysokość

plonów pomidora uprawianego na 5 różnych
glebach. Na każdej glebie zmierzono wysokość
plonów z 4 krzaczków.

• Należy zbadać czy wszystkie gleby są jednakowo korzystne dla

uprawy tej rośliny, czy też może któraś z gleb jest wyraźne
mniej (lub bardziej) korzystna od reszty?

Etap 1.

Plony z krzaczków pomidora na 5

glebach.

Rodzaj gleby

A

B

C

D

E

10

15

11

5

8

12

12

15

10

10

8

15

20

15

8

10

10

14

6

6

Suma kolumny

40

52

60

36

32

Średnia

kolumny

10

13

15

9

8

Suma ogólna: 220
Średnia ogólna: 11

Etap 2.

Tworzenie 3 sum kwadratów odchyłek.

• Suma kwadratów odchyłek między

grupami, kolumnami,

• Suma kwadratów odchyłek wewnątrz

grup, kolumn,

• Suma kwadratów odchyłek ogólna.

Suma kwadratów odchyłek między

grupami (kolumnami).

• obliczona jest przez

odjęcie od średnich
kolumn wartości
średniej ogólnej,
podniesienie wyniku
do kwadratu,
pomnożenie przez
liczebność danej
kolumny

Rodzaj gleby

A

B

C

D

E

10 15 11

5

8

12 12 15 10 10

8

15 20 15

8

10 10 14

6

6

Średnia

kolumn

y

10 13 15 9

8

(10-11)²*4+(13-11)²*4+(15-11)²*4+(9-11)²*4+(8-

11)²*4 =34*4=136

Średnia ogólna: 11

Suma kwadratów odchyłek wewnątrz

grup (kolumn).

• uzyskiwana jest przez odjęcie od

każdego pomiaru średniej danej
grupy, podniesienie do kwadratu i
dodanie w obrębie każdej grupy,
a potem dla wszystkich grup
łącznie.

Rodzaj gleby

A

B

C

D

E

10 15 11

5

8

12 12 15 10 10

8

15 20 15

8

10 10 14

6

6

Średnia

kolumny

1

0

13

1

5

9

8

Gleba B

Gleba C

Gleba D

Gleba E

(15-13)²=4 (11-15)²=16 (5-9)²=16

(8-8)²=0

(12-13)²=1 (15-15)²=0 (10-9)²=1

(10-8)²=4

(15-13)²=4 (20-15)²=25 (15-9)²=36 (8-8)²=0

(10-13)²=9 (14-15)²=1 (6-9)²=9

(6-8)²=4

∑

18

42 62

8

∑

ogólna

=8+18+42+62+8=138

Gleba A

(10-10)²=0

(12-10)²=4

(8-10)²=4

(10-10)²=0

∑

8

Suma kwadratów odchyłek ogólna.

• powstaje z odejmowania średniej ogólnej od

każdego pomiaru, podniesienia różnicy do
kwadratu oraz dodania w obrębie każdej
kolumny, a potem dla wszystkich kolumn.

Rodzaj gleby

A

B

C

D

E

10 15 11

5

8

12 12 15 10 10

8

15 20 15

8

10 10 14

6

6

Gleba B

Gleba C

Gleba D

Gleba E

(15-11)²=16

(11-11)²=0

(5-11)²=36

(8-11)²=9

(12-11)²=1

(15-11)²=16

(10-11)²=1

(10-11)²=1

(15-11)²=16

(20-11)²=81

(15-11)²=16

(8-11)²=9

(10-11)²=1

(14-11)²=9

(6-11)²=25

(6-11)²=25

34

106

78

44

Średnia ogólna: 11

∑

ogólna

=12+34+106+78+44=274

Gleba A

(10-11)²=1

(12-11)²=1

(8-11)²=9

(10-11)²=1

∑

12

Sprawdzenie sumy:

Suma kwadratów odchyłek między grupami

(kolumnami) + Suma kwadratów odchyłek

wewnątrz grup (kolumn)

= Suma kwadratów odchyłek ogólna

136+138=274

Etap 3.

Analiza wariancji:

Suma
kwadrató

w
odchyłek:

Wartość

sumy

(suma

kwadratów

)

Liczba

stopni

swobody

n

Wariancj

a

Test F

o

między
kolumna
mi

SK pomiędzy

grupami

n licznika -l

c-1

ŚK między

grupami

ŚK między

grupami/S

K reszta

wewnątrz
kolumn

SK reszta

n mianownika

-m

N-c

ŚK reszta

-

ogólna

SK ogólna

N-1

-

-

c (k) – liczba kolumn, N – liczebność ogólna

Suma

kwadratów
odchyłek:

Wartość

sumy

Liczba

stopni

swobody

n

Wariancja

Test F

o

F

t

między

kolumnami

136

n licznika -l

c-1

5-1=4

136/4=34

34/9,2=

3,

7

3,1

wewnątrz
kolumn

138

n mianownika

-m

N-c

20-5=15

138/15=9,

2

-

-

ogólna

274

N-1

20-1=19

-

-

-

c (k) – liczba kolumn (rodzajów gleb) - 5

N – liczba krzaczków pomidorów - 20

Jeśli uzyskana wartość parametru
Snedecora

F

o

>F

t

– świadczy to o niejednorodności
badanego zbioru przy poziomie
istotności 5%.

Rodzaj gleby

A

B

C

D

E

10

15

11

5

8

12

12

15

10

10

8

15

20

15

8

10

10

14

6

6

Suma kolumny

40

52

60

36

32

Średnia

kolumny

10

13

15

9

8

Etap 1.

Plony z krzaczków pomidora na 4

glebach.

Suma kolumny

40

52

36

32

Średnia kolumny

10

13

9

8

Rodzaj gleby

A

B

D

E

10

15

5

8

12

12

10

10

8

15

15

8

10

10

6

6

Suma ogólna: 160
Średnia ogólna: 10

Suma kwadratów odchyłek między

grupami (kolumnami).

Rodzaj gleby

A

B

D

E

10

15

5

8

12

12

10

10

8

15

15

8

10

10

6

6

Średnia

kolumny

10

13

9

8

(10-10)²*4+(13-10)²*4+(9-10)²*4+(8-10)²*4

=14*4=56

Średnia ogólna: 10

Suma kwadratów odchyłek

wewnątrz grup (kolumn).

Rodzaj gleby

A

B

D

E

10

15

5

8

12

12

10

10

8

15

15

8

10

10

6

6

Średnia

kolumny

10

13

9

8

Gleba A

Gleba B

Gleba D

Gleba E

(10-10)²=0

(15-13)²=4

(5-9)²=16

(8-8)²=0

(12-10)²=4

(12-13)²=1

(10-9)²=1

(10-8)²=4

(8-10)²=4

(15-13)²=4

(15-9)²=36

(8-8)²=0

(10-10)²=0

(10-13)²=9

(6-9)²=9

(6-8)²=4

∑

8

18

62

8

∑

8+18+62+8=96

Suma ogólna

kwadratów

odchyłek.

Rodzaj gleby

A

B

D

E

10

15

5

8

12

12

10

10

8

15

15

8

10

10

6

6

Gleba A

Gleba B

Gleba D

Gleba E

(10-10)²=0

(15-10)²=25

(5-10)²=25

(8-10)²=4

(12-10)²=4

(12-10)²=4

(10-10)²=0

(10-10)²=0

(8-10)²=4

(15-10)²=25

(15-10)²=25

(8-10)²=4

(10-10)²=0

(10-10)²=0

(6-10)²=16

(6-10)²=16

∑

8

54

66

24

∑

8+54+66+24=152

Średnia ogólna: 10

Etap 3.

Analiza wariancji:

Suma
kwadratów

odchyłek:

Wartość

sumy

Liczba

stopni

swobody n

Wariancj

a

Test F

o

F

t

między

kolumnami

56

n licznika -l

c-1

4-1=3

56/3=18,

6

18,6/8=

2,

3

ok.

3,5

wewnątrz

kolumn

96

n mianownika

-m

N-c

16-4=12

96/12=8

-

-

ogólna

152

N-1

16-1=15

-

-

-

c – liczba kolumn (rodzajów gleb) - 4

N – liczba krzaczków pomidorów - 16

uzyskana wartość parametru Snedecora

F

o

<F

t

– świadczy to o jednorodności badanego
zbioru.

Istnieje zatem prawdopodobieństwo 95%,

że plony z krzaczków pomidora

uprawiane na glebach A, B, D i E są

podobne.

Które z porównywanych grup różnią

się między sobą, a które są równe?

• NIR – test najmniejszej istotnej różnicy.

Suma

kwadratów
odchyłek:

Wartość

sumy

Liczba

stopni

swobody

n

Wariancja

Test F

o

F

t

między

kolumnami

136

n licznika -l

c-1

5-1=4

136/4=34

34/9,2=

3,

7

3,1

wewnątrz
kolumn

138

n mianownika

-m

N-c

20-5=15

138/15=9,

2

-

-

ogólna

274

N-1

20-1=19

-

-

-

c (k) – liczba kolumn (rodzajów gleb) - 5

N – liczba krzaczków pomidorów - 20

Tabela porównań

średnich.

Gleba A

n

1

=4

Gleba B

n

2

=4

Gleba C

n

3

=4

Gleba D

n

4

=4

Gleba E

n

5

=4

Gleba A

n

1

=4

13-10=3

3<4,568

-

15-10=5

5>4,568

+

10-9=1

1<4,568

-

10-8=2

2<4,568

+

Gleba B

n

2

=4

13-10=3

3<4,568 -

15-13=2

2<4,568

-

13-9=4

4<4,568

-

13-8=5

5>4,568

-

Gleba C

n

3

=4

15-10=5

5>4,568

+

15-13=2

2<4,568

-

15-9=6

6>4,568

+

15-8=7

7>4,568

+

Gleba D

n

4

=4

10-9=1

1<4,568

-

13-9=4

4<4,568

-

15-9=6

6>4,568

+

9-8=1

1<4,568

-

Gleba E

n

5

=4

10-8=2

2<4,568

-

13-8=5

5>4,568

+

15-8=7

7>4,568

+

9-8=1

1<4,568

-

Rodzaj gleby

NIR

A

B

C

D

E

10

13

15

9

8

4,56

8

Analiza wariancji - klasyfikacja

pojedyncza.

ZADANIE 2

W gospodarstwie doświadczalnym

badano wysokość plonów pomidora

uprawianego na 5 różnych glebach w

ciągu 4 kolejnych lat.

Czy można uważać, że zarówno gleby,

jak i lata były jednakowo korzystne?

rok

Rodzaj gleby

Suma

wiersza

Średnia

wiersza

A

B

C

D

E

1970

10

15

11

5

8

49

9,8

1971

12

12

15

10

10

59

11,8

1972

8

15

20

15

8

66

13,2

1973

10

10

14

6

6

46

9,2

Suma

kolumn
y

40

52

60

36

32

220

-

Średni

a
kolumn

y

10

13

15

9

8

x=11

Tworzenie 3 sum kwadratów odchyłek.

• Suma kwadratów odchyłek między

kolumnami,

• Suma kwadratów odchyłek między wierszami,

• Suma kwadratów odchyłek na współdziałanie

wierszy i kolumn,

• Suma kwadratów odchyłek ogólna.

Suma kwadratów odchyłek między

kolumnami.

(10-11)²*4+(13-11)²*4+(15-11)²*4+(9-

11)²*4+ (8-11)²*4 =34*4=136

Suma kwadratów odchyłek między

wierszami.

- powstaje z odejmowania średniej ogólnej

od średnich wierszy, podnoszenie do kwadratu,

pomnożenie przez liczebność wiersza i dodanie.

(9,8-11)²*5+(11,8-11)²*5+(13,2-11)²*5+(9,2-11)²*5
=10,16*5=50,8

Suma kwadratów odchyłek na

współdziałanie wierszy i kolumn.

obliczana jest z odejmowania średnich

wierszy i kolumn, dodanie

średniej ogólnej, podniesienie do kwadratu

i dodanie dla całego zbioru.

Średni

a

wiersz

a

9,8

11,8
13,2

9,2

Rodzaj gleby

A

B

C

D

E

10

15

11

5

8

12

12

15

10

10

8

15

20

15

8

10

10

14

6

6

Średnia

kolumn

y

10 13 15

9

8

Rok 1971

(12-10-11,8+11)²=1,44

(12-13-11,8+11)²=3,24

(15-15-11,8+11)²=0,64

(10-9-11,8+11)²=0,04

(10-8-11,8+11)²=1,44

6,8

Rok 1970

Rok 1971

Rok 1972

Rok 1973

∑

ogólna

=28,8 + 6,8 + 44,8 + 6,8 = 87,2

Rok 1970

(10-10-9,8+11)²=1,44

(15-13-9,8+11)²=10,24

(11-15-9,8+11)²=7,84

(5-9-9,8+11)²=7,84

(8-8-9,8+11)²=1,44

∑

28,8

Rodzaj gleby

A

B

C

D

E

10 15 11

5

8

12 12 15 10 10

8

15 20 15

8

10 10 14

6

6

Gleba A

Gleba B

Gleba C

Gleba D

Gleba E

(10-11)²=1

(15-11)²=16

(11-11)²=0

(5-11)²=36

(8-

11)²=9

(12-11)²=1

(12-11)²=1

(15-11)²=16

(10-11)²=1

(10-

11)²=1

(8-11)²=9

(15-11)²=16

(20-11)²=81

(15-11)²=16

(8-

11)²=9

(10-11)²=1

(10-11)²=1

(14-11)²=9

(6-11)²=25

(6-

11)²=25

∑

12

34

106

78

44

∑

12+34+106+78+44=274

Średnia ogólna: 11

Suma kwadratów odchyłek ogólna.

Suma kwadratów odchyłek ogólna.

Suma kwadratów odchyłek między kolumnami

+ Suma kwadratów odchyłek między wierszami

+ Suma kwadratów odchyłek na współdziałanie

wierszy i kolumn

= Suma kwadratów odchyłek ogólna

136+50,8+87,2=274

Etap 3.

Analiza wariancji:

Suma

kwadrató
w
odchyłek:

Wartoś

ć sumy

Liczba

stopni

swobody n

Wariancja

Test F

o

F

t

między

kolumnami

136

n1 licznika -l

c-1

5-1=4

136/4=34

34/7,27

=

4,67

ok.

3,3

nl-4;

nm-12

między

wierszami

50,8

n2 licznika -l

r-1

4-1=3

50,8/3=16,

93

16,93/7,2

7

=

2,32

ok.

3,5

nl-3;

nm-12

na

współdziałan

ie

87,2

n mianownika

-m

(r-1)*(c-1)

4*3=12

87,2/12=7,

27

-

-

c – liczba kolumn (rodzajów gleb) – 5
r – liczba wierszy (ilość lat) - 4
N – liczba krzaczków pomidorów - 20

uzyskana wartość parametru Snedecora

F

o

<F

t

– dla wierszy i

F

o

>F

t

– dla kolumn

– z prawdopodobieństwem 95% - plony z 4
kolejnych lat były podobne, ale gleby nie
były jednakowo korzystne.

Które z porównywanych grup różnią się

między sobą, a które są równe?

• NIR – test najmniejszej istotnej różnicy.

ZADANIE

Badano czterema różnymi metodami czas krzepnięcia krwi u
losowo wybranych pacjentów. Czy wszystkie metody dają te
same rezultaty?

Badano wpływ substancji słodzących na częstość występowania próchnicy

zębów u szczurów. W tym celu poddano badaniu 48 samic w wieku 6-ciu

miesięcy, które podzielono na 4 grupy. Każdej grupie podawano

codziennie do paszy wodne roztwory: sacharozy, glukozy, ksylitolu i

sorbitolu. Po 3 miesiącach w wypreparowanych szczękach i żuchwach

oceniono odsetek zębów objętych próchnicą.

Sprawdzamy normalność

rozkładu

np. histogramy skategoryzowane

Testy pozwalające na ocenę istnienia

różnic w obrębie wszystkich dostępnych

par – w tym celu stosuje się testy

porównań wielokrotnych nazywane

testami post-hoc.

Test NIR (najmniejszej istotnej różnicy) lub

Scheffe.