Zmienne typu ciągłego,
wektory losowe
Dr Joanna Banaś
Zakład Matematyki Stosowanej
Katedra Metod Sztucznej Inteligencji i Matematyki
Stosowanej
Wykład
3
Metody probabilistyczne i statystyka
Wydział Informatyki Zachodniopomorskiego Uniwersytetu
Technologicznego w Szczecinie
8. Wybrane zmienne typu ciągłego
(8.1) Rozkład jednostajny (prostokątny, równomierny) na
przedziale a,b
Funkcja gęstości
Dystrybuanta
Parametry
Realizacja
np. czas oczekiwania na tramwaj
Wykład
2
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka
0
dla
( )
dla
1
dla
x a
x a
F x
a x b
b a
x b
�
�
�
� -
=
< �
�
-
�
>
�
�
1
dla
,
( )
0
dla
,
x
a b
f x
b a
x
a b
�
�� �
�
=
-
�
�
�� �
�
2
2
2
2
2
2
( )
2
(
)
( )
3
12
b a
EX
x f x dx
b a
b
ba a
EX
x f x dx
D X
�
- �
�
- �
+
=
�
=
-
+ +
=
�
=
=
�
�
Rys.8.1. Wykres gęstości (a)
i dystrybuanty (b) zmiennej X
a
( )
f x
1
b a
-
0
b
a
( )
F x
1
0
b
a)
b)
x
x
Rozkład wykładniczy
(8.1) Rozkład wykładniczy z parametrem
> 0
Funkcja gęstości
Dystrybuanta
Rozkład jest dobrze określony
Wykład
2
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka
0
dla
0
( )
1
dla
0
x
x
F x
e
x
- l
�
�
=�
-
>
�
0
dla
0
( )
dla
0
x
x
f x
e
x
- l
<
�
=�
l
�
�
0
0
( )
lim
1 1
x
x
x
x
f x dx
e dx
e
e
�
�
�
- l
- l
- l
- �
��
= l
=-
=-
+ =
�
�
Rys.8.2. Wykres gęstości (a)
i dystrybuanty (b) zmiennej X
( )
f x
l
0
( )
F x
1
0
a)
b)
x
x
Rozkład wykładniczy
Rozkład wykładniczy cd.
Parametry
Realizacja
np. czas bezawaryjnej pracy badanego elementu
(czas życia)
intensywność awarii
prawdopodobieństwo niezawodność
elementu
Wykład
2
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka
1
EX =
l
2
2
1
D X =
l
(
)
t
P X t
e
- l
� =
Rozkład normalny
(8.3) Rozkład normalny (Gaussa)
z parametrami
m i > 0
Funkcja gęstości
Rozkład jest dobrze określony
(należy wykorzystać całkę Eulera-Poissona)
(E-P)
Oznaczamy go symbolem N(m,)
Parametry
Wykład
2
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka
2
2
(
)
2
1
( )
dla
2
x m
f x
e
x
-
-
s
=
�
s
p
�
2
0
2
x
e dx
� -
p
=
�
Rys.8.3.
Wykres gęstości rozkładu
normalnego (krzywa Gaussa)
m
m- s
( )
f x
0
m+s
1
2
s
p
EX m
=
2
2
D X =s
Rozkład normalny
Rozkład normalny (Gaussa)
cd.
Wpływ parametrów na kształt funkcji gęstości
Wykład
2
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka
Rys.8.4.
Wpływ parametrów na kształt funkcji gęstości
2
1
( )
f x
0
3
1
2 2p
0.1
1
2p
1
0.5 2p
(3,2)
N
1
2
(2, )
N
(0,1)
N
x
Rozkład normalny
standaryzowany
Rozkład normalny standaryzowany
Funkcja gęstości (parzysta)
Dystrybuanta rozkładu
(x) – można znaleźć w tablicach statystycznych
Realizacje:
waga oraz wzrost osobników jednorodnych populacji ludzkich i
zwierzęcych
plon na jednakowych poletkach doświadczalnych
losowe błędy pomiarów
Wykład
2
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka
Rys.8.5.
Wykres gęstości rozkładu
standaryzowanego
1
( )
f x
0
0.1
1
2p
(0,1)
N
x
x
-
( )
x
F
( )
x
F -
( ) 1
( )
x
x
F -
= - F
2
2
1
( )
dla
2
x
f x
e
x
-
=
�
p
�
9. Standaryzacja zmiennej
losowej
X zmienna losowa standaryzowana, jeśli
(9.1) Stwierdzenie
X zmienna losowa taka, że
Zmienna losowa Y z twierdzenia (9.1) to standaryzacja zmiennej losowej X
(9.2) Przykład
Niech zmienna losowa X ma rozkład N(m,). Obliczyć
prawdopodobieństwo,
że zmienna X przyjmuje wartości w otoczeniu m o promieniu a) , b) 2, c)
3.
(9.3) Wniosek (reguła trzech )
Prawie 100 % wartości zmiennej losowej o rozkładzie normalnym N(m,)
leży
w przedziale (m 3, m + 3)
Wykład
3
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka
2
0 i
1
EX
D X
=
=
2
i
0
m EX
D X
=
<�
s =
>
X m
Y
zmienna standaryzowana
-
�
=
-
s
10. Wektory losowe
(, Z , P) przestrzeń probabilistyczna
n-wymiarowy wektor losowy (lub n-wymiarowa zmienna losowa)
to dowolne odwzorowanie mierzalne , tzn. takie, że
(10.1)
(10.2) Twierdzenie
dowolne odwzorowanie takie, że
dla
X jest wektorem losowym jest zmienną
losową dla
i = 1,…,n
(10.3) Wniosek
Warunkowi (10.1) równoważny jest warunek
Zmienne X
1
, X
2
,…, X
n
to zmienne brzegowe
Wykład
3
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka
:
n
W�
X
�
{
: ( )
}
dla każdego
(
)
n
B
B
w�W
w � �
�
X
�
Z
B
:
n
W�
X
�
(
)
1
( )
( ),...,
( )
n
X
X
w =
w
w
X
:
i
X
�
W� �
1
1
1
1
{
:
( )
,...,
( )
}
dla każdego ( ,..., )
n
n
n
X
x
X
x
x
x
w�W
w <
w <
�
��
Z
Dystrybuanta wektora
losowego
Oznaczenia
Dystrybuanta wektora losowego X = (X
1
,…, X
n
)
(lub dystrybuanta łączna zmiennych losowych X
1
,…,
X
n
)
funkcja określona wzorem
(10.4)
Dla n = 2 dystrybuanta wektora
losowego (X, Y
) jest określona wzorem
(10.5)
Wykład
3
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka
(
)
(
)
(
)
(
)
1
1
1
1
1
1
1
1
{
:
( )
,...,
( )
}
,...,
{
:
( )
,...,
( )
}
,...,
n
n
n
n
n
n
n
n
P
X
x
X
x
P X
x
X
x
P
X
x
X
x
P X
x
X
x
w�W
w <
w <
�
<
<
w�W
w =
w =
�
=
=
1
,...,
:
n
n
X
X
F
F
=
�
X
�
�
(
)
1
,...,
1
1
1
1
( ,..., )
,...,
dla ( ,..., )
n
n
X
X
n
n
n
n
F
x
x
P X
x
X
x
x
x
=
<
<
��
2
:
F
�
�
�
(
)
2
( , )
,
dla ( , )
F x y
P X x Y y
x y
=
<
<
��
Własności dystrybuanty wektora
losowego (X, Y
)
(10.6) Własności
F – dystrybuanta wektora losowego (X, Y
)
a)
monotoniczność
F – funkcja niemalejąca ze względu na każdą ze zmiennych , tzn.
b)
ciągłość
F – funkcja lewostronnie ciągła ze względu na każdą ze zmiennych ,
tzn.
c)
d)
Wykład
3
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka
1 2
1 2
, ,
1
2
1
2
, ,
1
2
1
2
( , )
( , ),
( , )
( , ).
x x y
x y y
x
x
F x y
F x y
y
y
F x y
F x y
�
�
ޣ >
"
ޣ >
"
�
�
0
0
0
0
0
0
,
0
0
0
,
0
0
0
lim ( , )
( , )
lim ( , )
( , )
x y
x x
x y
y y
F x y
F x y
F x y
F x y
-
-
�
�
�
�
"
=
"
=
�
�
lim ( , ) 0
lim ( , ) 0 lim ( , ) 1
y
x
x
y
x
y
F x y
F x y
F x y
�
�
�- �
�- �
��
��
"
=
"
=
=
�
�
( ) lim ( , ) dla
( ) lim ( , ) dla
X
Y
y
x
F x
F x y
x
F y
F x y
y
��
��
=
�
=
�
�
�
Wektor losowy (X, Y
) typu
skokowego
Wektor losowy (X, Y
) jest typu skokowego, jeżeli rozkład
tego wektora jest miarą atomową, tzn. istnieje
przeliczalna liczba atomów takich, że
(10.7)
(10.8) Twierdzenie
Jeśli (X, Y
) jest wektorem losowym typu skokowego o
rozkładzie (10.7), to zmienne brzegowe X i Y
też są
typu skokowego o rozkładach odpowiednio
Ponadto
Wykład
3
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka
2
( , )
,
j
i
x y ��
,
(
,
)
0 dla ,
1,2,... i
1
i
j
ij
ij
i j
P X x Y y
p
i j
p
=
=
=
>
=
=
�
(
)
i (
)
dla ,
1,2,...
i
ij
j
ij
j
i
P X x
p
P Y y
p
i j
=
=
=
=
=
�
�
(
/
)
i (
/
)
(
)
(
)
ij
ij
i
j
j
i
j
i
p
p
P X x Y y
P Y y X x
P Y y
P X x
=
=
=
=
=
=
=
=
Wektor losowy (X, Y
) typu
skokowego
(10.9) Przykład
W urnie jest 8 kul białych i 2 czarne. Losujemy
bez zwracania dwie kule. Niech zmienna losowa
X przyjmuje wartości równe liczbie kul czarnych
wśród wylosowanych, zaś
Wyznaczyć
a)
rozkład wektora losowego (X, Y
)
b)
dystrybuantę wektora losowego (X, Y
)
c)
rozkłady brzegowe
d)
rozkład warunkowy zmiennej X (warunek: Y = 0)
Wykład
3
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka
{
1 gdy pierwsza wylosowana kula jest czarna
0 gdy pierwsza wylosowana kula jest biała
Y =
Wektor losowy (X, Y
) typu
ciągłego
Wektor losowy (X, Y
) jest typu ciągłego, jeżeli dystrybuanta F
tego wektora jest postaci (por. rys.10.1)
(10.10)
gdzie jest nieujemną funkcją taką, że
(10.11)
Rys.10.1. Wartość dystrybuanty wektora losowego w punkcie (x
0
, y
0
)
Wykład
3
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka
2
( , )
( , )
dla ( , )
x
y
F x y
f u v dvdu
x y
- � - �
=
�
��
�
2
:
f
�
�
�
( , )
1
f x y dxdy
� �
- � - �
=
��
0
x
0
y
0
( , )
f x y
x
y
Własności wektora losowego (X,
Y
) typu ciągłego
(10.12) Własność
Dla dowolnego zbioru borelowskiego
W szczególności
(10.13) Twierdzenie
Jeżeli (X, Y
) jest wektorem losowym typu ciągłego o gęstości f, to
zmienne brzegowe X, Y
też są typu ciągłego o gęstościach f
X
, f
Y
określonych wzorami (por. rys.10.2)
Wykład
3
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka
2
(
)
B�
�
B
(
)
( , )
( , )
B
P X Y
B
f x y dxdy
� =
�
�
(
,
)
( , )
b d
a c
P a X b c Y d
f x y dydx
� �
� � =
��
dla , , ,
,
,
a b c d
a b c d
�
<
<
�
( )
( , ) dla
( )
( , ) dla
X
Y
f x
f x y dy
x
f y
f x y dx
y
�
- �
�
- �
=
�
=
�
�
�
�
�
0
x
0
( , )
f x y
x
y
0
( )
X
f x
Rys.10.2. Wartość
gęstości rozkładu
brzegowego X
Własności wektora losowego (X,
Y
) typu ciągłego
(10.14) Twierdzenie
Jeśli (X, Y
) jest wektorem losowym typu ciągłego o
gęstości f, to gęstość rozkładu warunkowego zmiennej
losowej X przy warunku Y = y jest określona wzorem
zaś gęstość rozkładu warunkowego zmiennej losowej Y
przy warunku X = x wzorem
gdzie f
X
, f
Y
są gęstościami rozkładów brzegowych
Wykład
3
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka
( , )
( / )
dla ,
( ) 0
( )
Y
Y
f x y
f x y
x y
f y
f y
ٹ�=
�
( , )
( / )
dla ,
( ) 0
( )
X
X
f x y
f y x
x y
f x
f x
ٹ�=
�
Własności wektora losowego (X,
Y
) typu ciągłego
Wektor losowy (X, Y
) ma rozkład jednostajny na ograniczonym zbiorze
borelowskim
, jeśli funkcja gęstości ma postać (por. rys. 10.3)
gdzie m jest miarą Lebesgue’ga w
(10.5) Przykład
(X, Y
) jest wektorem losowym o rozkładzie jednostajnym
na zbiorze
Wyznaczyć
a)
gęstość wektora (X, Y
)
b)
gęstości rozkładów brzegowych
c)
gęstości rozkładów warunkowych
Wykład
3
Opracowała Joanna Banaś
Metody probabilistyczne i statystyka
2
B��
1
dla ( , )
( )
( , )
0
dla ( , )
x y
B
m B
f x y
x y
B
�
�
�
=�
�
�
�
2
�
2
{( , )
:| | | | 1}
K
x y
x
y
=
�
+
�
�
Rys.10.3. Wykres
gęstości rozkładu
jednostajnego na
zbiorze
2
B��
1
x
y
1
( )
m B
0 B
( , )
f x y
Wykład
3
Metody probabilistyczne i statystyka
Dziękuję za uwagę
Opracowała Joanna Banaś