Zmienne typu ciągłego,
wektory losowe

Dr Joanna Banaś

Zakład Matematyki Stosowanej

Katedra Metod Sztucznej Inteligencji i Matematyki

Stosowanej

Wykład

3

Metody probabilistyczne i statystyka

Wydział Informatyki Zachodniopomorskiego Uniwersytetu

Technologicznego w Szczecinie

8. Wybrane zmienne typu ciągłego



(8.1) Rozkład jednostajny (prostokątny, równomierny) na

przedziale a,b



Funkcja gęstości



Dystrybuanta



Parametry







Realizacja



np. czas oczekiwania na tramwaj

Wykład

2

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka

0

dla

( )

dla

1

dla

x a

x a

F x

a x b

b a

x b

�

�

�

� -

=

< �

�

-

�

>

�

�

1

dla

,

( )

0

dla

,

x

a b

f x

b a

x

a b

�

�� �

�

=

-

�

�

�� �

�

2

2

2

2

2

2

( )

2

(

)

( )

3

12

b a

EX

x f x dx

b a

b

ba a

EX

x f x dx

D X

�

- �

�

- �

+

=

�

=

-

+ +

=

�

=

=

�

�

Rys.8.1. Wykres gęstości (a)
i dystrybuanty (b) zmiennej X

a

( )

f x

1

b a

-

0

b

a

( )

F x

1

0

b

a)

b)

x

x

Rozkład wykładniczy



(8.1) Rozkład wykładniczy z parametrem



> 0



Funkcja gęstości



Dystrybuanta



Rozkład jest dobrze określony

Wykład

2

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka

0

dla

0

( )

1

dla

0

x

x

F x

e

x

- l

�

�

=�

-

>

�

0

dla

0

( )

dla

0

x

x

f x

e

x

- l

<

�

=�

l

�

�

0

0

( )

lim

1 1

x

x

x

x

f x dx

e dx

e

e

�

�

�

- l

- l

- l

- �

��

= l

=-

=-

+ =

�

�

Rys.8.2. Wykres gęstości (a)
i dystrybuanty (b) zmiennej X

( )

f x

l

0

( )

F x

1

0

a)

b)

x

x

Rozkład wykładniczy



Rozkład wykładniczy cd.



Parametry







Realizacja



np. czas bezawaryjnej pracy badanego elementu

(czas życia)



  intensywność awarii



prawdopodobieństwo  niezawodność

elementu

Wykład

2

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka

1

EX =

l

2

2

1

D X =

l

(

)

t

P X t

e

- l

� =

Rozkład normalny



(8.3) Rozkład normalny (Gaussa)

z parametrami

m i > 0



Funkcja gęstości



Rozkład jest dobrze określony

(należy wykorzystać całkę Eulera-Poissona)

(E-P)



Oznaczamy go symbolem N(m,)



Parametry





Wykład

2

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka

2

2

(

)

2

1

( )

dla

2

x m

f x

e

x

-

-

s

=

�

s

p

�

2

0

2

x

e dx

� -

p

=

�

Rys.8.3.

Wykres gęstości rozkładu

normalnego (krzywa Gaussa)

m

m- s

( )

f x

0

m+s

1

2

s

p

EX m

=

2

2

D X =s

Rozkład normalny



Rozkład normalny (Gaussa)

cd.



Wpływ parametrów na kształt funkcji gęstości

Wykład

2

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka

Rys.8.4.

Wpływ parametrów na kształt funkcji gęstości

2

1

( )

f x

0

3

1

2 2p

0.1

1
2p

1

0.5 2p

(3,2)

N

1

2

(2, )

N

(0,1)

N

x

Rozkład normalny
standaryzowany



Rozkład normalny standaryzowany



Funkcja gęstości (parzysta)



Dystrybuanta rozkładu 



(x) – można znaleźć w tablicach statystycznych



Realizacje:



waga oraz wzrost osobników jednorodnych populacji ludzkich i

zwierzęcych



plon na jednakowych poletkach doświadczalnych



losowe błędy pomiarów

Wykład

2

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka

Rys.8.5.

Wykres gęstości rozkładu

standaryzowanego

1

( )

f x

0

0.1

1
2p

(0,1)

N

x

x

-

( )

x

F

( )

x

F -

( ) 1

( )

x

x

F -

= - F

2

2

1

( )

dla

2

x

f x

e

x

-

=

�

p

�

9. Standaryzacja zmiennej
losowej



X  zmienna losowa standaryzowana, jeśli



(9.1) Stwierdzenie

X  zmienna losowa taka, że



Zmienna losowa Y z twierdzenia (9.1) to standaryzacja zmiennej losowej X



(9.2) Przykład

Niech zmienna losowa X ma rozkład N(m,). Obliczyć

prawdopodobieństwo,

że zmienna X przyjmuje wartości w otoczeniu m o promieniu a) , b) 2, c)

3.



(9.3) Wniosek (reguła trzech )

Prawie 100 % wartości zmiennej losowej o rozkładzie normalnym N(m,)

leży

w przedziale (m  3, m + 3)

Wykład

3

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka

2

0 i

1

EX

D X

=

=

2

i

0

m EX

D X

=

<�

s =

>

X m

Y

zmienna standaryzowana

-

�

=

-

s

10. Wektory losowe



(, Z , P)  przestrzeń probabilistyczna

n-wymiarowy wektor losowy (lub n-wymiarowa zmienna losowa)

to dowolne odwzorowanie mierzalne , tzn. takie, że

(10.1)



(10.2) Twierdzenie

 dowolne odwzorowanie takie, że

dla 

X jest wektorem losowym jest zmienną

losową dla

i = 1,…,n



(10.3) Wniosek

Warunkowi (10.1) równoważny jest warunek



Zmienne X

1

, X

2

,…, X

n

to zmienne brzegowe

Wykład

3

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka

:

n

W�

X

�

{

: ( )

}

dla każdego

(

)

n

B

B

w�W

w � �

�

X

�

Z

B

:

n

W�

X

�

(

)

1

( )

( ),...,

( )

n

X

X

w =

w

w

X

:

i

X

�

W� �

1

1

1

1

{

:

( )

,...,

( )

}

dla każdego ( ,..., )

n

n

n

X

x

X

x

x

x

w�W

w <

w <

�

��

Z

Dystrybuanta wektora
losowego



Oznaczenia



Dystrybuanta wektora losowego X = (X

1

,…, X

n

)

(lub dystrybuanta łączna zmiennych losowych X

1

,…,

X

n

)

 funkcja określona wzorem

(10.4)



Dla n = 2 dystrybuanta wektora

losowego (X, Y

) jest określona wzorem

(10.5)

Wykład

3

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka

(

)

(

)

(

)

(

)

1

1

1

1

1

1

1

1

{

:

( )

,...,

( )

}

,...,

{

:

( )

,...,

( )

}

,...,

n

n

n

n

n

n

n

n

P

X

x

X

x

P X

x

X

x

P

X

x

X

x

P X

x

X

x

w�W

w <

w <

�

<

<

w�W

w =

w =

�

=

=

1

,...,

:

n

n

X

X

F

F

=

�

X

�

�

(

)

1

,...,

1

1

1

1

( ,..., )

,...,

dla ( ,..., )

n

n

X

X

n

n

n

n

F

x

x

P X

x

X

x

x

x

=

<

<

��

2

:

F

�

�

�

(

)

2

( , )

,

dla ( , )

F x y

P X x Y y

x y

=

<

<

��

Własności dystrybuanty wektora
losowego (X, Y

)



(10.6) Własności

F – dystrybuanta wektora losowego (X, Y

)

a)

monotoniczność

F – funkcja niemalejąca ze względu na każdą ze zmiennych , tzn.

b)

ciągłość

F – funkcja lewostronnie ciągła ze względu na każdą ze zmiennych ,

tzn.

c)

d)

Wykład

3

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka

1 2

1 2

, ,

1

2

1

2

, ,

1

2

1

2

( , )

( , ),

( , )

( , ).

x x y

x y y

x

x

F x y

F x y

y

y

F x y

F x y

�

�

ޣ >

"

ޣ >

"

�

�

0

0

0

0

0

0

,

0

0

0

,

0

0

0

lim ( , )

( , )

lim ( , )

( , )

x y

x x

x y

y y

F x y

F x y

F x y

F x y

-

-

�

�

�

�

"

=

"

=

�

�

lim ( , ) 0

lim ( , ) 0 lim ( , ) 1

y

x

x

y

x

y

F x y

F x y

F x y

�

�

�- �

�- �

��

��

"

=

"

=

=

�

�

( ) lim ( , ) dla

( ) lim ( , ) dla

X

Y

y

x

F x

F x y

x

F y

F x y

y

��

��

=

�

=

�

�

�

Wektor losowy (X, Y

) typu

skokowego



Wektor losowy (X, Y

) jest typu skokowego, jeżeli rozkład

tego wektora jest miarą atomową, tzn. istnieje

przeliczalna liczba atomów takich, że

(10.7)



(10.8) Twierdzenie

Jeśli (X, Y

) jest wektorem losowym typu skokowego o

rozkładzie (10.7), to zmienne brzegowe X i Y

też są

typu skokowego o rozkładach odpowiednio

Ponadto

Wykład

3

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka

2

( , )

,

j

i

x y ��

,

(

,

)

0 dla ,

1,2,... i

1

i

j

ij

ij

i j

P X x Y y

p

i j

p

=

=

=

>

=

=

�

(

)

i (

)

dla ,

1,2,...

i

ij

j

ij

j

i

P X x

p

P Y y

p

i j

=

=

=

=

=

�

�

(

/

)

i (

/

)

(

)

(

)

ij

ij

i

j

j

i

j

i

p

p

P X x Y y

P Y y X x

P Y y

P X x

=

=

=

=

=

=

=

=

Wektor losowy (X, Y

) typu

skokowego



(10.9) Przykład

W urnie jest 8 kul białych i 2 czarne. Losujemy

bez zwracania dwie kule. Niech zmienna losowa

X przyjmuje wartości równe liczbie kul czarnych

wśród wylosowanych, zaś

Wyznaczyć

a)

rozkład wektora losowego (X, Y

)

b)

dystrybuantę wektora losowego (X, Y

)

c)

rozkłady brzegowe

d)

rozkład warunkowy zmiennej X (warunek: Y = 0)

Wykład

3

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka

{

1 gdy pierwsza wylosowana kula jest czarna
0 gdy pierwsza wylosowana kula jest biała

Y =

Wektor losowy (X, Y

) typu

ciągłego



Wektor losowy (X, Y

) jest typu ciągłego, jeżeli dystrybuanta F

tego wektora jest postaci (por. rys.10.1)

(10.10)

gdzie jest nieujemną funkcją taką, że
(10.11)

Rys.10.1. Wartość dystrybuanty wektora losowego w punkcie (x

0

, y

0

)

Wykład

3

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka

2

( , )

( , )

dla ( , )

x

y

F x y

f u v dvdu

x y

- � - �

=

�

��

�

2

:

f

�

�

�

( , )

1

f x y dxdy

� �

- � - �

=

��

0

x

0

y

0

( , )

f x y

x

y

Własności wektora losowego (X,
Y

) typu ciągłego



(10.12) Własność

Dla dowolnego zbioru borelowskiego

W szczególności



(10.13) Twierdzenie

Jeżeli (X, Y

) jest wektorem losowym typu ciągłego o gęstości f, to

zmienne brzegowe X, Y

też są typu ciągłego o gęstościach f

X

, f

Y

określonych wzorami (por. rys.10.2)

Wykład

3

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka

2

(

)

B�

�

B

(

)

( , )

( , )

B

P X Y

B

f x y dxdy

� =

�

�

(

,

)

( , )

b d

a c

P a X b c Y d

f x y dydx

� �

� � =

��

dla , , ,

,

,

a b c d

a b c d

�

<

<

�

( )

( , ) dla

( )

( , ) dla

X

Y

f x

f x y dy

x

f y

f x y dx

y

�

- �

�

- �

=

�

=

�

�

�

�

�

0

x

0

( , )

f x y

x

y

0

( )

X

f x

Rys.10.2. Wartość
gęstości rozkładu
brzegowego X

Własności wektora losowego (X,
Y

) typu ciągłego



(10.14) Twierdzenie

Jeśli (X, Y

) jest wektorem losowym typu ciągłego o

gęstości f, to gęstość rozkładu warunkowego zmiennej

losowej X przy warunku Y = y jest określona wzorem

zaś gęstość rozkładu warunkowego zmiennej losowej Y

przy warunku X = x wzorem

gdzie f

X

, f

Y

są gęstościami rozkładów brzegowych

Wykład

3

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka

( , )

( / )

dla ,

( ) 0

( )

Y

Y

f x y

f x y

x y

f y

f y

ٹ�=

�

( , )

( / )

dla ,

( ) 0

( )

X

X

f x y

f y x

x y

f x

f x

ٹ�=

�

Własności wektora losowego (X,
Y

) typu ciągłego



Wektor losowy (X, Y

) ma rozkład jednostajny na ograniczonym zbiorze

borelowskim

, jeśli funkcja gęstości ma postać (por. rys. 10.3)

gdzie m jest miarą Lebesgue’ga w



(10.5) Przykład

(X, Y

) jest wektorem losowym o rozkładzie jednostajnym

na zbiorze

Wyznaczyć

a)

gęstość wektora (X, Y

)

b)

gęstości rozkładów brzegowych

c)

gęstości rozkładów warunkowych

Wykład

3

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka

2

B��

1

dla ( , )

( )

( , )

0

dla ( , )

x y

B

m B

f x y

x y

B

�

�

�

=�

�

�

�

2

�

2

{( , )

:| | | | 1}

K

x y

x

y

=

�

+

�

�

Rys.10.3. Wykres
gęstości rozkładu
jednostajnego na
zbiorze

2

B��

1

x

y

1

( )

m B

0 B

( , )

f x y

Wykład

3

Metody probabilistyczne i statystyka

Dziękuję za uwagę

Opracowała Joanna Banaś