Metody probabilistyczne i statystyka Wykład

3

Zmienne typu ciągłego,

wektory losowe

Dr Joanna Banaś

Zakład Matematyki Stosowanej

Katedra Metod Sztucznej Inteligencji i Matematyki Stosowanej Wydział Informatyki Zachodniopomorskiego Uniwersytetu Technologicznego w Szczecinie

Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 2

8. Wybrane zmienne typu ciągłego

(8.1) Rozkład jednostajny (prostokątny, równomierny) na przedziale 〈 a, b〉

Funkcja gęstości

 1



dla x ∈ 〈 a, b〉

f ( x) =  b − a

 0

dla x ∉ 〈 a, b〉



Dystrybuanta  0 dla x ≤ a

f ( x)

a)

F ( x)

b)



1

x − a

b− a

1

F ( x) = 

dla a < x ≤ b

b − a

 1 dla x > b

0

a

b

x

0

a

b

x



Parametry

Rys.8.1. Wykres gęstości (a)

∞

b + a

EX =

x ⋅ f ( x) dx =

∫

i dystrybuanty (b) zmiennej X

−∞

2

2

2

2

∞

+

+

−

2

2

b

ba

a

2

( b

a)

EX =

x ⋅ f ( x) dx =

D X =

∫−∞

3

12

Realizacja

np. czas oczekiwania na tramwaj

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 2

Rozkład wykładniczy

(8.1) Rozkład wykładniczy z parametrem λ > 0

Funkcja gęstości

 0

dla x < 0

f ( x) = 

−λ x

λ

a)

e

dla x ≥



0

f ( x)

F ( x)

b)

λ

1

Dystrybuanta



0

dla x ≤ 0

0

x

0

x

F ( x) = 

Rys.8.2. Wykres gęstości (a)

1

−λ x

− e

dla x >



0

i dystrybuanty (b) zmiennej X

Rozkład jest dobrze określony

∞

∞

∞

f ( x)

−λ x

−λ x

dx =

λ e

dx = − e

= − lim −λ x

e

+1 = 1

∫

∫

−∞

0

0

x→∞

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 2

Rozkład wykładniczy

Rozkład wykładniczy cd.

Parametry

1

EX = λ

2

1

D X =

2

λ

Realizacja

np. czas bezawaryjnej pracy badanego elementu ( czas ż ycia)

λ − intensywność awarii

−λ t

prawdopodobieństwo

P (

X

≥

t )

=

e − niezawodność elementu Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 2

Rozkład normalny

(8.3) Rozkład normalny (Gaussa) z parametrami m∈R i σ> 0

Funkcja gęstości

2

( x− m)

1

−

2

2

f ( x)

e

σ

=

dla x ∈ »

σ 2π

f ( x)

Rozkład jest dobrze określony

1

σ 2π

(należy wykorzystać całkę Eulera-Poissona)

∞

2

− x

π

(E-P)

e

dx =

∫0

2

0 m − σ

m

m + σ

Oznaczamy go symbolem N( m,σ)

Rys.8.3. Wykres gęstości rozkładu

Parametry

normalnego ( krzywa Gaussa)

EX = m

2

2

D X = σ

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 2

Rozkład normalny

Rozkład normalny (Gaussa) cd.

Wpływ parametrów na kształt funkcji gęstości

f ( x)

1

1

N (2, )

0.5 2π

2

1

2π

N (0,1)

1

2 2π

N (3, 2)

0.1

0

1

2

3

x

Rys.8.4. Wpływ parametrów na kształt funkcji gęstości Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka

Wykład 2

Rozkład normalny standaryzowany

Rozkład normalny standaryzowany

f ( x)

Funkcja gęstości (parzysta)

1

2π

N (0,1)

2

1

x

−

Φ

2

(− x)

f ( x) =

e

dla x ∈ »

Φ( x)

0.1

2π

− x

0

1 x

Dystrybuanta rozkładu Φ

Rys.8.5. Wykres gęstości rozkładu

standaryzowanego

Φ(− x) = 1− Φ( x)

Φ( x) – można znaleźć w tablicach statystycznych

Realizacje:

waga oraz wzrost osobników jednorodnych populacji ludzkich i zwierzęcych

plon na jednakowych poletkach doświadczalnych

losowe błędy pomiarów

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 3

9. Standaryzacja zmiennej losowej

2

X − zmienna losowa standaryzowana, jeśli EX = 0 i D X = 1

(9.1) Stwierdzenie

X − zmienna losowa taka, że

2

m = EX < ∞ i σ =

D X > 0

X − m

⇒ Y =

− zmienna standaryzowana

σ

Zmienna losowa Y z twierdzenia (9.1) to standaryzacja zmiennej losowej X

(9.2) Przykład

Niech zmienna losowa X ma rozkład N( m,σ). Obliczyć prawdopodobieństwo, że zmienna X przyjmuje wartości w otoczeniu m o promieniu a) σ, b) 2σ, c) 3σ.

(9.3) Wniosek (reguła trzech σ)

Prawie 100 % wartości zmiennej losowej o rozkładzie normalnym N( m,σ) leży w przedziale ( m − 3σ, m + 3σ)

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 3

10. Wektory losowe

(Ω, Z , P) − przestrzeń probabilistyczna

n-wymiarowy wektor losowy (lub n-wymiarowa zmienna losowa) to dowolne odwzorowanie mierzalne

X :

» n

Ω →

, tzn. takie, że

(10.1)

{ω∈ Ω : X( )

ω ∈ }∈ Z d

la każdego ∈ B ( n

B

B

» )

(10.2) Twierdzenie

X :

» −

n

Ω →

dowolne odwzorowanie takie, że X( )

ω = ( X ω

ω

1 (

),..., X n ( ))

dla ω∈Ω

X jest wektorem losowym

⇔

X Ω →

i

:

» jest zmienną losową dla

i = 1,…, n

(10.3) Wniosek

Warunkowi (10.1) równoważny jest warunek

{ω∈ Ω : X ω <

ω <

∈ Z

∈

1 (

)

1

x ,..., X ( )

x }

dla każdego ( 1

x ,..., 1

x )

n

n

n

»

Zmienne X , X ,…, X to zmienne brzegowe 1

2

n

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 3

Dystrybuanta wektora losowego

Oznaczenia

P ({ω∈ Ω : X ω < x

X

ω < x

≡ P X < x

X < x

1 (

)

1 ,...,

n (

)

n

)

}

( 1

1 ,...,

n

n )

P ({ω∈ Ω : X ω = x

X

ω = x

≡ P X = x

X = x

1 (

)

1 ,...,

n (

)

n })

( 1

1 ,...,

n

n )

Dystrybuanta wektora losowego X = ( X ,…, X ) 1

n

(lub dystrybuanta łą czna zmiennych losowych X ,…, X ) 1

n

− funkcja

F

X

=

F

» n →

X

X

» określona wzorem

1 ,...,

:

n

(10.4) F

=

<

<

∈

X ( x ,..., xn )

P X

x ,..., X n

xn dla ( x ,..., xn )

n

X

»

1 ,...,

n

1

( 1

1

)

1

2

Dla n = 2 dystrybuanta

F

:

»

→

» wektora losowego

( X, Y ) jest określona wzorem

(10.5)

F x y = P ( X < x Y < y) 2

( , )

,

dla ( x, y) ∈ »

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 3

Własności dystrybuanty wektora losowego

( X, Y )

(10.6) Własności

F – dystrybuanta wektora losowego ( X, Y ) a)

monotoniczność

F – funkcja niemalejąca ze względu na każdą ze zmiennych , tzn.

∀

<

⇒

≤

∈

x

x

F x y

F x y

x x

y

( , )

(

, ),

1 , 2 ,

»

1

2

1

2

∀

<

⇒

≤

∈

y

y

F x y

F x y

x, y y

( ,

)

( ,

).

1 , 2 »

1

2

1

2

b)

ciągłość

F – funkcja lewostronnie ciągła ze względu na każdą ze zmiennych , tzn.

∀

=

∈

F x y

F x y

x y

lim

( ,

)

(

,

)

0 , 0 »

0

0

0

x→ x−

0

∀

=

∈

F x y

F x y

x y

lim

(

, )

(

,

)

0 , 0 »

0

0

0

y→ y−

0

c)

∀

=

∀

=

=

y∈

lim F ( ,

x y)

0

»

x∈

lim F ( x, y)

0 lim F ( ,

x y) 1

»

x→−∞

y→−∞

x→∞

y→∞

d)

=

∈ »

=

∈

X

F ( x)

lim F ( ,

x y) dla x

Y

F ( y)

lim F ( ,

x y) dla y

»

y→∞

x→∞

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 3

Wektor losowy ( X, Y ) typu skokowego

Wektor losowy ( X, Y ) jest typu skokowego, jeżeli rozkład tego wektora jest miarą atomową, tzn. istnieje przeliczalna liczba atomów 2

( x y

∈

i ,

j )

» ,

takich, że

(10.7)

P( X = x

=

=

>

=

=

∑

i , Y

y j )

pij

0 dla i, j

1, 2,... i

pij

1

i, j

(10.8) Twierdzenie

Jeśli ( X, Y ) jest wektorem losowym typu skokowego o rozkładzie (10.7), to zmienne brzegowe X i Y też są typu skokowego o rozkładach odpowiednio

P( X = x =

p

P Y = y

=

p

i j =

∑

∑

i )

ij i

(

j )

ij dla ,

1, 2,...

j

i

Ponadto

p

p

P( X = x / Y = y ) ij

=

i P( Y = y / X = x ) ij

=

i

j

j

i

P( Y = y

P X = x

j )

(

i )

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 3

Wektor losowy ( X, Y ) typu skokowego

(10.9) Przykład

W urnie jest 8 kul białych i 2 czarne. Losujemy bez zwracania dwie kule. Niech zmienna losowa X przyjmuje wartości równe liczbie kul czarnych wśród wylosowanych, zaś

Y = {1 gdy pierwsza wylosowana kula jest czarna 0

gdy pierwsza wylosowana kula jest biała

Wyznaczyć

a)

rozkład wektora losowego ( X, Y )

b)

dystrybuantę wektora losowego ( X, Y ) c)

rozkłady brzegowe

d)

rozkład warunkowy zmiennej X (warunek: Y = 0) Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka

Wykład 3

Wektor losowy ( X, Y ) typu ciągłego

Wektor losowy ( X, Y ) jest typu cią głego, jeżeli dystrybuanta F tego wektora jest postaci (por. rys.10.1)

x

y

(10.10)

2

F ( x, y) =

f ( u, v) dvdu dla ( x, y) ∈

∫ ∫

»

−∞ −∞

gdzie f

» 2

:

→

» jest nieujemną funkcją taką, że

(10.11)

∞

∞ f ( x, y) dxdy =1

∫ ∫

−∞ −∞

f ( x, y)

x 0

0

x

y 0

y

Rys.10.1. Wartość dystrybuanty wektora losowego w punkcie ( x , y ) 0

0

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 3

Własności wektora losowego ( X, Y ) typu ciągłego

(10.12) Własność

Dla dowolnego zbioru borelowskiego

2

B ⊂ B (» )

P (( X , Y ) ∈ B) =

f ( x, y) dxdy

∫∫

W szczególności

B

b

d

P( a ≤ X ≤ ,

b c ≤ Y ≤ d ) =

f ( x, y) dydx

∫ ∫

a

c

dla a, b, c, d ∈ », a < b, c < d

(10.13) Twierdzenie

Jeżeli ( X, Y ) jest wektorem losowym typu ciągłego o gęstości f, to zmienne brzegowe X, Y

też są typu ciągłego o gęstościach f , f okre X

Y

ślonych wzorami (por. rys.10.2)

f ( x, y)

∞

f ( x )

f

=

∈

X

0

X ( x)

f ( x, y) dy dla x

∫

»

−∞

Rys.10.2. Wartość gęstości

∞

x 0

f

y =

f x y dx

y ∈

0

rozkładu brzegowego X

Y (

)

( , )

dla

∫

»

−∞

x

y

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka Wykład 3

Własności wektora losowego ( X, Y ) typu ciągłego

(10.14) Twierdzenie

Jeśli ( X, Y ) jest wektorem losowym typu ciągłego o gęstości f, to gęstość rozkładu warunkowego zmiennej losowej X przy warunku Y = y jest określona wzorem

f ( x, y)

f ( x / y) =

dla x, y ∈ » ∧ f

≠

Y ( y)

0

f

y

Y (

)

zaś gęstość rozkładu warunkowego zmiennej losowej Y przy warunku X = x wzorem

f ( x, y)

f ( y / x) =

dla x, y ∈ » ∧ f

≠

X ( x)

0

f

x

X (

)

gdzie f , f są gęstościami rozkładów brzegowych X

Y

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka

Wykład 3

Własności wektora losowego ( X, Y ) typu ciągłego

Wektor losowy ( X, Y ) ma rozkład jednostajny na ograniczonym zbiorze borelowskim 2

B ⊂ » , jeśli funkcja gęstości ma postać (por. rys. 10.3)

 1

dla ( x, y) ∈



B

f ( x, y) =  m( B)

 0

dla ( x, y) ∉



B

f ( x, y)

1

m( B)

gdzie m jest miarą Lebesgue’ga w

2

»

(10.5) Przykład

( X, Y ) jest wektorem losowym o rozkładzie jednostajnym 0

1

x

na zbiorze

2

K = {( x, y) ∈ » :| x | + | y | ≤ 1}

B

Wyznaczyć

y

a)

gęstość wektora ( X, Y )

Rys.10.3. Wykres gęstości

b)

gęstości rozkładów brzegowych

rozkładu jednostajnego na

c)

gęstości rozkładów warunkowych

zbiorze

2

B ⊂ »

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka Wykład

3

Dziękuję za uwagę

Opracowała Joanna Banaś