Weryfikacja hipotez
statystycznych,
parametryczne testy
istotności w populacji

Dr Joanna Banaś

Zakład Matematyki Stosowanej

Katedra Metod Sztucznej Inteligencji i Matematyki

Stosowanej

Wykład

9

Metody probabilistyczne i statystyka

Wydział Informatyki Zachodniopomorskiego Uniwersytetu

Technologicznego w Szczecinie

23. Weryfikacja hipotez
statystycznych



Cel weryfikacji hipotez statystycznych – ustalenie, czy

estymacja parametrów populacji (lub jej rozkładu)

uzyskana na podstawie próbki jest do przyjęcia



Działanie



porównanie wyników otrzymanych z próbki z założeniami

teoretycznymi



porównanie wyników otrzymanych z dwóch próbek

Określamy przy tym, czy porównywane wyniki różnią się

w sposób istotny, czy przypadkowy



Podstawowe pojęcia



hipoteza statystyczna



test statystyczny

Wykład

9

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka

Podstawowe pojęcia



Hipoteza statystyczna – dowolne przypuszczenie o

nieznanym rozkładzie badanej cechy populacji, o

prawdziwości lub fałszywości którego wnioskuje się w

oparciu o pobraną próbkę



Hipoteza nieparametryczna – przypuszczenie dotyczy postaci

rozkładu cechy populacji



Hipoteza parametryczna – przypuszczenie dotyczy wartości

parametrów rozkładu cechy populacji



Test statystyczny – reguła postępowania, która każdej

możliwej realizacji próby (x

1

,…, x

n

) przyporządkowuje (z

ustalonym prawdopodobieństwem) decyzję przyjęcia albo

odrzucenia sprawdzanej hipotezy



Test parametryczny – dotyczy hipotezy parametrycznej



Test nieparametryczny (test zgodności) – dotyczy hipotezy

nieparametrycznej

Wykład

9

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka

Elementy testu
statystycznego



X – badana cecha populacji



H

0

– pewna hipoteza statystyczna, dotycząca

rozkładu cechy X, zwana hipotezą zerową



H

1

– hipoteza alternatywna, którą będziemy skłonni

przyjąć, gdyby H

0

okazała się fałszywa



Statystyka testowa albo sprawdzian – statystyka U

n

= U

n

(X

1

,…, X

n

), dobrana jako miernik rozbieżności

między wynikami próby a postacią hipotetyczną



Obszar krytyczny – przedział liczbowy K, do którego

prawie na pewno nie powinna należeć żadna

realizacja statystyki U

n

, jeśli H

0

jest prawdziwa

Wykład

9

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka

Błędy przy podejmowaniu
decyzji



Dla próbki (x

1

,…, x

n

) wartości cechy X obliczamy u

n

= U

n

(X

1

,

…, X

n

)

i podejmujemy jedną z decyzji:



odrzucamy H

0

i przyjmujemy H

1

, jeśli u

n

 K



przyjmujemy H

0

i odrzucamy H

1

, jeśli u

n

 K



Przy weryfikacji hipotezy w oparciu o wyniki próbki można

popełnić dwa rodzaje błędów:



błąd pierwszego rodzaju – odrzucenie hipotezy H

0

, gdy jest ona

prawdziwa (prawdopodobieństwo popełnienia tego błędu

nazywamy poziomem istotności i oznaczamy przez )

(23.1)  = P (U

n

 K / H

0

)



błąd drugiego rodzaju – przyjęcie hipotezy H

0

, gdy jest ona

fałszywa (prawdopodobieństwo popełnienia oznaczamy przez )

(23.2)  = P (U

n

 K / H

1

) = 1 P (U

n

 K / H

1

)

Wykład

9

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka

Błędy przy podejmowaniu
decyzji



Tablica 23.1. Decyzje słuszne i błędy przy podejmowaniu decyzji



Dla ustalonego (0,1) bliskiego zera, obszar krytyczny K dobiera się

tak, aby  było możliwie najmniejsze (wówczas test jest najmocniejszy)



Ponieważ najczęściej  jest dość duże, albo nie jest znane, zamiast

wysoce ryzykownej decyzji „przyjmujemy H

0

„ podejmujemy

ostrożniejszą:

„nie ma podstaw do odrzucenia H

0

„



Testy istotności – testy, w których nie uwzględnia się błędu 2-go

rodzaju

Wykład

9

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka

Sytuacja

Decyzja

H

0

– prawdziwa

H

0

– fałszywa

Przyjęcie H

0

decyzja słuszna

1 – 

błąd 2-go rodzaju



Odrzucenie H

0

błąd 1-go rodzaju



decyzja słuszna

1 – 

24

. Parametryczne testy istotności

w populacji



(24.1) Wartość oczekiwana (średnia)



Model 1 (rozkład normalny, znana wariancja)

X – zmienna losowa o rozkładzie normalnym N(m,),

wartość oczekiwana m = EX nie jest znana,

wariancja 

2

= D

2

X jest znana

Statystyka

ma rozkład N(0,1) przy założeniu prawdziwości

hipotezy zerowej

H

0

: m = m

0

Dla przykładu pokażemy konstrukcję obszaru

krytycznego dla hipotezy alternatywnej H

1

: m > m

0

Wykład

9

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka

0

X m

U

n

-

=

s

Weryfikacja hipotezy dotyczącej
wartości średniej – model 1

Dla ustalonego (0,1) mamy

 = P (U K / m = m

0

)

Obszar krytyczny K dobiera się tak, aby  było możliwie

najmniejsze,

tzn. P (U

 K / H

1

) było największe

Ponieważ H

1

: m > m

0

, więc

 = P (U  k) = 1  P (U < k) = 1  (k) dla pewnego k

Stąd (k) = 1
Oznacza to, że k jest kwantylem rzędu 1

i będziemy go oznaczać przez u(1)

W rezultacie

K = u(1); )

Dla pozostałych hipotez obszary krytyczne buduje się analogicznie

Wykład

9

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka

( )

f x

0

0.1

(0,1)

N

k

1- a

a

Rys.24.1. Gęstość rozkładu

N(0,1)

Weryfikacja hipotezy dotyczącej
wartości średniej – model 1

Tablica 24.1. Tablica testu dla średniej – model 1

Wykład

9

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka

Hipoteza

Statysty

ka

testowa

U

Obszar

krytyczny K

Uwagi

zerowa

alternatyw

na

H

0

: m =

m

0

H

1

: m 

m

0

H

1

: m <

m

0

H

1

: m >

m

0

0

X m n

-

s

2

2

(

; (1

)

(1

); )

u

u

a

a

- �-

-

�

�� -

�

0

0.1

(0,1)

N

2

(1

)

u

a

-

1- a

2

a

2

(1

)

u

a

-

-

2

a

0

0.1

(0,1)

N

(1

)

u - a

1- a

a

0

0.1

(0,1)

N

(1

)

( )

u

u

-

- a = a

1- a

a

(

; (1

)

u

- �-

- a �

(1

); )

u

� - a �

Weryfikacja hipotezy dotyczącej
wartości średniej – model 1



Przykład (do modelu 1)



Norma przewiduje, że waga produkowanego wyrobu

powinna wynosić 50 dag



Wysunięto przypuszczenie, że producent zawyża wagę

wyrobów



Aby potwierdzić przypuszczenie wylosowano 16

wyrobów, dla których średnia waga wynosiła 51 dag



Wiadomo, że odchylenie standardowe wynosi 1.1 dag



Waga wyrobów ma rozkład normalny

Na poziomie istotności 0.05 zweryfikować

hipotezę, że waga wyrobów według normy i

waga rzeczywista są równe wobec hipotezy

alternatywnej, że są różne

Wykład

9

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka

Weryfikacja hipotezy dotyczącej
wartości średniej – model 2



Model 2 (rozkład normalny, parametry nieznane)

X – zmienna losowa o rozkładzie normalnym N(m,),

parametry m i  nie są znane

Statystyka

ma rozkład Studenta z n1 stopniami swobody przy

założeniu, że prawdziwa jest hipoteza zerowa H

0

: m =

m

0

Ponieważ funkcja gęstości rozkładu Studenta ma

podobne własności jak krzywa Gaussa, obszary

krytyczne dla hipotez alternatywnych H

1

: m  m

0

, H

1

:

m < m

0

oraz H

1

: m > m

0

buduje się podobnie jak w

modelu 1

Wykład

9

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka

0

1

X m

t

n

S

-

=

-

Weryfikacja hipotezy dotyczącej
wartości średniej – model 2

Tablica 24.2. Tablica testu dla średniej – model 2

Wykład

9

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka

Hipoteza

Statystyka

testowa t

Obszar

krytyczny K

Uwagi

zerowa

alternaty

wna

H

0

: m =

m

0

H

1

: m 

m

0

H

1

: m <

m

0

H

1

: m >

m

0

0

1

X m n

S

-

-

2

2

(

; (1

,

1)

(1

,

1); )

t

n

t

n

a

a

- �-

-

- �

�� -

-

�

0

0.1

t

2

(1

,

1)

t

n

a

-

-

1- a

2

a

2

(1

,

1)

t

n

a

-

-

-

2

a

0

0.1

t

(1

,

1)

t

n

- a -

1- a

a

0

0.1

t

(1

,

1)

t

n

-

- a -

1- a

a

(

; (1

,

1)

t

n

- �-

- a - �

(1

,

1); )

t

n

� - a -

�

Weryfikacja hipotezy dotyczącej

wartości średniej – model 2



Przykład (do modelu 2)



Norma przewiduje, że średni czas potrzebny na

wykonanie pewnego detalu wynosi 1.5 h



Robotnicy skarżą się, że czas ten jest zbyt krótki



Aby sprawdzić zasadność skargi, zmierzono faktyczny

czas produkcji 17 losowo wybranych detali i

otrzymano wartość średniej z próbki 1.6 h, a

odchylenia standardowego 0.2 h



Zakładamy, że czas potrzebny do wykonania detalu

jest zmienną losową o rozkładzie normalnym

Na poziomie istotności 0.05 stwierdzić, czy

uzyskane wyniki stanowią podstawę do

zwiększenia normy

Wykład

9

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka

Weryfikacja hipotezy dotyczącej

wartości średniej – model 3



Model 3 (rozkład nieznany, duża próba n  100 )

X – zmienna losowa o nieznanym rozkładzie, istnieją wartość

oczekiwana

EX = m i wariancja 

2

= D

2

X > 0

Jeśli próba jest duża ( n  100 ), to statystyka

ma w przybliżeniu rozkład normalny N(0,1), a nieznaną wartość

parametru  możemy oszacować za pomocą estymatora S, gdzie

W rezultacie do weryfikacji hipotez stosujemy statystykę

przy założeniu, że prawdziwa jest hipoteza zerowa H

0

: m = m

0

Obszary krytyczne dla hipotez alternatywnych H

1

: m  m

0

, H

1

: m

< m

0

oraz H

1

: m > m

0

wyznaczamy tak samo jak w modelu 1

Wykład

9

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka

X m

U

n

-

=

s

(

)

2

2

1

1

n

i

n

i

S

X

X

=

=

-

�

0

X m

U

n

S

-

=

Weryfikacja hipotezy dotyczącej
wariancji – model 1



(24.2) Wariancja (lub odchylenie standardowe)



Model 1 (rozkład normalny, parametry nieznane)

X – zmienna losowa o rozkładzie normalnym

N(m,),

parametry m i  nie są znane

Statystyka

ma rozkład 

2

z n



1 stopniami swobody przy

założeniu, że prawdziwa jest hipoteza zerowa

H

0

: 

2

= 

02

( lub H

0

:  = 

0

)

Wykład

9

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka

2

2

2

0

nS

c =

s

Weryfikacja hipotezy dotyczącej
wariancji – model 1

Tablica 24.3. Tablica testu dla wariancji – model 1

Wykład

9

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka

Hipoteza

Statysty

ka

testowa



2

Obszar

krytyczny K

Uwagi

zerowa

alternatyw

na

H

0

: 

2

=



0

2

H

1

: 

2

 

0

2

H

1

: 

2

< 

0

2

H

1

: 

2

> 

0

2

2

2

0

nS

s

2

2

2

2

0; ( ,

1)

(1

,

1); )

n

n

a

a

� c

- ��

�

c

-

-

�

2

a

1- a

2

2

( ,

1)

n

a

c

-

2

a

( )

f x

0

x

2

c

2

2

(1

,

1)

n

a

c

-

-

1- a

2

( ,

1)

n

c a -

a

( )

f x

0

x

2

c

x

2

0; ( ,

1)

n

� c a - �

2

(1

,

1); )

n

�

c

- a -

�

a

1- a

( )

f x

0

x

2

c

2

(1

,

1)

n

c

- a -

Weryfikacja hipotezy dotyczącej
wariancji – model 1



Przykład (do modelu 1)



Dokonano 10 pomiarów pewnej wielkości



Otrzymano odchylenie standardowe z próbki

1.5



W teorii pomiarów zakładamy, że wynik

pomiaru jest zmienną losową o rozkładzie

normalnym N(m,), zaś odchylenie

standardowe jest miarą dokładności pomiarów

Zweryfikować hipotezę H

0

:  = 1.0

wobec hipotezy alternatywnej H

1

:  > 1.0

na poziomie istotności 0.05

Wykład

9

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka

Weryfikacja hipotezy dotyczącej
wariancji – model 2



Model 2 (rozkład normalny, duża próba n  50 )

X – zmienna losowa o rozkładzie normalnym N(m,),

parametry m i  nie są znane

Jeśli próba jest duża ( n  50 ), to statystyka

ma w przybliżeniu rozkład normalny N(0,1), przy

założeniu, że prawdziwa jest hipoteza zerowa H

0

: 

2

=



02

( lub H

0

:  = 

0

)

Obszary krytyczne dla hipotez alternatywnych
H

1

: 

2

 

02

, H

1

: 

2

< 

02

oraz H

1

: 

2

> 

02

wyznaczamy tak samo jak w modelu 1 dla średniej

Wykład

9

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka

2

2

2

3

U

n

= c -

-

Weryfikacja hipotezy dotyczącej
wariancji – model 3



Model 3 (rozkład nieznany, duża próba n  100 )

X – zmienna losowa o dowolnym rozkładzie

o skończonej wariancji 

2

> 0

Jeśli próba jest duża ( n  100 ), to statystyka

ma w przybliżeniu rozkład normalny N(0,1), przy

założeniu, że prawdziwa jest hipoteza zerowa H

0

: 

2

=



02

( lub H

0

:  = 

0

)

Obszary krytyczne dla hipotez alternatywnych
H

1

: 

2

 

02

, H

1

: 

2

< 

02

oraz H

1

: 

2

> 

02

wyznaczamy tak samo jak w modelu 1 dla średniej

Wykład

9

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka

2

2

0

2

0

ˆ

2

S

n

U

- s

=

s

Weryfikacja hipotezy dotyczącej
wariancji



Przykład



Wylosowano 200 robotników pewnego zakładu



Zbadano stopień wykonania normy [%]



Wyniki przedstawiono w szeregu rozdzielczym

Na poziomie istotności 0.05 zweryfikować

hipotezę, że odchylenie standardowe stopnia

wykonania normy jest równe 10 % wobec

hipotezy alternatywnej, że jest mniejsze od 10 %

Wykład

9

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka

Stopień wykonania

normy [%]

70 80 90 100 110 120 130 140 150

Liczba
pracowników

3

15 29 70 50 17 12

3

1

Weryfikacja hipotezy o
wskaźniku struktury



(24.3) Wskaźnik struktury



Model (rozkład 0-1, parametr p nieznany, duża próba n  100 )

X – zmienna losowa o rozkładzie 0-1, parametr p nie jest znany
Jeśli próba jest duża ( n  100 ), to statystyka

gdzie M jest zmienną losową, której wartości są liczbami

wyróżnionych elementów w n-elementowej próbce, ma rozkład w

przybliżeniu normalny N(0,1), przy założeniu, że prawdziwa jest

hipoteza zerowa H

0

: p = p

0

Obszary krytyczne dla hipotez alternatywnych
H

1

: p  p

0

, H

1

: p < p

0

oraz H

1

: p > p

0

wyznaczamy tak samo jak w modelu 1 dla średniej

Wykład

9

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka

0

0

0

(1

)

M

n

p

U

p

p

n

-

=

-

Weryfikacja hipotezy o
wskaźniku struktury



Przykład



Zbadano 2000 pacjentów pewnego szpitala



8 % miało grupę krwi AB



25 % pacjentów z grupą krwi AB miało

czynnik RH–

Na poziomie istotności 0.01

zweryfikować hipotezę, ze odsetek

osób o grupie krwi AB RH– wynosi 3 %

wobec alternatywnej, że jest mniejszy

niż 3 %

Wykład

9

Opracowała Joanna Banaś

Metody probabilistyczne i statystyka

Wykład

9

Metody probabilistyczne i statystyka

Dziękuję za uwagę

Opracowała Joanna Banaś