Fraktale

Fraktale

Fraktale, co to

takiego?

•

Termin fraktale jest nowy w języku

matematyki, ale figury będące

fraktalami konstruowali już bardzo

dawno temu wybitni matematycy

tacy jak: Peano, Hilbert, a zwłaszcza

Sierpiński. Te konstrukcje były im

potrzebne głównie po to, aby lepiej

wyjaśnić podstawowe pojęcia

matematyczne. Co to jest wymiar

figury? Co to jest linia?

Teoria fraktali

• Teoria fraktali , to obecnie bardzo żywo

rozwijająca się i bardzo modna

dyscyplina. Zajmują się nią specjaliści

różnych nauk: matematycy, fizycy,

mechanicy. Wielu badaczy twierdzi, że

geometria fraktali jest geometrią

przyrody. W chmurach, liniach wybrzeży

morskich, łańcuchach górskich,

płatkach śniegu, drzewach, pianie

mydlanej można odkryć kształty fraktali.

Cóż więc to

takiego, te

fraktale?

• Fraktale są figurami, w których część

figury jest podobna do całości. Ale ciągle

jeszcze nie istnieje ścisła definicja fraktala.

Najwybitniejszym znawcą fraktali i twórcą

tego terminu, jest matematyk i informatyk

amerykański Benoit Mandelbrot. W swoim

referacie wygłoszonym na

Międzynarodowym Kongresie Matematyków

w Warszawie w 1983 roku, wypowiedział

zdanie, że jest jeszcze za wcześnie na

formułowanie ścisłej definicji fraktala,

ponieważ ciągle jeszcze nie rozumiemy

dostatecznie głęboko istoty tego pojęcia.

• . Fraktale mają obecnie swoje

miejsce w dziedzinie matematycznej
zwanej teorią chaosu. Fraktale są
ściśle związane z komputerami. Bez
nich nie byłoby możliwe
wytworzenie tak wielu przepięknych
fraktali, które są swoistymi,
jedynymi w swym rodzaju obrazami

Oto przykłady

niektórych fraktali

Niektóre, proste przykłady

fraktali

można

pokazać

fraktali

można

pokazać

uczniom gimnazjum (a może

nawet

już

szkoły

nawet

już

szkoły

podstawowej).

Wystarczy

podstawowej).

Wystarczy

wykonanie paru rysunków

Narysuj  kwadrat  (o  boku  np.  4  cm).  Następnie  na  każdym  boku
zbuduj  kwadrat  o  długości  boku  dwa  razy  mniejszej,  tak  jak  na
rysunku poniżej (rysunek po lewej stronie). Powtarzaj to budowanie
tak długo, jak będzie to możliwe. Kwadraty rysowane w tym samym
kroku  pomaluj  tym  samym  kolorem.  Co  przedstawia  tabelka?
Spróbuj wypełniać ją dalej.

Nr wzoru
(kroku)

Kwadrat

Trójkąt

...

1=2

4=2

16=2

64=2

...

1=3

3=3

9=3

27=3

...

Podobne zadanie można zrobić z trójkątem
równobocznym. Fraktale takie można reprodukować
w nieskończoność. Ćwiczenie to wyrabia u uczniów
zdolność do zauważania pewnych prawideł

Fraktale można też

tworzyć jak na rysunkach

poniżej, wchodząc do

wnętrza trójkąta lub

kwadratu.

Najstarsze

fraktale

Fraktale ,

które wymyślili matematycy na

początku XX-wieku. T

dziwne i ciekawe

zarazem zbiory

które

dały początek nowej

geometrii zwanej geometrią fraktalną,

która pozwala modelować wiele obiektów

i zjawisk występujących w przyrodzie i nie

tylko...

Oto niektóre własności

fraktali .



Fraktal to zbiór o skomplikowanej budowie.

Niezależnie od tego jak mały jego fragment będziemy
oglądać - będzie on równie skomplikowany jak całość.



Wiele fraktali kryje w sobie zadziwiającą tajemnicę

jaką jest ich 'nieskończone samopodobieństwo'. Oznacza
to, że dowolnie mały jego kawałek, odpowiednio
powiększony, przypomina do złudzenia cały zbiór lub jego
znaczną część.



Jednocześnie fraktale mają prosty opis i często są

otrzymywane przez powtarzanie nieskończenie wiele razy
tej samej operacji. Jeśli przeczytacie opisy konstrukcji
fraktali, które widać na ekranie, zrozumiecie co
chcieliśmy powiedzieć.

FRAKTALE

WYSTĘPUJŁCE W

PRZYRODZIE

Z uwagi na fakt, iż materia zbudowana jest z atomów, nie
można mówił o obiektach zawierających nieskończoną
liczbę szczegółów "w głąb". Doszukując się fraktali w
przyrodzie, mamy na myśli obiekty, które wykazują cechę
samopodobieństwa na kilku poziomach. Najciekawszym
przykładem są tutaj chmury; jak wykazały badania, po ich
wyglądzie nie można powiedzieć w jakiej odległości od
nich znajdujemy się jako obserwatorzy. "Fraktalami"
występującymi w przyrodzie są na przykład: układ
krwionośny (naczynia włosowate), płuca, kalafior,
paprotka, drzewa, krzewy, lód i jego kryształy, skały,
cegła, rdza, osadzające się złoto, kształt ropy wlanej do
wody

Fraktale z naszej kolekcji to przykłady zbiorów o
zdumiewających, trudnych do wyobrażenia własnościach,
które wręcz przeczą naszej intuicji. Popatrzcie na brzeg
'płatka śniegu'. Chyba każdy z Was powie o nim, że jest
krzywą. Czy powiedzielibyście to samo o dywanie
Sierpińskiego? Choć brzmi to może absurdalnie, dywan
jest także krzywą ale o bardzo skomplikowanej budowie.

Opisywane fraktale powstały na początku XX wieku w
wyniku zmagań matematyków z definicją 'wymiaru' i
'krzywej'. Zbiory te kryją w sobie do dziś jeszcze nie
rozwiązane zagadki.

Fraktale trójwymiarowe

Istnieją również fraktale trójwymiarowe.
Najsłynniejszym przykładem takiej struktury
jest opisana powyżej kostka Mengera.
Istnieje również trójwymiarowo odpowiednik
trójkąta Siepińskiego.
Dziesięć lat po powstaniu dywanu
Sierpińskiego, Karl Menger wpadł na pomysł
stworzenia trójwymiarowego odpowiednika
tej figury. Sposób konstrukcji jest całkowicie
analogiczny, po prostu odnosimy go do
sześcianu. Bryła ta jest uniwersalnym
zbiorem dla wszystkich krzywych

ultifraktal

jest to obiekt, który w różnych swoich

częściach ma różne wymiary samopodobieństwa

.(def.Federa)

Literatura polskojęzyczna na

temat fraktalnej kompresji

obrazów



* Wl. Skarbek Metody reprezentacji obrazów

cyfrowych , Akademicka Oficyna Wydawnicza PLJ,
Warszawa 1993

Literatura angielska

(

Do maja

1994 obejmowała ponad 100 pozycji oto najważniejsze:

)



Barnsley M., Hurd L. P. Fractal Image Compression, AK Peters.

Ltd, Wellesley 1993

Beamont J. M. Image data compression using fractal techniques,

BT technology Journal 9(4), 93-108



Fisher Y. Fractal Image Compression, SIGGRAPH'92 Course

Notes



Frigaard C., Gade J., Hemmingsen T. T., Sand T. Image

Compression Based on a Fractal Theory, Institute for Electronic

Systems, Aalborg University, Denmark, 1994



Jacquin A. E. Fractal Image Coding: A Review, Proceedings of the

IEEE october 1993, Vol. 81 No. 10.



Peitgen H.-O., Jurgens H., Saupe D. Chaos and fractals, Springer-

Verlag, New York 1992 (chodzi tu o dodatek, napisany przez Y.

Fishera)



Skarbek Wl. Banach constructor and image compression,

Instytut Podstaw Informatyki PAN, Warszawa 1994

----

K. Mazur Tablice matematyczne, Wydawnictwo Adamantan,

Warszawa 1999



M. Tempczyk Teoria chaosu dla odważnych, Wydawnictwo

Naukowe PWN, Warszawa 2002



H. G. Schuster Chaos deterministyczny. Wprowadzenie,

Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1993

THE

END

Document Outline