Fraktale
Fraktale
Fraktale, co to
Fraktale, co to
takiego?
takiego?
•
Termin fraktale jest nowy w języku
Termin fraktale jest nowy w języku
matematyki, ale figury będące
matematyki, ale figury będące
fraktalami konstruowali już bardzo
fraktalami konstruowali już bardzo
dawno temu wybitni matematycy
dawno temu wybitni matematycy
tacy jak: Peano, Hilbert, a zwłaszcza
tacy jak: Peano, Hilbert, a zwłaszcza
Sierpiński. Te konstrukcje były im
Sierpiński. Te konstrukcje były im
potrzebne głównie po to, aby lepiej
potrzebne głównie po to, aby lepiej
wyjaśnić podstawowe pojęcia
wyjaśnić podstawowe pojęcia
matematyczne. Co to jest wymiar
matematyczne. Co to jest wymiar
figury? Co to jest linia?
figury? Co to jest linia?
Teoria fraktali
Teoria fraktali
• Teoria fraktali , to obecnie bardzo żywo
rozwijająca się i bardzo modna
dyscyplina. Zajmują się nią specjaliści
różnych nauk: matematycy, fizycy,
mechanicy. Wielu badaczy twierdzi, że
geometria fraktali jest geometrią
przyrody. W chmurach, liniach wybrzeży
morskich, łańcuchach górskich,
płatkach śniegu, drzewach, pianie
mydlanej można odkryć kształty fraktali.
Cóż więc to
Cóż więc to
takiego, te
takiego, te
fraktale?
fraktale?
• Fraktale są figurami, w których część
figury jest podobna do całości. Ale ciągle
jeszcze nie istnieje ścisła definicja fraktala.
Najwybitniejszym znawcą fraktali i twórcą
tego terminu, jest matematyk i informatyk
amerykański Benoit Mandelbrot. W swoim
referacie wygłoszonym na
Międzynarodowym Kongresie Matematyków
w Warszawie w 1983 roku, wypowiedział
zdanie, że jest jeszcze za wcześnie na
formułowanie ścisłej definicji fraktala,
ponieważ ciągle jeszcze nie rozumiemy
dostatecznie głęboko istoty tego pojęcia.
• . Fraktale mają obecnie swoje
miejsce w dziedzinie matematycznej
zwanej teorią chaosu. Fraktale są
ściśle związane z komputerami. Bez
nich nie byłoby możliwe
wytworzenie tak wielu przepięknych
fraktali, które są swoistymi,
jedynymi w swym rodzaju obrazami
Oto przykłady
Oto przykłady
niektórych fraktali
niektórych fraktali
Niektóre, proste przykłady
Niektóre, proste przykłady
fraktali
można
pokazać
fraktali
można
pokazać
uczniom gimnazjum (a może
uczniom gimnazjum (a może
i
nawet
już
szkoły
i
nawet
już
szkoły
podstawowej).
Wystarczy
podstawowej).
Wystarczy
wykonanie paru rysunków
wykonanie paru rysunków
.
.
Narysuj kwadrat (o boku np. 4 cm). Następnie na każdym boku
zbuduj kwadrat o długości boku dwa razy mniejszej, tak jak na
rysunku poniżej (rysunek po lewej stronie). Powtarzaj to budowanie
tak długo, jak będzie to możliwe. Kwadraty rysowane w tym samym
kroku pomaluj tym samym kolorem. Co przedstawia tabelka?
Spróbuj wypełniać ją dalej.
Nr wzoru
(kroku)
Kwadrat
Trójkąt
1
2
3
4
...
1=2
0
4=2
2
16=2
4
64=2
6
...
1=3
0
3=3
1
9=3
2
27=3
3
...
Podobne zadanie można zrobić z trójkątem
równobocznym. Fraktale takie można reprodukować
w nieskończoność. Ćwiczenie to wyrabia u uczniów
zdolność do zauważania pewnych prawideł
Fraktale można też
tworzyć jak na rysunkach
poniżej, wchodząc do
wnętrza trójkąta lub
kwadratu.
Najstarsze
Najstarsze
fraktale
fraktale
Fraktale ,
Fraktale ,
które wymyślili matematycy na
które wymyślili matematycy na
początku XX-wieku. T
początku XX-wieku. T
o
o
dziwne i ciekawe
dziwne i ciekawe
zarazem zbiory
zarazem zbiory
które
które
dały początek nowej
dały początek nowej
geometrii zwanej geometrią fraktalną,
geometrii zwanej geometrią fraktalną,
która pozwala modelować wiele obiektów
która pozwala modelować wiele obiektów
i zjawisk występujących w przyrodzie i nie
i zjawisk występujących w przyrodzie i nie
tylko...
tylko...
Oto niektóre własności
fraktali .
-
Fraktal to zbiór o skomplikowanej budowie.
Niezależnie od tego jak mały jego fragment będziemy
oglądać - będzie on równie skomplikowany jak całość.
Wiele fraktali kryje w sobie zadziwiającą tajemnicę
jaką jest ich 'nieskończone samopodobieństwo'. Oznacza
to, że dowolnie mały jego kawałek, odpowiednio
powiększony, przypomina do złudzenia cały zbiór lub jego
znaczną część.
Jednocześnie fraktale mają prosty opis i często są
otrzymywane przez powtarzanie nieskończenie wiele razy
tej samej operacji. Jeśli przeczytacie opisy konstrukcji
fraktali, które widać na ekranie, zrozumiecie co
chcieliśmy powiedzieć.
FRAKTALE
WYSTĘPUJŁCE W
PRZYRODZIE
Z uwagi na fakt, iż materia zbudowana jest z atomów, nie
można mówił o obiektach zawierających nieskończoną
liczbę szczegółów "w głąb". Doszukując się fraktali w
przyrodzie, mamy na myśli obiekty, które wykazują cechę
samopodobieństwa na kilku poziomach. Najciekawszym
przykładem są tutaj chmury; jak wykazały badania, po ich
wyglądzie nie można powiedzieć w jakiej odległości od
nich znajdujemy się jako obserwatorzy. "Fraktalami"
występującymi w przyrodzie są na przykład: układ
krwionośny (naczynia włosowate), płuca, kalafior,
paprotka, drzewa, krzewy, lód i jego kryształy, skały,
cegła, rdza, osadzające się złoto, kształt ropy wlanej do
wody
Fraktale z naszej kolekcji to przykłady zbiorów o
zdumiewających, trudnych do wyobrażenia własnościach,
które wręcz przeczą naszej intuicji. Popatrzcie na brzeg
'płatka śniegu'. Chyba każdy z Was powie o nim, że jest
krzywą. Czy powiedzielibyście to samo o dywanie
Sierpińskiego? Choć brzmi to może absurdalnie, dywan
jest także krzywą ale o bardzo skomplikowanej budowie.
Opisywane fraktale powstały na początku XX wieku w
wyniku zmagań matematyków z definicją 'wymiaru' i
'krzywej'. Zbiory te kryją w sobie do dziś jeszcze nie
rozwiązane zagadki.
Fraktale trójwymiarowe
Fraktale trójwymiarowe
Istnieją również fraktale trójwymiarowe.
Najsłynniejszym przykładem takiej struktury
jest opisana powyżej kostka Mengera.
Istnieje również trójwymiarowo odpowiednik
trójkąta Siepińskiego.
Dziesięć lat po powstaniu dywanu
Sierpińskiego, Karl Menger wpadł na pomysł
stworzenia trójwymiarowego odpowiednika
tej figury. Sposób konstrukcji jest całkowicie
analogiczny, po prostu odnosimy go do
sześcianu. Bryła ta jest uniwersalnym
zbiorem dla wszystkich krzywych
M
M
ultifraktal
ultifraktal
jest to obiekt, który w różnych swoich
częściach ma różne wymiary samopodobieństwa
.(def.Federa)
Literatura polskojęzyczna na
Literatura polskojęzyczna na
temat fraktalnej kompresji
temat fraktalnej kompresji
obrazów
obrazów
* Wl. Skarbek Metody reprezentacji obrazów
cyfrowych , Akademicka Oficyna Wydawnicza PLJ,
Warszawa 1993
Literatura angielska
(
Do maja
1994 obejmowała ponad 100 pozycji oto najważniejsze:
)
-
Barnsley M., Hurd L. P. Fractal Image Compression, AK Peters.
Barnsley M., Hurd L. P. Fractal Image Compression, AK Peters.
Ltd, Wellesley 1993
Ltd, Wellesley 1993
--
--
Beamont J. M. Image data compression using fractal techniques,
Beamont J. M. Image data compression using fractal techniques,
BT technology Journal 9(4), 93-108
BT technology Journal 9(4), 93-108
-
-
Fisher Y. Fractal Image Compression, SIGGRAPH'92 Course
Fisher Y. Fractal Image Compression, SIGGRAPH'92 Course
Notes
Notes
-
-
Frigaard C., Gade J., Hemmingsen T. T., Sand T. Image
Frigaard C., Gade J., Hemmingsen T. T., Sand T. Image
Compression Based on a Fractal Theory, Institute for Electronic
Compression Based on a Fractal Theory, Institute for Electronic
Systems, Aalborg University, Denmark, 1994
Systems, Aalborg University, Denmark, 1994
--
--
Jacquin A. E. Fractal Image Coding: A Review, Proceedings of the
Jacquin A. E. Fractal Image Coding: A Review, Proceedings of the
IEEE october 1993, Vol. 81 No. 10.
IEEE october 1993, Vol. 81 No. 10.
--
--
Peitgen H.-O., Jurgens H., Saupe D. Chaos and fractals, Springer-
Peitgen H.-O., Jurgens H., Saupe D. Chaos and fractals, Springer-
Verlag, New York 1992 (chodzi tu o dodatek, napisany przez Y.
Verlag, New York 1992 (chodzi tu o dodatek, napisany przez Y.
Fishera)
Fishera)
--
--
Skarbek Wl. Banach constructor and image compression,
Skarbek Wl. Banach constructor and image compression,
Instytut Podstaw Informatyki PAN, Warszawa 1994
Instytut Podstaw Informatyki PAN, Warszawa 1994
----
----
K. Mazur Tablice matematyczne, Wydawnictwo Adamantan,
K. Mazur Tablice matematyczne, Wydawnictwo Adamantan,
Warszawa 1999
Warszawa 1999
-
-
M. Tempczyk Teoria chaosu dla odważnych, Wydawnictwo
M. Tempczyk Teoria chaosu dla odważnych, Wydawnictwo
Naukowe PWN, Warszawa 2002
Naukowe PWN, Warszawa 2002
-
-
H. G. Schuster Chaos deterministyczny. Wprowadzenie,
H. G. Schuster Chaos deterministyczny. Wprowadzenie,
Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1993
Wydawnictwo Naukowe PWN, Warszawa 1993
THE
THE
END
END