I rok Farmacji
Statystyka część IV

- różnice pomiędzy średnimi

- testy dla par wiązanych

- testy dla prób niezależnych

Różnice między średnimi.

Przykładowy problem:
Czy przeprowadzenie jakiegoś zabiegu przynosi oczekiwany skutek?
Czy warunki środowiskowe mają istotny wpływ na ...?
Czy po jakimś czasie zmieniła się struktura populacji?

Np.:

nawożenie pola nowym nawozem,
podanie nowego leku,
położenie pola po dwóch stronach stoku,
pochodzenie z różnych miast,
wpływ diety na wyniki badań krwi.

Można się o tym przekonać wykonując dwie próby:

kontrolną – robimy to co zwykle
doświadczalną – stosujemy badany zabieg.

Czy różnice w wynikach takich dwóch
eksperymentów są dziełem
przypadku czy raczej wynikiem zastosowanego
zabiegu?
Czy średnie z populacji z których pobrano próbki
różnią się?
Czy dwie pobrane próby mogą pochodzić z tej samej
populacji
lub z populacji nie różniących się?

Jakie testy statystyczne można stosować:

test z zastosowaniem par wiązanych
– gdy możemy zbadać ten sam obiekt dwukrotnie
– można badać obiekty bardzo podobne:

test t Studenta dla par wiązanych,
test Wilcoxona dla par wiązanych

(nieparametryczny),

test znaków (nieparametryczny),

test bez zastosowania par wiązanych
– za każdym razem pobieramy nową próbę,
– nie możemy zidentyfikować obiektów podczas

badania prób:

test t Studenta dla równych wariancji,
test t Studenta dla różnych wariancji,
test U Manna-Whitneya (nieparametryczny),
test Kołmogorowa-Smirnowa

(nieparametryczny).

Test t Studenta dla par wiązanych.

Dwunastu pacjentom zbadano poziom cholesterolu
i zalecono
stosowanie nowej diety. Po dwóch miesiącach
badania
przeprowadzono ponownie.

- różnica pomiędzy średnimi populacji z których
pobrano próby

populacja poziomów cholesterolu przed dietą
populacja poziomów cholesterolu po diecie

H

0

– dieta nie wpływa na poziom cholesterolu, =0.

H

1

– dieta wpływa na poziom cholesterolu, ≠0.

Można sformułować inne

H

1

.

  

przed - x

1

po - x

2

d=x

1

-x

2

d

2

1

203

189

14

196

2

213

206

7

49

3

209

204

5

25

4

206

203

3

9

5

185

203

-18

324

6

203

187

16

256

7

195

187

8

64

8

211

201

10

100

9

213

202

11

121

10

200

195

5

25

11

203

194

9

81

12

195

189

6

36

N=12

sumy

76

1286

76

d





1286

d

2





 

667

,

804

N

d

d

x

2

2

2















SKO

565

,

2

s

-

d

t

X







Statystyka:

Dla df=11 stopni swobody i α=0,05 wartość
krytyczna
odczytana z tablic wynosi t

0,05

=2,201

Otrzymana statystyka jest większa od
odczytanej z tablic
 H

0

odrzucamy.

Przyjmujemy H

1

.

333

,

6

N

d

d







8,55

s

15

,

73

1

N

x

s

2

2











469

,

2

N

s

s

X





?



t

t

czy 

Sprawdzamy H

0

:

Test Wilcoxona dla par wiązanych.

Opis doświadczenia jak w poprzednim zadaniu, ale nie są
spełnione
założenia testu t Studenta. W tym teście należy wyłączyć
te pary
dla których d=0 (w naszym przykładzie takich nie ma).

H

0

– dieta nie wpływa na poziom cholesterolu.

H

1

– dieta wpływa na poziom cholesterolu.

Podobnie jak w teście t Studenta dla każdej pary
obliczamy różnicę (d).
Obliczamy wartości bezwzględne różnic ( d  ) i
przypisujemy im rangi zaczynając od najmniejszej
różnicy. Należy pamiętać o rangach wiązanych!
Sumujemy rangi osobno dla różnic ujemnych i
dodatnich. Wybieramy
mniejszą sumę – jest to nasza statystyka T. Z tablicy
odczytujemy
wartość krytyczną T



dla danych N i α. Jeżeli otrzymana

statystyka T
jest mniejsza lub równa T



krytycznemu to wówczas

odrzucamy hipotezę zerową.

Sumy
rang:







66

R











12

12

T

R

Dla N=12 i =0,05 odczytujemy z tablic wartość
graniczną T



=14.

Ponieważ T<T



to H

0

odrzucamy i przyjmujemy H

1

Test t Studenta dla par wiązanych – przykład drugi.

Kolokwium 1 Kolokwium 2

d

d

2

1

3

1

2

4

2

2

5

-3

9

3

3

6

-3

9

4

2

1

1

1

5

0

0

0

0

6

0

0

0

0

7

5

6

-1

1

8

2

5

-3

9

9

1

1

0

0

10

1

1

0

0

11

2

1

1

1

12

6

7

-1

1

13

0

0

0

0

14

3

2

1

1

15

3

2

1

1

16

2

3

-1

1

17

8

7

1

1

18

3

4

-1

1

19

7

8

-1

1

20

1

0

1

1

21

1

3

-2

4

22

2

1

1

1

sumy

-7

47

W semestrze zimowym w
jednej
z grup studenckich N=22
osoby pisały I i II
kolokwium.
Czy poziom trudności tych
kolokwiów był jednakowy,
gdyby zbadać wyniki
kolokwiów
w całej populacji studentów
I roku
to czy różnica w średniej
ocen
byłaby równa zero?

H

0

– poziom kolokwiów był

jednakowy, =0.

H

1

– poziom kolokwiów nie

był
jednakowy, ≠0.

7

d 





47

d

2





318

,

0

N

d

d









 

773

,

44

N

d

d

x

2

2

2















SKO

132

,

2

1

N

x

s

2

2









460

,

1

s 

455

,

0

N

s

s

X





700

,

0

s

-

d

t

X







Dla df=21 stopni swobody i α=0,05 wartość krytyczna
odczytana z tablic wynosi t

0,05

=2,080 .

Ponieważ otrzymana statystyka jest mniejsza od odczytanej z tablic
to H

0

przyjmujemy.

?



t

t

Czy 

Test Wilcoxona dla par wiązanych.

Opis doświadczenia jak w poprzednim zadaniu, w tym
teście należy
wyłączyć te pary dla których d=0, czyli pozostaje 17
przypadków.

H

0

– poziom

kolokwiów

był jednakowy.
H

1

– poziom

kolokwiów

nie był

jednakowy.







59

R











59

94

T

R

Dla N=17 i α=0,05
wartość graniczna
T



=35.

Ponieważ T>T



to H

0

przyjmujemy czyli poziom
ocen w obydwu kolokwiach
nie różnił się.

Test F dla wariancji.

Test hipotezy o braku różnic pomiędzy wariancjami.

Chcemy sprawdzić czy pomiędzy populacjami z których
pobrano

próby

różnice

występujące

pomiędzy

wariancjami są istotne statystycznie.

Może to być istotne przy podejmowaniu decyzji który z
testów t należy zastosować.

H

0

– między wariancjami z populacji

generalnych,
z których pobrano dwie próby nie
ma różnic.

H

1

– różnice występujące między

wariancjami
są statystycznie istotne.

2

2

2

1

1

2

2

2

1

0

:

:













H

H

A

B

24

27

23

30

25

36

26

35

27

32

25

4

5

,

13

32

5

0

,

2

25

2

2













B

B

A

A

df

s

B

df

s

A

W tym teście obliczamy stosunek
wariancji większej do mniejszej (zawsze)
– statystyka F.

75

,

6

0

,

2

5

,

13





F

Szukamy wartości granicznej dla zadanego poziomu
istotności. 

Rozkład F zamieszczony w tablicach jest rozkładem
jednostronnym
gdyż jest przystosowany do analizy wariancji. Jeżeli
chcemy otrzymać
wartości graniczne dla testu dwustronnego to należy
posługiwać się
tabelami dla prawdopodobieństwa dwukrotnie
mniejszego od żądanego.

Przy poziomie istotności =0,05 dla testu
dwustronnego
obszar krytyczny wynosi p=0,025 po każdej ze
stron rozkładu,
czyli stosujemy tablice dla p=0,025.
Znaleziona wartość krytyczna dla =0,05 wynosi
F

0,025;4;5

=7,39.

Znaleziona wartość krytyczna dla



=0,10

wynosi
F

0,05;4;5

=5,19.

Jeżeli F<F



to H

0

przyjmujemy,

w przeciwnym przypadku H

0

odrzucamy i

przyjmujemy H

1

.

6,75<7,39 i H

0

przyjmujemy.

6,75>5,19 i H

0

odrzucamy,

przyjmujemy H

1

.

Błąd I rodzaju 0,05<p<0,10.

10

,

0

05

,

0









A

B

27

26

31

25

32

27

34

26

37

30

35

28

43
33
34

Test F - przykład

Pomoc:
F=6,016

F

0,025;8;5

=6,757

Czy pobrane próbki mogą pochodzić z populacji o równych wariancjach?

Postaw H

0

i H

1

, obliczenia wykonaj dla podanego poziomu istotności.

05

,

0





Test t Studenta dla dwóch prób niezależnych – różne wariancje.

Różnice pomiędzy średnimi.

Założenia:

próby są pobierane losowo,

populacje z których pobieramy próby podlegają
rozkładowi normalnemu,

wariancje populacji nie są równe (

1

2



2

2

).

Liczebności prób N

1

i N

2

:

H

0

: 

1

=

2

H

1

: 0 lub H

1

: 

1

>

2

lub H

1

:



1

<

2

2

2

2

1

2

1

2

1

N

s

N

s

X

X

t







2

2

2

1

2

1

X

X

s

s

X

X

t







lub

Są różne metody określania granicznej wartości t



(dają

różne wyniki!).
Metoda Cochrana-Coxa (opisana w podręczniku) jest
bardziej zachowawcza, czyli trudniej jest odrzucić H

0

.

2

2

2

2

2

2

2

1

2

1

2

2

2

1

2

1

2

1

2

2

1

1

2

1

X

X

X

X

krytyczne

s

s

s

t

s

t

N

s

N

s

N

s

t

N

s

t

t





























Wartość graniczna t jest obliczana jako średnia ważona, wagami
są kwadraty błędów standardowych w porównywanych grupach.

Czy dwie próbki mogą pochodzić z populacji o takich
samych średnich?

Próba 1

7

9

13

5

11

Próba 2

5

5

5

4

5

6

0667

,

0

0000

,

2

5

9

6

5

2

1

2

1

2

1













X

X

s

s

X

X

N

N

7824

,

2

0667

,

0

2

5

9

2

2









t

5706

,

2

5

7765

,

2

4

05

,

0

1

1















a

a

t

df

t

df



7698

,

2



graniczne

t

Jaka
decyzja?

Test U (Manna-Whitneya)

różnice pomiędzy medianami dwóch

populacji.

Czy dwie próby pochodzą z tej samej populacji
generalnej?
- test t wymaga założenia rozkładu normalnego –
pomiarów lub różnic,
- często próby są zbyt mało liczne aby sprawdzić
założenia .

Testy nieparametryczne:
- nie wymagają skali interwałowej (zazwyczaj),
słabsze założenia
- trudniej odrzucić hipotezę zerową, łatwiej popełnić
błąd II rodzaju
- są mniej precyzyjne i trzeba próby o większej
liczebności
niż w testach parametrycznych

Chcemy zbadać czy dwie próby zostały (lub nie) otrzymane
z populacji o równych medianach.
- Dane zostały otrzymane z populacji w sposób losowy.
- Oryginalne dane są w skali porządkowej (lub interwałowej).
- Jeżeli rezultat testu Manna-Whitneya wykaże znaczącą różnicę
to należy stwierdzić, że jest wysoce prawdopodobne iż próbki
pochodzą z populacji o różnych medianach.

H

0

: brak różnic pomiędzy populacjami z których losowano próby

H

1

: różnice są istotne statystycznie

(populacje nie różnią się medianami)

(mediany populacji są różne)

2

1

1

2

1

0

:

:













H

H

Czy dwie próby niezależne mogą pochodzić z populacji
o jednakowych medianach?

GRUPA 1

GRUPA 2

X

i

R

i

X

i

R

i

11

9

11

9

1

3

11

9

0

1,5

5

6

2

4

8

7

0

1,5

4

5

Zamieniamy skalę interwałową na porządkową, dwie grupy traktujemy
łącznie. Dla każdej z grup obliczamy sumę rang: R

1

=19 R

2

=36

Obliczmy statystyki:

































2

2

2

2

1

2

1

1

1

2

1

1

2

1

2

1

R

N

N

N

N

U

R

N

N

N

N

U









4

36

2

1

5

5

5

5

21

19

2

1

5

5

5

5

2

1





























U

U

Wybieramy mniejszą: U = 4 .
Wartość graniczna odczytana z tablic dla =0,05 i testu dwustronnego
U

0,05

= 2 . H

0

odrzucamy gdy U≤U



Ponieważ UU

α

to H

0

przyjmujemy.

Gdy liczebności prób są większe to można posługiwać się
przybliżeniem rozkładu normalnego:









776

,

1

12

1

5

5

5

5

2

5

5

4

12

1

2

































Z

N

N

N

N

N

N

U

Z

II

I

II

I

II

I

Wartość graniczna dla rozkładu normalnego dla =0,05 Z



=1,96

 przyjmujemy H

0

Czy pomiędzy populacjami z których pobrano próby istnieją różnice
istotne statystycznie. Zastosuj test t dla par wiązanych oraz test U,
należy postawić H

0

i H

1

oraz przyjąć poziom istotności .

05

,

0





Próba I

3,1

2,5

2,1

2,9

0,9

Próba II

2,7

4,4

3,4

4,6

2,8

Różnica

0,4

-1,9

-1,3

-1,7

-1,9



Ranga I

7

3

2

6

1

19

Ranga II

4

9

8

10

5

36

Test Kołmogorowa-

Smirnowa

Dane z dużą liczbą rang wiązanych, np:

dane w postaci szeregów rozdzielczych,
rozkładów liczebności itp.

Test służy do porównania zgodności rozkładów pomiędzy populacjami
z których pobrane były próby.

Wyniki I i II kolokwium z matematyki.

Porównujemy wyniki dla całego roku,
kolokwia pisało odpowiednio 130 i 127 osób.

Uwaga: studentów I roku traktujemy jako próbę z wszystkich,
którzy kiedykolwiek pisali (lub mogliby pisać) takie kolokwia.

H

0

: pomiędzy wynikami nie ma różnic istotnie statystycznych

rozkłady populacji nie wykazują różnic
próby pochodzą z populacji o takim samym rozkładzie

H

1

: pomiędzy wynikami są różnice istotne statystycznie

rozkłady populacji wykazują różnice
próby nie pochodzą z populacji o takich samym rozkładzie

obliczamy liczebności skumulowane i frekwencje skumulowane
wyliczamy  - różnice pomiędzy frekwencjami skumulowanymi
obydwu grup i wartości bezwzględne tych różnic - 

osoby

skumul.

frekw.





punkty

I

II

I

II

I

II

I-II

I-II

0

25

19

25

19

0,192

0,15

0,043

0,043

1

20

11

45

30

0,346

0,236

0,110

0,110

2

14

21

59

51

0,454

0,402

0,052

0,052

3

23

20

82

71

0,631

0,559

0,072

0,072

4

13

15

95

86

0,731

0,677

0,054

0,054

5

11

11

106

97

0,815

0,764

0,052

0,052

6

8

6

114

103

0,877

0,811

0,066

0,066

7

7

8

121

111

0,931

0,874

0,057

0,057

8

5

8

126

119

0,969

0,937

0,032

0,032

9

3

5

129

124

0,992

0,976

0,016

0,016

10

1

3

130

127

1,000

1,000

0,000

0,000

suma

130

127

MAX=

0,110

Wyznaczamy największą wartość - statystyka D==0,110

Obliczamy (wyznaczamy) wartość krytyczną D



,

dla poziomu istotności =0,05 i dużych liczebności prób
(jedna ma co najmniej 40, lub każda powyżej 26)
według wzoru:

II

I

II

I

N

N

N

N

D







 36

,

1

05

,

0

170

,

0

127

130

127

130

36

,

1

05

,

0











D

D<D



 przyjmujemy H

0

Jeżeli D D



to odrzucamy H

0

i przyjmujemy H

1

Dla innych poziomów istotności stosujemy
współczynniki:

95

,

1

63

,

1

36

,

1

22

,

1

001

,

0

01

,

0

05

,

0

10

,

0





W przypadku odrzucenia H

0

możemy oszacować błąd I rodzaju

porównując statystykę D z obliczonymi wartości granicznymi
dla innych poziomów istotności.

Punkty

A

B

skumul. A skumul. B frekw. A frekw. B



 

0

0

0

0

0

0,0000

0,0000

0,0000

0,0000

1

0

5

0

5

0,0000

0,0431 -0,0431 0,0431

2

2

6

2

11

0,0870

0,0948 -0,0079 0,0079

3

5

13

7

24

0,3043

0,2069

0,0975

0,0975

4

8

19

15

43

0,6522

0,3707

0,2815

0,2815

5

5

22

20

65

0,8696

0,5603

0,3092

0,3092

6

2

16

22

81

0,9565

0,6983

0,2582

0,2582

7

0

10

22

91

0,9565

0,7845

0,1720

0,1720

8

0

10

22

101

0,9565

0,8707

0,0858

0,0858

9

0

6

22

107

0,9565

0,9224

0,0341

0,0341

10

1

9

23

116

1,0000

1,0000

0,0000

0,0000

Wyniki kolokwium ze statystyki, czy rozkład w jednej z grup
był taki sam jak dla całego roku, obliczenia dla =0,10.
Należy oszacować błąd I rodzaju.