Wprowadzenie 

do ekonometrii 

i prognozowania 

(6)

Prognozowanie na podstawie 

szeregów czasowych

GK (WEiP(6) - 2010)

Pojęcie szeregu czasowego

Przebieg wielu zjawisk o charakterze społecznym, 

ekonomicznym itp. jest ewidencjonowany jako ciąg 
następujących po sobie obserwacji  tego  poziomu tego zjawiska  
w ustalonych chwilach (momentach) bądź przedziałach 
(okresach) czasu. Ciąg taki  jest powszechnie nazywany 

szeregiem czasowym

. Dalej będą rozpatrywane szeregi czasowe 

momentów lub okresów, których poszczególne wartości są 
pomiarem badanego zjawiska w jednakowych odstępach czasu, 
np. dniach, tygodniach, miesiącach itp. 

Analiza szeregów czasowych ma na celu wykrycie 

prawidłowości, którym podlega badane zjawisko i zakłada, że 
szereg czasowy 

y

t 

= [y

1

, y

2

, …, y

n

] 

(

t

 – moment lub okres czasu, w 

którym dokonano pomiaru poziomu zjawiska, 

y

t

 – poziom 

zjawiska w momencie lub okresie 

t

) jest jedną z możliwych 

realizacji pewnego dyskretnego procesu stochastycznego postaci 

{Y

t

}

t=1,2,…

, przy czym 

Y

t

 oznacza zmienną losową dla ustalonego 

t

.

2

GK (WEiP(6) - 2010)

Pojęcie szeregu czasowego

O procesie stochastycznym 

{Y

t

}

t=1,2,…

 generującym szereg 

czasowy zakłada się, że:

•jest stacjonarny

,  co oznacza niezmienność w czasie ani modelu 

przyjętego do formalnego opisu zjawiska oraz także jego 
parametrów,

•jest ergodyczny

, co oznacza, że wartości procesu odległe w 

czasie nie są ze sobą skorelowane.

W dalej prezentowanym procesie analizy szeregów 

czasowych przyjmuje się, że w szeregu czasowym będzie się 
wyróżniać dwie składowe:

•składową systematyczną

, która może przyjąć postać stałego 

poziomu zjawiska, trendu (tendencji rozwojowej zjawiska) oraz 
składowej  periodycznej w postaci wahań cyklicznych lub wahań 
sezonowych,

• 

składową przypadkową

 (składnik losowy, wahania 

przypadkowe) odzwierciedlającą  losowy wpływ nieznanych 
czynników na kształtowanie się poziomu zjawiska.

3

GK (WEiP(6) - 2010)

Pojęcie szeregu czasowego

4

Składowe szeregu czasowego

Źródło: A. Zeliaś i inni: „Prognozowanie ekonomiczne”. PWN, Warszawa, 2004.

GK (WEiP(6) - 2010)

Pojęcie szeregu czasowego

Trend (tendencja rozwojowa) 

– długookresowa skłonność 

do jednokierunkowych zmian poziomu obserwowanego zjawiska 
pod wpływem oddziaływania stałych czynników na to zjawisko.

Stały (średni) poziom 

oznacza brak trendu i oscylowanie 

poziomu obserwowanego zjawiska wokół pewnego stałego  
poziomu.

Wahania cykliczne 

– długookresowe rytmiczne oscylacje 

poziomu obserwowanego zjawiska wokół trendu lub stałego 
poziomu. Wahania cykliczne zwykle dotyczą zmian 
koniunkturalnych.

Wahania sezonowe 

– krótkookresowe rytmiczne oscylacje 

poziomu obserwowanego zjawiska wokół trendu lub stałego 
poziomu, powtarzające się w przybliżeniu w tych samych 
rozmiarach (bezwzględnych lub względnych) co pewien stały (w 
przybliżeniu) okres, nieprzekraczający jednego roku.

5

6

 Przy założeniu, że w modelu jedyną zmienną 

objaśniającą będzie zmienna czasowa 

t

 wyróżnia się dwa 

następujące rodzaje modeli z trendem lub stałym poziomem 

f(t)

, wahaniami sezonowymi 

g(t)

 i cyklicznymi 

h(t) 

oraz 

składnikiem losowym 



t

:

•model addytywny: 

•model multiplikatywny:

Szczegółowe postacie modeli 

f(t)

,

 g(t) 

i

 h(t)

 składników szeregu 

czasowego zależą od sposobu modelowania.

t

t

y

f(t) g(t) h(t)

,

e

=

+

+

+

t

t

y

f(t) g(t) h(t)

.

e

=

�

�

�

GK (WEiP(6) - 2010)

Pojęcie szeregu czasowego

 

Modelowanie ekonometryczne szeregu czasowego 

wymaga jego uprzedniej dekompozycji , tj. zidentyfikowania i 
wyodrębnienia wszystkich tworzących go składowych 
systematycznych, a następnie określenia ich wpływu na 
kształtowanie poziomu zjawiska reprezentowanego przez ten 
szereg.

GK (WEiP(6) - 2010)

7

Składowe szeregu czasowego wahań seznowych:

Pojęcie szeregu czasowego

Trend

GK (WEiP(6) - 2010)

8

W prognozowaniu według szeregów czasowych 

można wyróżnić dwa podstawowe nurty:

•prognozowanie na podstawie klasycznych modeli trendu,
•prognozowanie na podstawie modeli adaptacyjnych.

Metody wykorzystywane w pierwszym z tych nurtów 

są takie same jak dla metod prognozowania na podstawie 
liniowych modeli ekonometrycznych, gdyż ich podstawę 
stanowią regresyjne (ekonometryczne) modele trendu. Jak 
wiadomo, stosowanie tych metod jest uwarunkowane 
spełnieniem rygorystycznych założeń co do stabilności 
relacji wiążących zmienną prognozowaną z innymi 
zmiennymi (w przypadku szeregów czasowych – tylko z 
czasem) zarówno w przeszłości, jak i w okresie 
prognozowania. 

Prognozowanie na podstawie 

szeregu czasowego

GK (WEiP(6) - 2010)

9

Metody należące do drugiego nurtu opierają się na 

mniej rygorystycznych założeniach dotyczących stabilności 
ww. relacji, a nawet dopuszczają brak ich stabilności w 
czasie, zatem mogą one być stosowane w przypadkach 
nieregularnych zmian kierunku i prędkości trendu 
(funkcja trendu nie musi być stała w badanym przedziale 
czasu i w okresie prognozowania, a nawet może być 
segmentowa, tj. przedziałami stała) czy też różnego 
rodzaju zniekształceń i przesunięć wahań periodycznych 
(sezonowych i cyklicznych). W praktyce metody 
prognozowania na podstawie modeli adaptacyjnych stosuje 
się głównie wówczas, gdy zmienna prognozowana ma 
względnie labilny przebieg w czasie, a wnioskowanie w 
przyszłość będzie opierane na modelu trendu, a nie na 
modelu przyczynowo-skutkowym.

Jedynym zasadniczym założeniem, determinującym 

poprawność stosowania modeli adaptacyjnych jako 
podstawy prognozowania, jest założenie o stałości w czasie 
błędów prognozowania (predykcji).

Prognozowanie na podstawie 

szeregu czasowego

Niech ciąg postaci 

oznacza szereg czasowy.

Dalej będzie rozważany szereg czasowy, w którym 

występuje tylko składowa systematyczna w postaci trendu 
oraz składowa przypadkowa 



t

, przy czym trend będzie 

opisywany tylko funkcją liniową lub nieliniową 

f(t)

, 

sprowadzalną do liniowej. Zatem będzie rozpatrywany 
szereg czasowy, którego model addytywny lub 
multiplikatywny przyjmuje następującą postać formalną:





.

...

n

2

1

,y

,

,y

y

t

t

t

t

t=1,2,...,n

(model addytywny)

(model multiplikatywny)

,    

,

y

f (t)

,     

y

f (t)

                        

.

e

e

=

+

=

�

GK (WEiP(6) - 2010)

10

Prognozowanie na podstawie            

                 

modeli trendu

GK (WEiP(6) - 2010)

11

Prognozowanie na podstawie            

                 

modeli trendu

Trend liniowy. 

Funkcja trendu:

Model szeregu czasowego:

Wariancja resztowa:

Prognoza punktowa w okresie prognozy 

T

:

Średni i względny błąd (predykcji)  prognozy 

ex ante

:

0

1

f (t)

t.

a

a

= + �

t

t

0

1

t

t=1,2,...,n

y

f(t)

t

,        

.

e a

a

e

=

+ = + �+

(

)

n

2

2

e

t

t

t 1

1

ˆ

S

y

y .

n 2

=

=

-

-

�

p

T

0

1

y

a

a T.

= + �

(

)

(

)

2

p

e

n

2

t 1

T t

1

S

S 1

,

n

t t

=

-

=

+ +

-

�

(

)

(

)

2

e

n

2

p

t 1

p

p

0

1

T

T t

1

S 1

n

t t

S

v

.

a

a T

y

=

-

+ +

-

=

=

+ �

�

GK (WEiP(6) - 2010)

12

Prognozowanie na podstawie            

                 

modeli trendu

Trend kwadratowy (paraboliczny). 

Funkcja trendu:

Model szeregu czasowego:

Wariancja resztowa:

Prognoza punktowa w okresie prognozy 

T

:

Średni i względny błąd (predykcji)  prognozy 

ex ante

:

2

0

1

2

f(t)

t

t .

a

a

a

=

+ �+ �

2

t

t

0

1

2

t

t=1,2,...,n

y

f (t)

t

t

,    

.

e a

a

a

e

=

+ =

+ �+ � +

(

)

n

2

2

e

t

t

t 1

1

ˆ

S

y

y .

n 3

=

=

-

-

�

p

2

T

0

1

2

y

a

a T a T .

= + � + �

(

)

1

2

T

p

e

2

1

S

S 1 1  T  T

X X

T ,

T

-

� �

� �

�

�

=

+�

�

� �

� �

� �

(

)

1

2

T

e

2

p

p

p

2

T

0

1

2

1

S 1 1  T  T

X X

T

T

S

v

.

y

a

a T a T

-

� �

� �

�

�

+�

�

� �

� �

� �

=

=

+ � + �

GK (WEiP(6) - 2010)

13

Prognozowanie na podstawie            

                 

modeli trendu

Trend wykładniczy. 

Funkcja trendu:

Model szeregu czasowego:

Zlinearyzowany model szeregu czasowego:  

Wariancja resztowa modelu zlinearyzowanego:

Prognoza punktowa w okresie prognozy 

T 

dla modelu 

zlinearyzowanego:

0

1

t

0

1

f(t) e

,    

0,   

1.

a a

a

a

+ �

=

>

�

t

0

1

t

t

t

t=1,2,...,n

y

f(t) e

e

e ,    

.

e

a a

e

+ �

=

� =

�

t

0

1

t

t

0

1

t

t=1,2,...,n

lny

t

  

  y

t

,    

.

a

a

e

a

a

e

= + �+

�

= + �+

)

(

)

n

2

2

e

t

t

t 1

1

ˆ

S

y

y .

n 2

=

=

-

-

�

)

)

)

p

T

0

1

y

a

a T.

= + �

)

GK (WEiP(6) - 2010)

14

Prognozowanie na podstawie            

                 

modeli trendu

Prognoza punktowa w okresie prognozy 

T 

dla modelu 

pierwotnego:

Średni błąd (predykcji)  prognozy 

ex ante 

dla modelu 

zlinearyzowanego:

Średni i względny błąd (predykcji)  prognozy 

ex ante 

dla 

modelu pierwotnego:

[

]

(

)

p

T

p

t

T

1

p

ˆy

T

p

e

t

t y y

S

1

S

e

S 1 1  T  X X

,

T

dy
dy

-

=

��

=

=

�

+

��

��

)

)

)

[

]

(

)

1

p

T

p

e

p

T

S

1

v

S 1 1  T  X X

.

T

y

-

��

=

=

+

��

��

)

p

0

1

T

y

a a T

p

T

y

e

e

.

+ �

=

=

)

[

]

(

)

1

T

p

e

1

S

S 1 1  T  X X

,

T

-

��

=

+

��

��

)

)

GK (WEiP(6) - 2010)

15

Prognozowanie na podstawie            

                 

modeli trendu i wahań 

sezonowych

Prognozowanie zachowania szeregów czasowych na 

podstawie modelu trendu z wahaniami sezonowymi, tj. 
szeregów postaci:

• szereg czasowy z trendem 

f(t)

 i addytywnymi wahaniami 

sezonowymi 

g(t)

:

• szereg czasowy z trendem 

f(t)

 i multiplikatywnymi 

wahaniami sezonowymi 

g(t)

:

zależy  od przyjętego modelu. Jeżeli modelem szeregu 
czasowego będzie model ekonometryczny uzyskany np. 
według metody Kleina (wahania okresowe są modelowane 
za pomocą sztucznych zmiennych zero-jedynkowych) lub 
z wykorzystaniem analizy harmonicznej, to 
prognozowanie tego szeregu przebiega identycznie jak 
prognozowanie dla modeli przyczynowo-skutkowych.

t

t

y

f(t) g(t) e

=

+

+

t

t

y

f(t) g(t) e

=

�

�

GK (WEiP(6) - 2010)

16

Prognozowanie na podstawie            

                 

modeli trendu i wahań 

sezonowych

W przypadku, gdy występuje szereg czasowy z 

trendem i wahaniami sezonowymi stosuje się uprzednie 
modelowanie ekonometryczne tego szeregu, a następnie 
prognozowanie na podstawie uzyskanego modelu. Dalej 
zostanie rozpatrzony przypadek modelowania szeregu 
czasowego według metody Kleina. Podstawowe etapy 
metody:

•identyfikacja trendu,

•identyfikacja wahań sezonowych,

•budowa i estymacja modelu,

•weryfikacja modelu.
Prognozowanie może odbywać się na podstawie modelu 
zweryfikowanego oraz po ocenie stabilności jego postaci 
analitycznej (poprawności specyfikacji postaci 
funkcyjnej) i stabilności parametrów.

GK (WEiP(6) - 2010)

Wyodrębnianie trendu szeregu czasowego. 

Spośród wielu metod identyfikacji trendu w szeregu 

czasowym najczęściej wymienianymi są:

•analiza wzrokowa,

•test współczynnika korelacji Pearsona,

•test Danielsa,

•test Coxa-Stuarta,

•test funkcji autokorelacji.

Wzrokowa analiza 

graficznej prezentacji szeregu czasowego 

umożliwia często wstępne określenie prawidłowości 
występujących w szeregu czasowym, co pozwala na wstępne 
wyróżnienie tworzących go składowych systematycznych. Oceny 
wynikające z analizy wzrokowej należy starać się zawsze 
potwierdzić metodami formalnymi (w tym przypadku – 
statystycznymi). 

17

Prognozowanie na podstawie            

                 

modeli trendu i wahań 

sezonowych

GK (WEiP(6) - 2010)

18

Test współczynnika korelacji Pearsona 

polega na wyznaczeniu 

wartości tego współczynnika dla szeregu czasowego i zmiennej 
czasowej 

t

 z zależności: 

a następnie na zweryfikowaniu hipotezy zerowej

o niewystępowaniu korelacji wobec hipotezy alternatywnej

że taka korelacja występuje. 

n

t

t 1

n

n

2

2

t

t 1

t 1

(y

y)(t t)

r

(y

y)

(t t)

=

=

=

-

-

=

-

-

�

�

�

0

H :

0

r =

1

H :

0,

r �

Prognozowanie na podstawie            

                 

modeli trendu i wahań 

sezonowych

GK (WEiP(6) - 2010)

19

Sprawdzianem jest statystyka

która w przypadku prawdziwości tej hipotezy ma rozkład t-
Studenta z 

n-2

 stopniami swobody.

Jeżeli dla przyjętego poziomu istotności 

 

 pomiędzy 

wartością krytyczną 

t



,n-2 

spełniona jest nierówność 

t

emp

 



 

t



,n-2

 

, 

to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, co oznacza, 
że trend w szeregu czasowym nie występuje. W przeciwnym 
przypadku, tj. gdy 

t

emp

 >

 

t



,n-2

 

hipoteza zerowa jest odrzucana, co 

oznacza, że trend w szeregu czasowym występuje. 

Omawiany test jest przeznaczony przede wszystkim do 

wykrywania trendu liniowego, ale często za jego pomocą można 
wykryć także trend nieliniowy.

emp

2

r

n 2

t

,

1 r

� -

=

-

Prognozowanie na podstawie            

                 

modeli trendu i wahań 

sezonowych

GK (WEiP(6) - 2010)

20

Test Danielsa

 

polega na wyznaczeniu wartości współczynnika 

korelacji Spearmana dla szeregu czasowego i zmiennej 
czasowej 

t

 z zależności: 

gdzie 

d

i

 oznacza różnicę rang obliczonych dla zmiennej 

czasowej 

t

 oraz szeregu czasowego 

y

t 

, a następnie na 

zweryfikowaniu hipotezy zerowej

o niewystępowaniu korelacji wobec hipotezy alternatywnej

że taka korelacja występuje. 

(

)

n

2

i

t 1

s

2

6

d

r

1

,

n n

1

=

�

= -

� -

�

0

s

H :

0

r =

1

s

H :

0,

r �

Prognozowanie na podstawie            

                 

modeli trendu i wahań 

sezonowych

GK (WEiP(6) - 2010)

21

Jeżeli dla przyjętego poziomu istotności 



  oraz liczności 

n

 szeregu czasowego i odczytaną dla nich z tablicy krytycznych 

wartości współczynnika korelacji rang Spearmana wartością 
krytyczną 

r



,n

 zachodzi 

r

s

 < r



,n

, to nie ma podstaw do odrzucenia 

hipotezy zerowej, co oznacza, że trend w szeregu czasowym nie 
występuje. W przeciwnym przypadku, tj. gdy 

r

s

 

 r



,n

 

hipoteza 

zerowa jest odrzucana, co oznacza, że trend w szeregu 
czasowym występuje. 

W przypadku, gdy 

n > 10 

do weryfikacji prawdziwości 

hipotezy zerowej można zastosować test oparty również na 
współczynniku korelacji rang Spearmana, w którym 
sprawdzianem jest statystyka postaci 

która w przypadku prawdziwości tej hipotezy ma rozkład 
normalny 

N(m, 

)

, gdzie:

n

2

n

i

i 1

S

d ,

=

=

�

Prognozowanie na podstawie            

                 

modeli trendu i wahań 

sezonowych

(

)

(

)

2

n n 1

m

,

6

n n 1

n 1.

6

s

� -

=

� +

=

� -

GK (WEiP(6) - 2010)

22

Dla przyjętego poziomu istotności 



  wartością krytyczną testu 

jest 

u

1-



/2

 

kwantyl  rozkładu normalnego 

N(0,1)

. Jeżeli zachodzi   

  

to nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, co oznacza, 
że trend w szeregu 
czasowym nie występuje. W przeciwnym przypadku hipoteza 
zerowa jest odrzucana, co oznacza, że trend w szeregu 
czasowym występuje. 

Omawiany test, podobnie jak test współczynnika 

korelacji Pearsona,  jest przeznaczony przede wszystkim do 
wykrywania trendu liniowego, ale często za jego pomocą można 
wykryć także trend nieliniowy.

n

1

2

S m

u

,

g

s

-

-

<

Prognozowanie na podstawie            

                 

modeli trendu i wahań 

sezonowych

GK (WEiP(6) - 2010)

23

Test Coxa-Stuarta (test znaków)

.

 

Realizacja testu polega na:

•podzieleniu szeregu czasowego na dwa równoliczne 
podszeregi; w przypadku nieparzystej liczby obserwacji 
usuwana jest obserwacja środkowa,

•porównywaniu kolejnych odpowiadających sobie obserwacji z 
obydwu  podszeregów i oznaczaniu znakiem „+” sytuacji, gdy 
obserwacja z pierwszego podszeregu ma większą wartość od 
wartości odpowiadającej jej obserwacji z drugiego podszeregu 
oraz oznaczanie znakiem „-” sytuacji odwrotnej; przypadek, gdy 
porównywane sobie obserwacje są równe jest opuszczany. 
Weryfikacji podlega hipoteza zerowa postaci 

wobec hipotezy alternatywnej  

przy czym 

p

 oznacza prawdopodobieństwo wystąpienia znaku 

„

+

”. 

0

H : p 0,5,

=

1

H : p 0,5,

�

Prognozowanie na podstawie            

                 

modeli trendu i wahań 

sezonowych

GK (WEiP(6) - 2010)

24

Sprawdzianem jest statystyka

która w przypadku prawdziwości hipotezy zerowej ma rozkład 
dwumianowy. 

Niech 

m

 oznacza sumę znaków „

+

” i „

-

” łącznie. Dla 

przyjętego poziomu istotności 



  i liczby 

m

 wyznacza się taką 

liczbę całkowitą 

C



/2,m

, aby odpowiadająca jej wartość 

dystrybuanty rozkładu dwumianowego z parametrami  

p = 0,5 

i 

m

 była najbardziej zbliżona do wartości 

/2

. Jeżeli 

T 

 C



/2,m

 lub 

T 

 (m-C



/2,m

)

, hipoteza zerowa jest odrzucana, co 

oznacza, że w szeregu czasowym występuje trend.

W przypadku dużej próby (np. gdy 

m·p > 5

) jako 

sprawdzian hipotezy zerowej można zastosować statystykę 
postaci

która w przypadku prawdziwości tej hipotezy ma rozkład 

N(0,1).

T liczba znaków "+" ,

=

2 T m

z

m

�-

=

Prognozowanie na podstawie            

                 

modeli trendu i wahań 

sezonowych

GK (WEiP(6) - 2010)

Test funkcji autokorelacji 

polega na wyznaczeniu z szeregu 

czasowego współczynników autokorelacji rzędu 

τ 

postaci

które zostaną wykorzystane do oceny występowania trendu w 
tym szeregu. Na występowanie trendu wskazują duże i 
statystycznie istotne wartości współczynników autokorelacji 
pierwszych kilku rzędów oraz stopniowo malejące następnych 
rzędów. 

Oprócz występowania trendu, powtarzające się co stałą 

liczbę (stały odstęp) rzędów istotne wartości współczynników 
autokorelacji sygnalizują istnienie wahań sezonowych o cyklu 
równym temu stałemu odstępowi. 

Do oceny istotności 

współczynników autokorelacji stosuje się test Ljunga-Boxa.

nτ

t

tτ

t 1

τ

n

2

t

t 1

(y

y)(y

y)

n

r

,τ 1,2,...,

,

2

(y

y)

-

+

=

=

-

-

��

=

=

��

��

-

�

�

25

Prognozowanie na podstawie            

                 

modeli trendu i wahań 

sezonowych

GK (WEiP(6) - 2010)

26

Test Ljunga-Boxa polega na weryfikowaniu hipotezy zerowej

o nieistotności współczynnika autokorelacji rzędu 



  wobec 

hipotezy alternatywnej  

że ten współczynnik autokorelacji jest istotny. 
Sprawdzianem jest statystyka Ljunga-Boxa postaci:

która w przypadku prawdziwości hipotezy zerowej ma rozkład 



2

 

o 



 stopniach swobody. Jeżeli dla przyjętego poziomu istotności 



  oraz rzędu 



  zachodzi 

Q(

)  

2



,



  (wartość krytyczna testu), to hipoteza zerowa jest 

odrzucana, co oznacza istotność testowanego współczynnika 
autokorelacji. W przypadku przeciwnym, tzn. gdy 

Q(

) < 

2



,



 nie 

ma podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, co oznacza, że 
testowany współczynnik autokorelacji nie jest istotny.

0

H :

0

t

r =

1

H :

0,

t

r �

( )

(

)

2

i

i 1

r

Q

n n 1

,

n i

t

t

=

= � -

�

-

�

Prognozowanie na podstawie            

                 

modeli trendu i wahań 

sezonowych

GK (WEiP(6) - 2010)

Najczęściej spotykaną metodą wyodrębniania tendencji 

rozwojowej z szeregów czasowych jest jej wyrażenie w postaci 
analitycznej za pomocą np. jednego z wcześniej 
przedstawionych 

modeli trendu

, który w sensie matematycznym 

jest 

funkcją czasu

 (zmiennej czasowej) 

f(t)

. Model trendu 

f(t)

 

może przyjmować dowolną postać funkcji liniowych i 
nieliniowych. 

Ze względu na łatwość estymowania parametrów 

strukturalnych modelu trendu, dąży się w praktyce do 
konstruowania tego modelu w postaci wielomianu. Jest to 
postępowanie dopuszczalne nawet w przypadkach, gdy 
tendencja rozwojowa badanego szeregu czasowego, 
reprezentowanego w modelu przez zmienną objaśnianą, 
opisywana jest w rzeczywistości inną funkcją ciągłą niż 
wielomian. Uzasadnieniem takiego podejścia jest twierdzenie 
Weierstrassa, które mówi, że dowolną funkcję ciągłą można 
aproksymować wielomianem.

27

Prognozowanie na podstawie            

                 

modeli trendu i wahań 

sezonowych

GK (WEiP(6) - 2010)

Postać analityczną modelu trendu 

f(t)

 można ustalić 

łatwo w przypadku, gdy tendencję rozwojową badanego zjawiska 
da się zidentyfikować, co w przypadkach rzeczywistych jest 
trudne, bowiem tendencja rozwojowa może podlegać różnym 
zmianom z upływem czasu. Z tego względu do identyfikacji 
trendu szeregu czasowego najczęściej służą adaptacyjne modele 
trendu. Są one stosowane w przypadku, gdy:

•

nie można zaobserwować wyraźnej tendencji rozwojowej w 

szeregu czasowym (metoda wzrokowa i metody statystyczne nie 
dają jednoznacznie pozytywnego rezultatu) ,

•

nie można jednoznacznie określić typu krzywej mającej 

stanowić analityczną reprezentację trendu,

•

tendencja ulega w miarę upływu czasu dynamicznym i 

nieregularnym zmianom.

28

Prognozowanie na podstawie            

                 

modeli trendu i wahań 

sezonowych

GK (WEiP(6) - 2010)

Spośród adaptacyjnych metod wygładzania szeregów 

czasowych (wyodrębniania trendu) najczęściej stosowana jest 
metoda 

średniej ruchomej

. Idea tej metody polega na 

wyznaczaniu z kolejnych 

p

 wartości empirycznych szeregu 

czasowego (zmiennej objaśnianej) średnich arytmetycznych. W 
zależności od liczby 

p 

wyróżnia się 

średnią ruchomą 

nieparzystą

 (zwykłą) i 

parzystą

. Wyrażają się one następującymi 

zależnościami:

•

 

nieparzysta (zwykła) średnia ruchoma

•

 parzysta średnia ruchoma

,

~











p

1

i

2

i

t

t

y

p

1

y

.

~













































1

p

1

i

2

p

i

t

2

p

t

2

p

t

t

y

y

y

2

1

p

1

y

29

Prognozowanie na podstawie            

                 

modeli trendu i wahań 

sezonowych

GK (WEiP(6) - 2010)

Otrzymane wartości średnich ruchomych są 

przyporządkowywane chwili 

t

 odpowiadającej środkowej 

wartości szeregu czasowego spośród wartości tego szeregu 
wziętych do obliczeń. Zatem stosowanie 

średniej ruchomej 

do 

wygładzania szeregu czasowego powoduje utratę danych 
proporcjonalną do kroku 

p

 tej średniej, co oznacza, że trend 

uzyskany za jej pomocą ma mniej wartości niż wyjściowy szereg 
czasowy. Traci się odpowiednio 

(p-1)/2

 wartości początkowych 

i końcowych w przypadku 

nieparzystej średniej ruchomej

 oraz 

p/2

 

wartości początkowych i końcowych w przypadku 

parzystej 

średniej ruchomej

. Z powyższego wynika, że wartości 

nieparzystej średniej ruchomej

 będą wyznaczane tylko dla chwil 

a 

parzystej średniej ruchomej

 – tylko dla chwil

         

,

...

2

1

p

,n

1,

2

1

p

,

2

1

p

t













.

...

2

p

,n

2,

2

p

1,

2

p

t









30

Prognozowanie na podstawie            

                 

modeli trendu i wahań 

sezonowych

GK (WEiP(6) - 2010)

W metodzie 

średniej ruchomej 

istotnym problemem jest 

wyznaczenie właściwego jej kroku 

p

, ponieważ średnia ruchoma 

o kroku 

p

 eliminuje z szeregu czasowego wahania okresowe, 

dla których długość cyklu mieści się bez reszty w 

p

. Z tego 

względu przy ustalaniu kroku 

p

 należy brać pod uwagę rodzaj 

wahań występujących w wygładzanym szeregu czasowym. Na 
ogół przyjmuje się, że do wyeliminowania z szeregu czasowego 
wahań przypadkowych wystarczające są zwykle średnie 
ruchome o 

p = 2

 lub 

3

. Do wyeliminowania wahań sezonowych 

o cyklu np. kwartalnym stosuje się średnią ruchomą o 

p = 4

 

lub 

8

.

Ustalanie postaci analitycznej modelu trendu odbywa się 

na podstawie wartości wygładzonego szeregu czasowego

 i może 

być dokonywane dowolną metodą, np. za pomocą estymacji 
ekonometrycznej, na podstawie oceny stałości przyrostów 
wygładzonych wartości szeregu czasowego (zmiennej 
objaśnianej) itp.

31

Prognozowanie na podstawie            

                 

modeli trendu i wahań 

sezonowych

GK (WEiP(6) - 2010)

W przypadku, gdy trend można zamodelować za pomocą 

wielomianu z parametrem 

t

, konieczne jest ustalenie jego 

stopnia 

k

. W tym celu można stosować wiele różnych metod 

praktycznych wśród, których często wykorzystywane są metody 
oparte na:

• teście F-Fiszera,
• badaniu stałości przyrostów szeregu.

Metoda oparta na teście F-Fiszera

. Analizie może być 

poddawany zarówno wygładzony, jak i niewygładzony szereg 
czasowy. Procedura ustalania stopnia wielomianu opisującego 
trend polega na badaniu, czy zwiększenie stopnia wielomianu 
wyraźnie obniża wariancję resztową  szeregu. Weryfikuje się 
prawdziwość hipotezy zerowej postaci 

gdzie                 oznaczają wariancje resztowe dla wielomianu 
trendu stopnia 

k

 i 

k+1

 odpowiednio.

32

2

2

0

k

k 1

H : s

s

+

=

Prognozowanie na podstawie            

                 

modeli trendu i wahań 

sezonowych

2

2

k

k 1

,

s s

+

GK (WEiP(6) - 2010)

33

Hipotezą alternatywną jest hipoteza postaci

Sprawdzianem jest statystyka 

która przy prawdziwości hipotezy zerowej ma rozkład F-
Snedecora o 



1

 = n-k-1 

i 



2

 = n-k 

stopniach swobody 

odpowiednio.

 

Wariancje resztowe są wyznaczane z zależności:

gdzie                 oznaczają reszty uzyskane w przypadku 
estymowania modelu trendu wyrażonego wielomianem 

k

 i 

k+1

 

stopnia odpowiednio.

2

2

1

k

k 1

H :

.

s

s

+

>

2

e,k

2

e,k 1

S

F

S

+

=

Prognozowanie na podstawie            

                 

modeli trendu i wahań 

sezonowych

n

n

2

2

k

k 1

2

2

i 1

i 1

e,k

e,k 1

e

e

S

,                 S

,

n k 1

n k

+

=

=

+

=

=

- -

-

�

�

k

k 1

e ,e

+

GK (WEiP(6) - 2010)

34

Jeżeli  dla poziomu istotności 



  zachodzi 

F < F



,



1,



2

, to nie ma 

podstaw do odrzucenia hipotezy 

H

0

, zatem model trendu 

będzie oparty na wielomianie stopnia 

k

. Na tym zostaje 

zakończona procedura ustalania stopnia wielomianu trendu. 
Jeżeli 

F ≥ F



,



1,



2

 , to hipotez 

H

0

 jest odrzucana na korzyść 

H

1

, co 

oznacza, że opisany sposób postępowania zostaje powtórzony, 
ale z wielomianami stopnia wyższego o 

1

, zatem w kolejnym 

kroku sprawdzany jest następny stopień wielomianu trendu.

Wybrany wielomian (model trendu) musi mieć istotny 

parametr stojący przy najwyższej potędze zmiennej czasowej.

Metoda oparta na badaniu stałości przyrostów

. 

Metoda ta 

umożliwia określenie stopnia wielomianu opisującego trend na 
podstawie badania przyrostów wartości wygładzonego szeregu 
czasowego. Metoda jest oparta na spostrzeżeniu, że dla 
wielomianu stopnia 

k

 stałe powinny być 

k

-te

 

przyrosty tego 

szeregu, obliczane z następującej zależności rekurencyjnej:

Prognozowanie na podstawie            

                 

modeli trendu i wahań 

sezonowych

n

2,...,

i

1,

i

t

k;

1,2,...,

i

,

Δ

Δ

Δ

1

i

1

t

1

i

t

i

t



















GK (WEiP(6) - 2010)

przy czym

gdzie    oznaczają wartości wygładzonego szeregu czasowego 
(wygładzone wartości zmiennej objaśnianej).

Decyzja o stałości przyrostów określonego stopnia 

szeregu jest podejmowana zwykle na podstawie badania 
istotności współczynnika korelacji ze zmienną czasową 

t

. 

Proces decyzyjny przybiera postać postępowania 
weryfikującego hipotezę zerową

                        

względem alternatywnej 

      

przy przyjętym poziomie istotności  

γ

. 

n

2,3,...,

t

,

y

~

y

~

Δ

1

t

t

1

t









t

y

~

35

Prognozowanie na podstawie            

                 

modeli trendu i wahań 

sezonowych

0

r

:

H

k

t

Δ

0



0

r

:

H

k

t

Δ

1



GK (WEiP(6) - 2010)

Sprawdzianem jest statystyka postaci: 

która w przypadku prawdziwości hipotezy ma rozkład t-
Studenta o 

ν = n-2-k

 stopniach swobody (

k

 – stopień 

przyrostu).

Jeżeli brak jest podstaw do odrzucenia hipotezy 

zerowej dla przyrostów rzędu 

k

, przyjmuje się, że występuje 

trend wielomianowy, którego modelem ekonometrycznym 
będzie wielomian rzędu 

k

.

k

2

n

r

1

r

t

k

t

k

t

Δ

Δ

Δ

r









2

36

Prognozowanie na podstawie            

                 

modeli trendu i wahań 

sezonowych

GK (WEiP(6) - 2010)

Identyfikacja wahań sezonowych. 

Analiza wahań sezonowych jest 

przeprowadzana na podstawie szeregu czasowego pozbawionego 
trendu.

W przypadku 

addytywnych wahań sezonowych

 usuwanie 

trendu z szeregu oryginalnego następuje przez 

odjęcie

 wartości 

trendu 

f(t)

 od wartości 

y

t

 

tego szeregu, tj.

a w przypadku 

multiplikatywnych wahań sezonowych

 – przez 

podzielenie

 

wartości 

y

t

 

szeregu oryginalnego przez wartości 

trendu 

f(t)

, tj.

        

t

t

t

t 1,2,...,n,

Sε

y

f(t),

=

+ = -

t

t

t

t 1,2,...,n

.

y

Sε

,

f(t)

=

+ =

37

Prognozowanie na podstawie            

                 

modeli trendu i wahań 

sezonowych

GK (WEiP(6) - 2010)

Właściwe zamodelowanie szeregu czasowego wymaga 

ustalenia parametrów wahań sezonowych, tj. ich 

cyklu 

oraz

 

amplitudy

. 

Cykl wahań sezonowych 

S

t

 zwykle wyznacza się na 

podstawie 

funkcji autokorelacyjnej

, której wartościami są 

współczynniki autokorelacji szeregu wahań sezonowych, 
wyznaczane dla poszczególnych momentów lub okresów czasu z 
następującego wyrażenia:

Ocenę okresu wahań sezonowych przeprowadza się na podstawie 
analizy wykresu funkcji autokorelacyjnej (najlepiej wykresu 
kolumnowego), poprzez określanie odstępu między 
jednoimiennymi kolejnymi istotnymi wartościami tej funkcji. 

.

...,































2

n

0,1,2,

τ

,

)

S

(S

)

S

)(S

S

(S

r

n

1

t

2

t

τ

n

1

t

τ

t

t

τ

38

Prognozowanie na podstawie            

                 

modeli trendu i wahań 

sezonowych

GK (WEiP(6) - 2010)

Na przedstawionym wykresie funkcji autokorelacyjnej 

zaznaczono liniami poziomymi granice ufności dla tej funkcji. Za 
istotne uznaje się te wartości współczynników autokorelacji, które 
są większe od górnej granicy przedziału ufności, bądź mniejsze od 
dolnej granicy przedziału ufności. 

Górna granica 
przedziału 
ufności

Dolna granica 
przedziału 
ufności

Istotna 
wartość 
współczyn
nika 
autokorela
cji

39

Cykl wahań 
sezonowych 
(4)

Prognozowanie na podstawie            

                 

modeli trendu i wahań 

sezonowych

GK (WEiP(6) - 2010)

Dla dostatecznie dużej liczebności 

n

 szeregu wahań sezonowych 

S

t

 granice ufności dla funkcji autokorelacyjnej tego szeregu 

wyznacza się przyjmując, że funkcja ta ma asymptotyczny rozkład 
normalny postaci                    Stąd granice ufności dla funkcji 
autokorelacyjnej na poziomie ufności 

1-



  wyznacza się z 

zależności:

przy czym 

u

1-

/2

 oznacza kwantyl rozkładu normalnego 

N(0,1)

 

rzędu 

1-



/2

.





.

n

1

0,

N

2

γ

1

τ

u

n

1

r





40

Prognozowanie na podstawie            

                 

modeli trendu i wahań 

sezonowych

GK (WEiP(6) - 2010)

t

y

t

t

y

t

t

y

t

t

y

t

1

86,7

16

99,5

31

-

142,

0

46

-

380,

8

2

133,

3

17

-9,5

32

-

125,

4

47

-

333,

6

3

167,

8

18

13,8

33

-

234,

2

48

-

291,

2

4

204,

9

19

46,9

34

-

244,

9

49

-

405,

7

5

111,

2

20

76,7

35

-

186,

9

50

-

358,

1

6

153,

9

21

-76,9

36

-

192,

0

51

-

306,

6

7

151,

8

22

-66,5

37

-

306,

2

52

-

297,

9

8

190,

1

23

-20,9

38

-

262,

0

53

-

428,

4

9

83,4

24

-2,8

39

-

255,

3

54

-

376,

2

10

103,

7

25

-

115,

2

40

-

242,

7

55

-

289,

8

11

115,

3

26

-

117,

7

41

-

355,

1

56

-

273,

5

12

168,

0

27

-82,6

42

-

316,

9

57

-

379,

2

13

41,4

28

-80,1

43

-

284,

6

58

-

329,

2

14

58,1

29

-

188,

3

44

-

247,

9

59

-

290,

2

15

132,

1

30

-

165,

5

45

-

361,

7

60

-

254,

5

41

Prognozowanie na podstawie            

                 

modeli trendu i wahań 

sezonowych

Przykład.

 

Rozpatruje się 
szereg czasowy 
o danych jak w 
tabeli:

GK (WEiP(6) - 2010)

42

Prognozowanie na podstawie            

                 

modeli trendu i wahań 

sezonowych

Graficzna prezentacja 
badanego szeregu 
czasowego:

GK (WEiP(6) - 2010)

43

Prognozowanie na podstawie            

                 

modeli trendu i wahań 

sezonowych

Statystyczna identyfikacja występowania trendu:

•Test współczynnika korelacji Pearsona:

• wartość współczynnika korelacji Pearsona: 

r = -0,94111

,

• wartość sprawdzianu hipotezy zerowej: 

t = 21,19884

,

• wartość krytyczna testu: 

t

0,05;58

 = 2,001717

,

Ponieważ 

t > t

0,05;58 

, odrzucana jest hipoteza zerowa o 

nieistnieniu trendu – 

przyjmuje się hipotezę alternatywną o 

istnieniu trendu,

•Test Danielsa:

• wartość współczynnika korelacji rangowej Spearmana: 

r

s

 = 

0,931759,

• wartość krytyczna współczynnika korelacji Spearmana: 

r

0,05;60

 = 0,236802,

Ponieważ

 r > r

0,05;60

 

, odrzucana jest hipoteza zerowa o 

nieistnieniu trendu –

 

przyjmuje się hipotezę alternatywną o 

istnieniu trendu,

GK (WEiP(6) - 2010)

44

Prognozowanie na podstawie            

                 

modeli trendu i wahań 

sezonowych

Statystyczna identyfikacja występowania trendu:

•Test Coxa-Stuarta (dwustronny):

• liczba porównywanych par: 

m = 30,

• wartość sprawdzianu hipotezy zerowej:

 

T = 30,

• wartość krytyczna testu: 

C

0,025;30

 = 10,

Ponieważ

 

T > m - C

0,025;30 

, odrzucana jest hipoteza zerowa o 

nieistnieniu trendu – 

przyjmuje się hipotezę alternatywną o 

istnieniu trendu,

•Test Coxa-Stuarta (dwustronny) dla dużych liczb:

• liczba porównywanych par: 

m = 30,

• liczba znaków „+”: 

T = 30,

• wartość sprawdzianu hipotezy zerowej: 

z = 5,477226,

• wartość krytyczna testu: 

u

0,975

 = 1,959964,

Ponieważ

 

|z| > u

0,975

 

, odrzucana jest hipoteza zerowa o 

nieistnieniu trendu – 

przyjmuje się hipotezę alternatywną o 

istnieniu trendu.

GK (WEiP(6) - 2010)

45

Prognozowanie na podstawie            

                 

modeli trendu i wahań 

sezonowych

Po wygładzeniu szeregu czasowego średnią ruchomą i 
wyodrębnieniu z niego addytywnych wahań sezonowych otrzymuje 
się następujące wykresy:

GK (WEiP(6) - 2010)

t

s

t

t

s

t

t

s

t

t

s

t

1

16,

6

16

-

21,

0

31

-

42,

0

46

58,

8

2

48,

0

17

23,

4

32

-

38,

7

47

-

61,

9

3

-

46,

3

18

71,

6

33

36,

6

48

-

16,

9

4

0,3

19

-

63,

5

34

42,

6

49

38,

3

5

3,5

20

-

34,

7

35

-

60,

9

50

52,

1

6

51,

6

21

25,

7

36

-1,8

51

-

78,

2

7

-

44,

3

22

55,

0

37

17,

4

52

-

31,

2

8

-

16,

7

23

-

43,

3

38

42,

9

53

46,

0

9

3,0

24

-

28,

5

39

-

58,

9

54

50,

3

10

66,

6

25

25,

4

40

-

16,

4

55

-

61,

2

11

-

56,

4

26

43,

1

41

17,

4

56

-

13,

6

12

-

33,

2

27

-

51,

8

42

62,

9

57

13

55,

7

28

-

15,

9

43

-

36,

8

58

14

35,

0

29

19,

0

44

-

44,

4

59

15

-

57,

8

30

51,

3

45

13,

7

60

46

Prognozowanie na podstawie            

                 

modeli trendu i wahań 

sezonowych

Analizie jest 
poddawany szereg 
czasowy wahań 
sezonowych postaci:

GK (WEiP(6) - 2010)

47

Prognozowanie na podstawie            

                 

modeli trendu i wahań 

sezonowych

Przebieg badanego szeregu czasowego wahań sezonowych

GK (WEiP(6) - 2010)

48

Prognozowanie na podstawie            

                 

modeli trendu i wahań 

sezonowych

Wykres funkcji autokorelacyjnej:

GK (WEiP(6) - 2010)

Modelowanie szeregu czasowego. 

Metoda Kleina 

modelowania 

szeregów czasowych zakłada możliwość modelowania 

wahań 

sezonowych 

za pomocą sztucznych zmiennych 

zero-

jedynkowych

. Służy ona do modelowania addytywnych szeregów 

czasowych, tj. takich, w których kształtowanie się zmiennej 
objaśnianej powstaje w wyniku 

sumarycznego

 nakładania się 

zmian wnoszonych przez wszystkie składowe szeregu . Stąd w 
metodzie Kleina wykorzystywany jest następujący model 
szeregu czasowego:

•f(t) 

– model trendu,

•m

 – liczba faz w okresie (rok) wahań roku (np. 

l = 4

 – 

wahania kwartalne),

•π

j

 – parametr strukturalny modelu związany z sezonową 

zmienną 
zero-jedynkową, odpowiadającą 

j

-tej fazie,

•Q

j

 – sezonowa zmienna zero-jedynkowa odpowiadająca 

j

-tej 

fazie w okresie.

49

( )

m

t

j

j

t

j 1

(t 1,2,...,n)

y

f tπ Q ε ,

,

=

=

=

+

+

�

Prognozowanie na podstawie            

                 

modeli trendu i wahań 

sezonowych

GK (WEiP(6) - 2010)

Sezonowe zmienne zero-jedynkowe

 są takimi zmiennymi 

objaśniającymi w modelu Kleina, które przyjmują wartość 

1

 

cyklicznie, wskazując fazę, której zostały przypisane. W 
przypadku sezonowości występuje sytuacja, gdy zjawisko 
jakościowe w postaci efektu sezonowego ( np. tygodniowe, 
miesięczne, kwartalne, 
półroczne) pojawia się tyle razy, ile cykli obejmuje szereg 
czasowy. Przy założeniu, że efekt sezonowości jest stały w 
całym szeregu, zmienne 

zero-jedynkowe 

przeznaczone w 

modelu do opisywania efektów poszczególnych faz każdego z 
tych cykli będą przyjmowały wartości równe 

1

 (jedynki) tylko w 

przypadku reprezentowania danej fazy. W pozostałych 
przypadkach takie zmienne będą przyjmowały wartości równe 

0

 (zeru), co oznacza że:

50

[

]

[

]

j

gdy

t mod m

j

j 1,2,...,m; t 1,2,...,n

gdy

t mod m

j

1,

Q

,

.

0,

=

=

=

�

�

=�

�

Prognozowanie na podstawie            

                 

modeli trendu i wahań 

sezonowych

GK (WEiP(6) - 2010)

W modelu z wyrazem wolnym (taki jest rozpatrywany) nie 

można uwzględnić wszystkich sezonowych zmiennych zero-
jedynkowych, gdyż spowoduje to ścisłą współliniowość zmiennych 
objaśniających (suma zmiennych sezonowych jest identyczna ze 
zmienną związaną z wyrazem wolnym), co wyklucza zastosowanie 
KMNK do szacowania parametrów strukturalnych modelu. Drogą 
do rozwiązania tego problemu jest przyjęcie  założenia, że w 
ramach każdego cyklu efekty sezonowe równoważą się (sumują 
się do zera), tzn. zachodzi:

Przyjęte założenie umożliwia usunięcie współliniowości z modelu 
poprzez następującą transformację:

m

j

j 1

π

0

=

=

�

51

Prognozowanie na podstawie            

                 

modeli trendu i wahań 

sezonowych

( )

(

)

m 1

t

j

j

m

t

j 1

(t 1,2,...,n)

y

f tπ Q Q

ε ,

.

-

=

=

=

+

-

+

�

GK (WEiP(6) - 2010)

52

Oszacowanie wartości parametrów strukturalnych 
rozpatrywanego modelu otrzymuje się z następującej 
zależności:  

gdzie:

a 

– oszacowania parametrów trendu,

p

 – oszacowania parametrów zmiennych sezonowych.

Macierz 

X 

wartości empirycznych zmiennych objaśniających 

jest postaci: 

gdzie                   oznaczają odpowiednio macierz jedynkową 

n 

× 1

, macierz 

n × k

, której kolumny zawierają wartości kolejnych zmiennych 

objaśniających trendu, 

(i=1,2,…,k)

, macierz o wymiarach 

n × 

(m-1)

, której kolumny zawierają  wartości kolejnych zmiennych 

objaśniających 

Q

j

-Q

m

.

y

X

X)

(X

q

T

1

T





(k m) 1

a

q

p

+ �

��

=��

��

Prognozowanie na podstawie            

                 

modeli trendu i wahań 

sezonowych





,

...

...

Q

t

X

X

X

1



Q

t

X

X ,

,

1

Macierz wariancji i kowariancji ocen parametrów 
strukturalnych modelu jest postaci: 

przy czym wariancję odchyleń losowych (wariancja reszt) 
wyznacza się z zależności:

Oszacowanie

 

p

m

 parametru 

π

m

 wyznacza się z zależności:

gdzie 

p

j

 oznacza oszacowanie parametru strukturalnego 

π

j

, 

związanego z 

j

-tą 

zmienną sezonową.

GK (WEiP(6) - 2010)

n

2

T

t

2

t 1

e

e

e e

S

n k m n k m

=

=

=

- -

- -

�

1

T

2

e

2

X)

(X

S

)

q

(

D





53

m 1

m

j

j 1

p

p

-

=

=-

�

Prognozowanie na podstawie            

                 

modeli trendu i wahań 

sezonowych

GK (WEiP(6) - 2010)

54

Wariancja oszacowania 

p

m 

parametru 

π

m  

wyraża się następującą 

zależnością:

gdzie elementy 

d

js

 są elementami macierzy  

D

2

(q)

.

Po oszacowaniu parametrów strukturalnych metodą 

KMNK model przyjmie ostateczną postać:

Prognoza punktowa w okresie prognozy 

T 

dla modelu Kleina:

k m

k m k m

2

m

jj

js

j k 2

j k 2 s k 2

s j

S (p )

d

d

+

+

+

= +

= + = +

�

=

+

�

� �

( )

m 1

m 1

t

j

j

m

j

j 1

j 1

(t 1,2,...,n).

ˆ

ˆy

f t

p Q Q

p ,

-

-

=

=

=

=

+

� -

�

�

�

Prognozowanie na podstawie            

                 

modeli trendu i wahań 

sezonowych

 

.

ˆ











m

j

j

j

p

T

Q

p

T

f

y

1

GK (WEiP(6) - 2010)

55

Prognozowanie na podstawie            

                 

modeli adaptacyjnych

Prognozowanie z wykorzystaniem modeli 

adaptacyjnych jest właściwie prognozowaniem przebiegu 
zjawiska tylko na podstawie opisującego je szeregu 
czasowego. Prognostyk ma więc do dyspozycji tylko 
wartości empiryczne zmiennej objaśnianej związane z 
czasem, tj. ma do dyspozycji ciąg postaci:

Wśród metod wykorzystywanych w prognozowaniu 
szeregów czasowych na podstawie modeli adaptacyjnych 
najczęściej są wykorzystywane metody należące do 
następujących podstawowych klas:

•metody naiwne,

•metody oparte na średnich,

•metody wyrównywania wykładniczego.





.

...

n

2

1

,y

,

,y

y

GK (WEiP(6) - 2010)

56

Metody należące do wymienionych klas są 

stosowane do prognozowania krótkookresowego, 
obejmującego zwykle okres prognozowania 

T=n+1

, tj. czas 

następujący zaraz po czasie, w którym została 
zaobserwowana ostatnia wartość zmiennej objaśnianej, 
tzn. 

y

n

. 

Omawiane metody prognozowania są stosowane w 

przypadkach, gdy nie ma się pewności co do stabilności w 
czasie modelu ekonometrycznego opisującego zmiany 
zjawiska reprezentowanego przez zmienną objaśnianą. Tak 
więc modele adaptacyjne nie zakładają stałości w czasie 
analitycznej postaci funkcji trendu ani parametrów w niej 
występujących. W procesie prognozowania opartym na 
tych modelach przyjmuje się, że rozwój obserwowanego 
zjawiska w czasie może być segmentowy, tj. gładki tylko w 
pewnych przedziałach czasu. Istotnym założeniem 
koniecznym do poprawnego zastosowania modeli 
adaptacyjnych opartych na omawianych metodach jest 
założenie stacjonarności w czasie błędów predykcji.

Prognozowanie na podstawie            

                 

modeli adaptacyjnych

GK (WEiP(6) - 2010)

57

Prognozowanie na podstawie            

                 

modeli adaptacyjnych 

(metody naiwne)

Metody naiwne

 należą do najprostszych metod 

prognozowania. Prognozowanie naiwne opiera się na 
założeniu, że najlepszą informacją przy tworzeniu 
prognozy na okres 

T=n+1 

jest informacja o wartości lub 

zmianie wartości zmiennej objaśnianej w chwili 

n

, tj. 

wartości 

y

n

. 

Omawiane metody w praktyce występują w wielu 

odmianach (wariantach):



metoda oparta na błądzeniu losowym

 wokół pewnego 

stałego poziomu, a szereg czasowy opisujący zmiany 
zmiennej objaśnianej nie wykazuje żadnej wyraźnej 
tendencji rozwojowej (trendu) ani wahań sezonowych. W 
tym przypadku za prognozę zjawiska przyjmuje się 
ostatnią wartość empiryczną, tj.

,

n

p

T

y

y 

GK (WEiP(6) - 2010)

58



metoda dla szeregu czasowego z trendem

 - szereg 

czasowy opisujący zmiany zmiennej objaśnianej oprócz 
wahań przypadkowych wykazuje wyraźną tendencję 
rozwojową (trend), natomiast nie wykazuje wahań 
sezonowych. W tym przypadku za prognozę zjawiska 
przyjmuje się nie tylko ostatnią wartość empiryczną 
zmiennej objaśnianej, ale również ostatnio 
zaobserwowaną tendencję zmian, tj.:

•

 dla zmian zmiennej objaśnianej wyrażanych w sposób 

bezwzględny:

•

 dla zmian zmiennej objaśnianej wyrażanych w sposób 

względny:





,

y

y

y

y

1

n

n

n

p

T









,

y

y

y

y

1

n

n

n

p

T





Prognozowanie na podstawie            

                 

modeli adaptacyjnych 

(metody naiwne)

GK (WEiP(6) - 2010)

59



metoda dla szeregu czasowego z wahaniami sezonowymi

 

- szereg czasowy opisujący zmiany zmiennej objaśnianej 
oprócz wahań przypadkowych wykazuje wahania 
sezonowe wokół pewnego stałego poziomu bez wyraźnej 
tendencji rozwojowej (trendu). W tym przypadku za 
prognozę zjawiska przyjmuje się ostatnią wartość 
empiryczną zmiennej objaśnianej dla sezonu o numerze 

m

, odpowiadającemu sezonowi w okresie 

prognozowanym 

T=n+1

, tj.: 

W przypadku, gdy oszacowane zostały wskaźniki 

sezonowości prognoza jest tworzona według zależności:

przy czym 

a)

 oznacza wahania multiplikatywne, a 

b)

 – 

addytywne.

,

y

y

m

1

n

p

T









 

 



 

 





,m

1,2,

j

,

n

g

T

g

y

y

b

n

w

T

w

y

y

a

j

j

n

p

T

j

j

n

p

T

lub

...











Prognozowanie na podstawie            

                 

modeli adaptacyjnych 

(metody naiwne)

GK (WEiP(6) - 2010)

60

Prognozowanie na podstawie 

modeli 

adaptacyjnych 

(metody oparte na 

średnich)

W 

metodach opartych na średnich

 prognozowanie 

wartości zmiennej objaśnianej odbywa się na podstawie 
większej liczby obserwacji niż w metodach naiwnych. 

Omawiane metody mogą być wykorzystywane w 
przypadkach, gdy szereg czasowy wykazywał w 
przeszłości wahania losowe wokół pewnego stałego 
poziomu

. Dokładność prognoz może być tylko oceniania 

na podstawie błędów 

ex post

 dla prognoz wygasłych 

(podobnie jak dla metod naiwnych).

Do najczęściej stosowanych nalezą metody 

prognozowania na podstawie:



zwykłych średnich,



średnich ruchomych,



średnich ważonych.

GK (WEiP(6) - 2010)

61

 Charakterystyka poszczególnych metod:



metoda prognozowania na podstawie średnich zwykłych

 

– uwzględnia się wszystkie dane empiryczne występujące 
w szeregu czasowym                                         tj.:

Zaletą rozpatrywanej metody jest jej prostota, ale wadą 
jest uwzględnianie w prognozie wszystkich obserwacji 
niezależnie od ich „wieku” jako jednakowo ważnych, 
chociaż w wielu przypadkach dane starsze często nie 
odzwierciedlają najnowszej tendencji rozwoju zmiennej 
objaśnianej, zawartej w jej „najmłodszych” danych 
empirycznych.





,

...

n

2

1

,y

,

,y

y

,

y

n

1

y

y

n

1

t

t

p

T









Prognozowanie na podstawie 

modeli 

adaptacyjnych 

(metody oparte na 

średnich)

GK (WEiP(6) - 2010)

62



metoda prognozowania na podstawie średnich 
ruchomych

 – średnia ruchoma uwzględnia starzenie się 

informacji poprzez okresową wymianę najstarszej 
danej empirycznej na nową. Prognoza jest wyznaczana 
z zależności:

przy czym 

h

 oznacza rząd średniej ruchomej.

Ponieważ wszystkie dane wykorzystywane do obliczania 
średniej ruchomej wywierają taki sam wpływ na 
prognozę, najważniejszym problemem, który należy 
rozwiązać jest kompromisowe ustalenie rzędu średniej 
ruchomej, bowiem rząd wysoki oznacza lepsze 
wygładzanie szeregu, a rząd niski – mniejszy wpływ na 
prognozę starzejących się danych.

n

p

T

t

t n h 1

1

y

y ,

h

= - +

=

�

Prognozowanie na podstawie 

modeli 

adaptacyjnych 

(metody oparte na 

średnich)

GK (WEiP(6) - 2010)

63



metoda prognozowania na podstawie średnich 
ważonych

 – średnia ważona  uwzględnia starzenie się 

informacji poprzez zmniejszenie ich wpływu na 
prognozowana wartość zmiennej objaśnianej. Osiąga 
się to poprzez przyporządkowanie zróżnicowanych wag 
poszczególnym danym, wykorzystywanym do obliczania 
średniej. Wagi 

w

t

 uwzględniające starzenie się 

informacji powinny spełniać następujące wymagania:

przy czym 

h

 oznacza rząd średniej ruchomej.

[ ]

t

h

t

t 1

t 1

t

t 1

t

t

t 1

t 1,2,...,h,

t 1,2,...,h 1,

t 1,2,...,h 1,

w

0,1 ,

w 1,

w

w ,

w

w

w w ,

=

+

+

-

=

=

-

=

-

�

=

>

-

� -

�

Prognozowanie na podstawie 

modeli 

adaptacyjnych 

(metody oparte na 

średnich)