Topologia I - Zadania
Seria 3.
Operacje na przestrzeniach.
Spójność i łukowa spójność.
29 paz
dziernika 2012
Zad. 1 (Dziedziczność ośrodkowości). Wykazać, że podprzestrzeń ośrodkowej przestrzeni metryzowalnej
jest ośrodkowa. Czy jest to prawda bez założenia metryzowalności?
Zad. 2 (Operacje i ośrodkowość). Zbadać zachowanie własności ośrodkowości przy pozostałych opera-
cjach na przestrzeniach: przestrzeni ilorazowej, produkcie kartezjańskim, sumie prostej.
Zad. 3 (Odwzorowania ilorazowe). Jeśli ciągła surjekcja p : (X, TX) (Y, TY ) jest odwzorowaniem
otwartym (tzn. "U"T f(U) " TY ) lub domkniętym (tzn. obraz dowolnego zbioru domkniętego w X jest
X
domkniÄ™ty w Y ) to podzbiór V " TY Ð!Ò! p-1(V ) " TX, tzn. (Y, TY ) jest homeomorficzna z przestrzeniÄ…
ilorazowÄ… X/ <"p gdzie x1 <"p x2 Ð!Ò! p(x1) = p(x2). Takie odwzorowania nazywa siÄ™ ilorazowymi
Zad. 4. Odwzorowania ilorazowe i spójność] Jeśli p : (X, TX) (Y, TY ) jest odwzorowaniem ilorazowym
(w szczególności surjekcją) takim, że "y"Y f-1(y) jest zbiorem spójnym oraz (Y, TY ) jest przestrzenią
spójną, to (X, TX) jest przestrzenią spójną.
Zad. 5 (Kryterium spójności podzbioru). Zbiór S w przestrzeni (X, T ) jest spójny wtedy i tylko wtedy,
gdy dla każdych niepustych zbiorów A, B takich, ze S = A *" B, mamy cl(A) )" B = " lub A )" cl(B) = ".

Zad. 6 (Przykłady). Zbadać spójność przestrzeni opisanych w Serii 1, Zad. 1 i Zad. 8.
Zad. 7 (Spójność w Rn). Wykazać, że jesli n > 1 to dopełnienie dowolnego zbioru przeliczalnego w
przestrzeni (Rn, Te) jest przestrzenią łukowo spójną.
Zad. 8 (Spójność i łukowa spójność w Rn). Udowodnij, że otwarty, spójny podzbiór (Rn, Te) jest łukowo
sp/ójny.
Zad. 9 (Składowe produktu). BCPP Zad. 4.25.
Zad. 10 (Klasyfikacja cyfr). Traktując cyfry 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 jako podzbiory płaszczyzny euklidesowej,
podzielić je na klasy równoważności relacji homeomorfizmu.
Zad. 11 (Ilorazy odcinka). BCPP Zad. 5.2. Narysuj podzbiory płaszczyzny homeomorficzne z tymi prze-
strzeniami.
Zad. 12 (Podzbiory okręgu). Wykazać, że dowolny spójny podzbiór okręgu S1 jest homeomorficzny z
S1 lub jednym z odcinków [-1, 1], [-1, 1), (-1, 1) i żadne dwie z tych przestrzeni nie są homeomorficzne.
Zad. 13 (Różne modele sfery). Udowodnij, że dla n > 0 następujące przestrzenie są homeomorficzne:
1. Sfera Sn := {x " Rn+1 | ||x|| = 1}
2. Zbiór (Rn)+ := Rn *" {"} z topologią generowaną przez kule euklidesowe zawarte w Rn oraz zbiory
{x " Rn | ||x|| > r} *" {"} (sfera Riemanna)
3. PrzestrzeÅ„ ilorazowa Dn/ <" gdzie x <" y Ð!Ò! x = y lub x, y " Sn-1 (Uwaga: Oznaczamy Dn =
B(0; 1) ‚" Rn.
1
Rozwiąż zadanie najpierw dla n = 1, 2 i wykonaj odpowiednie rysunki. Do rozwiązania skorzystaj z rzutu
stereograficznego.
Zad. 14. Jeśli f : Sn [0, 1] jest przekształceniem ciągłym i n > 1 to przeciwobraz co najwyżej dwóch
punktów jest przeliczalny. Czy teza zachodzi dla n = 1?
Zad. 15 (Grupa liniowa). Wykazać, że zbiór macierzy odwracalnych GL(n, R) jest podzbiorem otwartym
w przestrzeni wszystkich macierzy n × n oraz ma dokÅ‚adnie dwie skÅ‚adowe spójne. Wsk. W celu dowodu
spójności zastosuj indukcję i zadanie 4.
2