Topologia I - Zadania
Seria 0. Rachunek zbiorów.
1 paz
dziernika 2012
W zadaniach zebrane są wiadomości z zakresu rachunku zbiorów objęte programem Wstępu do ma-
tematyki, których opanowanie jest niezbędne do śledzenia wykładu Topologia I. Zadania 4-6 dotyczące
illoczynów kartezjańskich rodzin zbiorów indeksowanych dowolnymi zbiorami wskaz
ników mogą nieznacz-
nie wychodzić poza program Wstępu i są przeznaczone dla ambitniejszych studentów - w przypadku skoń-
czonych rodzin powinni się z nimi zapoznać wszyscy. Studenci mający braki w zakesie rachunku zbiorów
proszeni są o zgłoszenie się do prowadzących ćwiczenia.
f
Zad. 1. Niech X - Y bedzie odwzorowaniem zbiorów, {As}s"S rodziną podzbiorów X, a {Bt}t"T

rodziną podzbiorów Y . Wykazać, że:1

1. f( As) = f(As),
s"S s"S

2. f( As) ‚" f(As). Dla jakich f równość zachodzi dla dowolnej rodziny {Ai}i"I?
s"S s"S

3. f-1( Bt) = f-1(Bt) oraz f-1( Bt) = f-1(Bt)
t"T t"T t"T t"T

Zad. 2. Mówimy, że rodzina podzbiorów {As}s"S zbioru X jest jego pokryciem jeśli As = X (a
s"S
rozbiciem jeśli dodatkowo As )" At = " dla s = t). Załóżmy, że mamy dane dwa pokrycia (rozbicia) zbioru

X: {As}s"S oraz {A }t"T . Wykazać, że:
t
1. Rodzina przecięć: {As )" A }(s,t)"S×T jest także pokryciem (odp. rozbiciem) zbioru X;
t
2. Jeśli dla każdego s " S i dla każdego punktu a " As istnieje zbiór Bt(a) taki, że

a " Bt(a) ‚" As, to istnieje podzbiór S ‚" S mocy niewiÄ™kszej niż moc zbioru T taki, że {As}s"S
jest także pokryciem.
Zad. 3. Odwzorowanie zbiorów f : X Y definiuje dwa odwzorowanie zbiorów potęgowych, (czyli
zbiorów wszystkich podzbiorów danego zbioru): f" : P(X) P(Y ) dane wzorem f"(A) := f(A) oraz
f" : P(Y ) P(X) dane wzorem f"(B) := f-1(B). Sprawdz
, że:
f g
1. Jeśli dane są dwa składalne przekształcenia X - Y - Y to (g ć% f)" = g" ć% f" oraz (g ć% f)" = f" ć% g"

2. f jest surjekcjÄ… Ð!Ò! f" jest surjekcjÄ… (czyli "na") Ð!Ò! f" jest injekcjÄ… (różnowartoÅ›ciowe);
3. f jest injekcjÄ… Ð!Ò! f" jest injekcjÄ… Ð!Ò! f" jest surjekcjÄ…;
4. f jest bijekcjÄ… Ð!Ò! f" jest bijekcjÄ… Ð!Ò! f" jest bijekcjÄ…;
5. Dla jakich przekształceń zachodzi równość: f"f" = IdP(Y ), a dla jakich f"f" = IdP(X)
Zad. 4. Niech {As}s"S oraz {Bs}s"S będą rodzinami zbiorów. Wykaż, że

" ( As) )" ( Bs) = As )" Bs
s"S s"S s"S

" ( As) *" ( Bs) ‚" As *" Bs. Podać przykÅ‚ad, że w ogólnoÅ›ci nie zachodzi równość.
s"S s"S s"S
1
Na Wstępie do matematyki w ub. roku obraz zbioru oznaczano f[A], a przeciwobraz f-1[A]. My stosować będziemy
częściej używaną notację, czyli nawiasy okrągłe.
1
Zad. 5. Dla dowolnych podzbiorów S1 ‚" S2 ‚" S zdefiniuj surjekcjÄ™

2
pS : As As
S1
s"S2 s"S1
(zwanÄ… rzutowaniem lub projekcjÄ… na współrzÄ™dne z S2) takÄ…, że dla dowolnych trzech podzbiorów S1 ‚"
3 2 3
S2 ‚" S3 zachodzi równość: pS = pS pS tzn. jest przemienny diagram przeksztaÅ‚ceÅ„:
S1 S1 S2

S2
As pS3 As
s"S3 s"S2
pS2
S1
pS3
S1


As
s"S1
1
oraz dla każdego S1 ‚" S zachodzi równość pS = Id .
S1 As
s"S1
Zad. 6. Niech {f : Xi Yi}i"I bÄ™dzie rodzinÄ… odwzorowaÅ„ zbiorów, "i"IAi ‚" Xi oraz "i"IBi ‚" Yi.
Wykazać, że

" ( fi)( Ai) = f(Ai) oraz ( fi)-1( Bi) = f-1(Bi)
i"I i"I i"I i"I i"I i"I

" dla dowolnego podzbioru J ‚" I zachodzi równość: pI ć% ( fi) = ( fj) ć% pI tzn. jest przemienny
J J
i"I j"J
diagram przekształceń:

fi

i"I
Xi Yi

i"I i"I
pI pI
J J

fj


j"J
Xj Yj

j"J j"J
+"

Zad. 7. Niech Xn := {1, ..., n} ‚" N. JakÄ… moc ma zbiór Xn ? Zauważyć, że jest w bijekcji ze zbiorem
1
odwzorowań {f : N N | "n"N f(n) n}
+" +"

f
ni
Zad. 8. Pokazać, że odwzorowanie {0, 2} - [0, 1] dane wzorem f({ni}) := jest dobrze zdefi-

3i
1 i=1
niowane a jego obrazem jest poznany na Analizie I zbiór Cantora. p. M.Krych AM1. Przykład 6.5.
Zad. 9. Zdefiniuj relację równoważności na prostej rzeczywistej tak, żeby zbiór klas abstrakcji był prze-
liczalny, ale nieskończony.
Zad. 10. Niech R ‚" X × X oraz S ‚" Y × Y bÄ™dÄ… relacjami równoważnoÅ›ci w zbiorach X, Y .
f
1. Jeśli X - Y będzie odwzorowaniem zbiorów zachowującym te relacje tzn.

"x ,x2"X x1 <"R x2 =Ò! f(x1) <"S f(x2). Wtedy istnieje dokÅ‚adnie jedno przeksztaÅ‚cenie zbiorów
1
Å» Å»
klas abstrakcji f : X/R Y/S takie, że f ć% pR = pS ć% f, gdzie pR, pS są projekcjami na zbiory klas
abstrakcji tzn jest przemienny diagram przekształceń:
f

X Y
pR pS


X/R Y/S
Å»
f
2. Zdefiniuj relacjÄ™ równoważnoÅ›ci RS w produkcie X × Y tak, żeby odzworowanie
pR×pS pRS
X × Y - X/R × Y/S definiowaÅ‚o bijekcjÄ™ (X × Y )/RS -- X/R × Y/S.
---
2