Topologia I - Zadania
Seria I. Topologie i odwzorowania ciągłe.
5 paz
dziernika 2012
Definicja 1 (Topologie na prostej). W zbiorze liczb rzeczywistych R zdefiniujmy rodziny podzbiorów Ti:
1. T1 = P(R)  topologia dyskretna
2. T2 = {U ‚" R: "s"U "t>s[s, t) ‚" U}  topologia prawej strzaÅ‚ki
3. T3 = {U ‚" R: "s"U "t4. T4 = {U ‚" R: "s"U " >0(s - , s + ) ‚" U}  topologia euklidesowa
5. T5 = {"} *" {R} *" {(-", x): x " R} - topologia lewych przedziałów
6. T6 = {"} *" {R} *" {(x, +"): x " R} - topologia prawych przedziałów
7. T7 = {"} *" {R} *" {U ‚" R: R \ U jest zbiorem skoÅ„czonym}  topologia Zariskiego
8. T8 = {"} *" {R}  topologia antydyskretna
Zad. 1. Niech Ti dla i = 1 . . . 8 będą rodzinami podzbiorów prostej rzeczywistej opisanymi w Def. 1.
a) Sprawdz
, że rodziny Ti są topologiami.
b) Porównaj topologie Ti, rysując diagram inkluzji tych topologii i zbadaj ich przecięcia.
c) Zbadaj, które topologie Ti mają własność Hausdorffa.
d) Wykaż, że topologia generowana przez rodzinę T5 *" T6 jest identyczna z topologią euklidesową.
Czy ta rodzina jest topologiÄ…?
e) O których parach przestrzeni (R, Ti), (R, Tj) potrafisz powiedzieć, że są lub nie są homeomor-
ficzne? Narysuj i wypełnij odpowiednią tabelkę.
f) Które z przestrzeni (R, Ti) spełniają I, a które II aksjomat przeliczalności?
g) Które z przestrzeni (R, Ti) są metryzowalne?
Zad. 2 (Topologie w zbiorach skończonych). Wyszczególnić wszystkie topologie w zbiorach dwu- i trzy-
punktowym. Sklasyfikować topologie w zbiorze dwu- i trzyelementowym z dokładnością do homeomorfiz-
mu. Więcej informacji p. Wikipedia: Finite topological space.

Zad. 3. Niech T i T będą topologiami na zbiorze X. Czy T *" T zawsze jest także topologią ? Czy
suma wstÄ™pujÄ…cej rodziny topologii T1 ‚" T2 ‚" . . . Tn ‚" . . . jest zawsze topologiÄ…?
Zad. 4. Zdefiniujmy funkcje f, g, h: R - R wzorami:

x2 jeżeli x 0 1 jeżeli x " [0, 1)
f(x) = x2, g(x) = , h(x) =
0, jeżeli x < 0 0 jeżeli x " [0, 1)
/
Zbadać ciągłość funkcji jako przekształceń (R, Ti) - (R, Tj). Wyniki badań wpisać w tabelki.
1
Zad. 5 (Topologia Zariskiego). Rozpatrzmy w zbiorach liczb rzeczywistych R i zespolonych C topologiÄ™
Zariskiego tzn. taką w której domknięte są jedynie zbiory skończone i cała prosta. Sprawdzić, że odw-
zorowania wielomianowe w : R R oraz w : C C są ciągłe w tej topologii Zariskiego. Czy dowolne
odwzorowanie R R, ciągłe w topologii euklidesowej jest ciągłe w topologii Zariskiego?
Zad. 6. Dla dowolnej liczby naturalnej n podać przykłady funkcji ciągłych surjekcji f : Q - {0, 1, . . . n}
oraz f : R \ Q - {0, . . . n}, gdzie Q ‚" R jest podzbiorem liczb wymiernych.
Zad. 7 (Przecięcie baz). Niech B1, B2 będą bazami topologii T . Wykazać, że rodzina podzbiorów
B12 := {U )" V | U " B1, V " B2} też jest bazą T .
Definicja 2 (Topologie na płaszczyżnie). Na płaszczyz
nie rzeczywistej R2 zdefiniujmy rodziny podzbiorów.
Fi: (punkty płaszczyzny oznaczamy x = (x1, x2)).
1. F1 = P(R2)  topologia dyskretna
2. F2 = {(a, b) × R: a < b} *" {R × (a, b): a < b}
3. F3 = {(a, b) × (c, d): a < b, c < d}  topologia euklidesowa
4. F4 = {B(x, r) ‚" R2 : x " R2, r > 0}
5. F5 = {B(x, r) ‚" R2 : x " R2, r > 0} *" {B((x1, x2), |x2|) *" {(x1, 0)} *" B((x1, -x2), |x2|) | x2 = 0}} 

płaszczyzna motylków Niemyckiego1
6. F6 := {{a} × (c, d): a " R, c < d < 0 lub 0 < c < d} *" {(a, b) × (-c, c): a < b, c > 0}  topologia
rzeczna
7. F7 = {I(v, ): v = 0, 0 < < 1} *" {(-a, a) × (-a, a): a > 0}, gdzie dla wektora v " R2 i > 0,

I(v, ) := {tv | 1 - < t < 1 + }  topologia kolejowa
8. F8 = {"} *" {R2} *" {U ‚" R2 : R2 \ U jest zbiorem skoÅ„czonym}  topologia Zariskiego
9. F9 = T (<) zadana przez porzÄ…dek leksykograficzny: (x1, x2) < (y1, y2) Ð!Ò! x1 < x2 lub x1 = x2 oraz y1 < y2},
(p. BCPP Przykład 1.2.8) - ten przykład można pominąć.
10. F10 = {"} *" {R}  topologia antydyskretna
Topologie generowane przez te rodziny będziemy oznaczać Ti := T (Fi).
Zad. 8. Niech Fi dla i = 1..8 będą rodzinami podzbiorów płaszczyzny opisanymi w Definicji 2.
a) Które z rodzin Fi są topologiami, a które bazami topologii przez nie generowanymi?
b) Porównaj topologie Ti := T (Fi), rysując diagram ich inkluzji i zbadaj przecięcia Ti )" Tj.
c) Zbadaj, które z topologii Ti mają własność Hausdorffa.
d) O których przestrzeniach (R2, Ti), (R2, Tj) potrafisz powiedzieć, że są lub nie są homeomorficzne?
Narysuj i wypełnij odpowiednią tabelkę.
e) Dla wektora v " R2 definiujemy przekształcenie przesunięcia (translację) Tv : R2 R2 wzorem
Tv(w) := v+w. Dla każdego i = 1..8 zbadać dla jakich wektorów v translacja Tv : (R2, Ti) (R2, Ti)
jest przekształceniem ciągłym (homeomorfizmem).
f) BCPP Zad. 1.27
g) Które z przestrzeni (R2, Ti) spełniają I, a które II aksjomat przeliczalności?
h) Które z przestrzeni (R2, Ti) są metryzowalne? Wskaż odpowiednie metryki i zbadaj jak wyglądają
kule w tych metrykach. (Patrz BCPP Zad. 1.1, 1.2)
Zad. 9. Niech S1 := {v " R2 | ||v|| = 1}. Pokazać, że dowolne przekształcenie S1 S1 (niekoniecznie
ciągłe!) rozszerza się do przekształcenia ciągłego płaszczyzny R2 R2 z topologią kolejową.
Zad. 10. BCPP Zad. 1.6, 1.7
1
Zazwyczaj płaszczyzną Niemyckiego nazywa się górną półpłaszczyznę z opisaną topologią. Opisana przestrzeń to skle-
jenie dwóch półprzestrzeni Niemyckiego wzdłuż osi poziomej x2 = 0.
2