Topologia I - Zadania
Seria 2.
Różne rodzaje zbiorów. Przestrzenie metryczne.
Operacje na przestrzeniach.
30 paz
dziernika 2012
Zad. 1 (Wnętrze, domknięcie, ciągłość). Udowodnij, że dla przekształcenia przestrzeni topologicznych
f
(X, TX) - (Y, TY ) następujące warunki są równoważne:

a) f jest ciągłe
b) "B‚"Y cl(f-1(B)) ‚" f-1(cl(B)).
c) "B‚"Y f-1(Int(B)) ‚" Int f-1(B).
d) "A‚"X f(cl(A)) ‚" cl(f(A)).
Zad. 2 (Wnętrza i domknięcia na płaszczyz
nie). BCPP Zad. 1.161
Zad. 3 (Wnętrza i domknięcia w przestrzeni odwzorowań). BCPP Zad. 1.18
Zad. 4 (Przestrzenie z jednym punktem skupienia). BCPP Zad. 1.33
Zad. 5 (CiÄ…gi w przestrzeniach topologicznych). BCPP Zad. 1.26
Zad. 6 (Zbiory gęste i ciągi). Jeśli przestrzeń (X, T ) spełnia I aksjomat przeliczalności (tzn. ma bazę
przeliczalnÄ… w każdym punkcie, w szczególnoÅ›ci przestrzeniÄ… metryzowalnÄ…), to podzbiór A ‚" X jest
gÄ™sty wtedy i tylko wtedy gdy "x"X istnieje ciÄ…g elementów {an} ‚" A, którego punkt x jest granicÄ….
Zad. 7 (Rzutowania w iloczynie kartezjańskim). Wykaż, że rzutowania na czynniki iloczynu kartezjań-

ps
skiego (Xs, Ts) - (Xs, Ts) są odwzorowaniami otwartymi (tzn. obrazy zbiorów otwartych są otwarte),

s"S
a nie są zawsze odwzorowaniami domkniętymi (tzn. obrazy zbiorów domknętych nie muszą być domknię-
te.) (p. BCPP Zad. 1.37)
Zad. 8 (Domknięcie w iloczynie kartezjańskim). BCPP Zad. 1.37 Czy teza zadania jest prawdziwa dla
iloczynów nieskończonych?
Zad. 9 (Domkniętość przekątnej i wykresu). BCPP Zad. 1.40, 1.41
+" +"

f
ni
Zad. 10 (Zbiór Cantora). Pokazać, że odwzorowanie ({0, 2}, T´) - ([0, 1], Te) dane wzorem f({ni}) :=

3i
1 i=1
jest homeomorfizmem na obraz, którym jest zbiór Cantora. p. M.Krych AM1. Przykład 6.5.
Zad. 11 (Suma prosta odcinków). Wykazać, że następujące przestrzenie są homeomorficzne:
a) R \ Z gdzie Z oznacza (zawsze) liczby całkowite
1
b) (0, 1) \ { | n " N}
n
c) (0, 1) × N , gdzie N - liczby naturalne z topologiÄ… dyskretnÄ…
1
BCPP = S. Betley, J. Chaber, E.Pol, R.Pol TOPOLOGIA I, wykłady i zadania, wrzesień 2012
1
"

d) Xi gdzie "i"N Xi = (0, 1)
n=1
Zad. 12 (Nawijanie prostej na okrąg). Wykaż, że p : R S1, gdzie S1 := {v " R2 | |v| = 1}, dane
wzorem p(t) := (cos 2Ąt, sin 2Ąt) = e2Ąt jest odwzorowaniem otwartym (tzn. obrazy zbiorów otwartych są
p
Å»
otwarte) oraz definuje homeomorfizm odcinka z utożsamionymi końcami z okręgiem: [0, 1]/{0 <" 1} - S1.

Zad. 13 (Walec). Wykaż, że następujące przestrzenie są homeomorficzne (p.BCPP Zad. 1.39 A)
a) W1 := {(x1, x2, x3) " R3 | |x1|2 + |x2|2 = 1, x3 " R} (powierzchnia powstała przez obrót prostej
x1 = 1, x2 = 0 wokół osi x3)
b) W2 := R2 \ {0}
c) W3 := S1 × R
d) W4 := [-1, 1] × R/ <" gdzie (x, t) <" (x , t ) Ð!Ò! |x| = |x | = 1 t = t lub (x, t) = (x , t )
e) W5 := Fr(A), A := {(x1, x2, x3) " R3 | |x1|2 + |x2|2 1, x3 " R}
Uwaga: Powyżej zdefiniowano  walec bez brzegu . Zastępując w punktach a), c), d) prostą R odcinkiem
[-1, 1] otrzymujemy  walec z brzegiem (podstawami) . Nazwa  walec stosowana jest w obu przypadkach.
Zad. 14 (WstÄ™ga Möbiusa). (Wizualizacja p. Neil Strickland web page) Wykaż, że nastÄ™pujÄ…ce przestrzenie
sÄ… homeomorficzne:
a) M1  powierzchnia w R3 powstała przez obrót odcinka x1 = 1, x2 = 0, -1 < x3 < 1 wokół osi x3
z jednoczesnym obrotem tego odcinka o kÄ…t Ä„
b) M2  przestrzeÅ„ ilorazowa [-1, 1]×(-1, 1)/ <" gdzie (-1, t) <" (1, -t), a pozostaÅ‚e klasy abstrakcji
sÄ… jednopunktowe.
c) M3  przestrzeÅ„ ilorazowa walca S1 × (-1, 1)/ <" gdzie (z, t) <" (-z, -t) a pozostaÅ‚e klasy
abstrakcji sÄ… jednopunktowe.
Uwaga: Powyżej zdefiniowano  wstÄ™gÄ™ Möbiusa bez brzegu . ZastÄ™pujÄ…c w a),b),c) odcinek otwarty (-1, 1)
odcinkiem domkniÄ™tym [-1, 1] otrzymujemy  wstegÄ™ Möbiusa z brzegiem . Nazwa  wstÄ™gÄ™ Möbiusa jest
używana zarówno do wstęgi z brzegiem, jak i bez brzegu.
Zad. 15 (Rozcinanie wstÄ™gi Möbiusa). Udowodnić, że przestrzeÅ„ U := M2 \ {[s, 0] | s " [-1, 1]} powstaÅ‚a
ze wstÄ™gi Möbiusa M po usuniÄ™ciu jej  równika (czyli rozciÄ™ciu w poÅ‚owie tworzÄ…cej) jest homeomorficzna
1
z walcem W . A co siÄ™ stanie jeÅ›li zacząć rozcinać wstÄ™gÄ™ Möbiusa w dÅ‚ugoÅ›ci tworzÄ…cej?
3
Zad. 16 (Torus). (p.BCPP Zad. 1.39 B) (Wizualizacja p. Neil Strickland web page) Wykaż, że następujące
przestrzenie sÄ… homeomorficzne:
a) T1  powierzchnia w R3 otrzymaną przez obrót wokół osi x3 okręgu położonego w płaszczyz
nie
x2 = 0, który nie przecina osi x3.
b) T2 := S1 × S1
c) T3  przestrzeÅ„ ilorazowa [-1, 1] × [-1, 1]/ <" gdzie (-1, t) <" (1, t), (t, 1) <" (t, -1) a pozostaÅ‚e
klasy abstrakcji sÄ… jednopunktowe.
2