Topologia I - Zadania
Seria 6.
Przestrzenie odwzorowań ciągłych
15 grudnia 2012
Zad. 1. Dla zbiorów A ‚" X oraz W ‚" Y oznaczamy (A, W ) := {f " Map (X, Y ) |f(A) ‚" W }. Wykaż, że
dla dowolnych rodzin podzbiorów {As}s"S, As ‚" X oraz {Ws}s"S, Ws ‚" Y zachodzÄ… inkluzje (równoÅ›ci):

1. (As, W ) = ( As, W )
s"S s"S

2. (A, Ws) = (A, Ws)
s"S s"S

3. (As, Ws) ‚" ( As, Ws)
s"S s"S s"S
Zad. 2. Niech (X, TX), (Y, sTY ) będą przestrzeniami Hausdorffa. Udowodnić, że dla każdego zwartego
podzbioru C ‚" X ×Y i jego otoczenia U ƒ" C istnieje skoÅ„czenie wiele podzbiorów zwartych A1, . . . , An ‚"

X oraz B1, . . . , Bm ‚" Y takich, że C ‚" Ai × Bj ‚" U. RozwiÄ…zanie zilustruj rysunkiem.
i,j
Zad. 3. Niech (X, TX) będzie przestrzenią Hausdorffa; oznaczmy C(X) := Map (X, R) z topologia zwarto
 otwartą. Wykazać, ze C(X) jest przestrzenią liniowo  topologiczną tzn. dodawania funkcji i mnożenie
przez skalar (a nawet mnożenie funkcji) sÄ… odwzorowaniami ciÄ…gÅ‚ymi C(X) × C(X) C(X). Wykazać,
że ta przestrzeń jest lokalnie wypukła tzn. dla dowolnego zbioru otwartego U 0 istnieje otwarty zbiór
wypukÅ‚y V taki, że 0 " V ‚" U.
Zad. 4. Wykaz, że dla dowolnych przestrzeni (Y, TY ), (Z, TZ) i punktu x0 odwzorowania
evy : Map (Y, Z) Z, evy (f) := f(y0) jest ciagłe. Jeśli przestrzeń (Y, TY ) jest zwarta, to odwzorowanie
0 0
ev : Map (Y, Z) × Y Z, ev(f, y) := f(y) jest ciagÅ‚e.

Zad. 5. Udowodnić, że dla dowolnych przestrzeni X1, X2 włożenia ąk : Xk X1 X2, k = 1, 2 definiują

homeomorfizm Map (X1 X2, Y ) Map (X1, Y ) × Map (X2, Y ).
Zad. 6. Dla f, g " Map (R, R) połóżmy:
"

1 Mn
d(f, g) := , gdzie Mn := sup |f(t) - g(t)|: - n t n}.
2n 1 + Mn
n=1
Sprawdzić, że d jest metryką. Czy ta metryka jest zupełna? Wykazać, że topologia T (d) jest identyczna
z topologiÄ… zwarto  otwartÄ….
Zad. 7. PrzestrzeÅ„ (X, TX) nazywa siÄ™ Å›ciÄ…galna jesli istnieje punkt x0 i odwzorowanie H : X × I X
takie, że H(x, 0) = id, H(x, 1) = x. Wykazać, że:
1. Jeśli (Y, TY ) jest homeomorficzna z przestrzenią ściągalną, to jest ściągalna.
2. Jeśli przestrzeń (X, TX) jest ściągalna do punktu x0, to jest ściągalna do dowolnego punktu x1 " X.
3. Dowolny zbiór wypukły (a nawet gwiaz
dzisty) w przestrzeni liniowo  topologicznej (w szczególności
Rn) jest ściągalny.
4. Przestrzeń ściągalna jest łukowo spójna.
1
5. Retrakt przestrzeni ściągalnej jest przestrzenią ściągalną.
6. Produkt kartezjański przestrzeni ściągalnych jest przestrzenią ściągalną. (Uwaga: podprzestrzeń,
ani przestrzeń ilorazowa przestrzeni ściągalnej nie muszą być ściągalne).
7. Jeśli jedna z przestrzeni (X, TX), (Y, TY ) jest ściągalna, to przestrzeń odwzorowań (Map (X, Y ), Tco)
jest ściągalna.
8. JeÅ›li A ‚" X jest podzprzestrzeniÄ… Å›ciÄ…galnÄ… i istnieje odwzorowanie F : X × I X takie, że
H(x, 0) = id,oraz "x"XH(x, 1) " A, to X jest przestrzenią ściągalną.
Zad. 8. Zbadać ściągalność przestrzeni topologicznych z zadań Serii 1 nr 1, 8.
Zad. 9. BCPP Zad. 6.4
Zad. 10. BCPP Zad. 6.5
2