Topologia I - Zadania
Seria 4.
Zwartość.
14 listopada 2012
Zad. 1. Zbadać zwartość przestrzeni z Def. 1 i 2 Serii 1.
Zad. 2. BCPP Zad. 2.1
Zad. 3. BCPP Zad. 2.2
Zad. 4. BCPP Zad. 2.7
Zad. 5. BCPP Zad. 2.14
Zad. 6. Jeśli p : (X, TX) (Y, TY ) jest przekształceniem domkniętym takim, że "y"Y f-1(y) jest zbiorem
zwartym (takie przekształcenia nazywa się doskonałymi) określonym na przestrzeni Hausdorffa (X, TX),
oraz przestrzeń (Y, TY ) jest zwarta to przestrzeń (X, TX) jest zwarta. Podać przykład pokazujący, ze
założenie domkniętości przekształcenia jest istotne.
Zad. 7. Złożenie przekształceń doskonałych między przestrzeniami Hausdorffa jest przekształceniem
doskonałym. Jeśli fi : (Xi, TX ) (Yi, TY ) są przekształceniami doskonałymi dla i = 1, 2, to odw-
i i
zorowanie f1 × f2 : X1 × X2 Y1 × Y2 jest doskonaÅ‚e.
Zad. 8. BCPP Zad. 2.16
Zad. 9. BCPP Zad. 2.17
Zad. 10. BCPP Zad. 2.18
Zad. 11. BCPP Zad. 2.20
Zad. 12. BCPP Zad. 2.22
Zad. 13. Jeśli (X, T ) jest przestrzenią zwartą, to dowolna składowa spójna z jest przecięciem zbiorów
otwarto-domkniętych.
Zad. 14. Rozpatrzmy zbiór Rn *" {"} i zdefiniujmy w nim topologię jako generowaną przez podzbiory
otwarte w Rn oraz zbiory postaci {"} *" (Rn \ K) gdzie K ‚" Rn jest zbiorem zwartym. Udowodnij, że
przestrzeń S jest zwarta i homeomorficzna ze sferą Sn.
Zad. 15. Udowodnij, że istnieje homeomorfizm Dn/Sn-1 Sn.
Zad. 16. Jeśli (X, Td) jest przestrzenią metryzowalną, to dla dowolnego zbioru domkniętego przestrzeń
ilorazowa X/A jest Hausdorffa, a zatem jeśli X jest zwarta to X/A jest też zwarta.
1