Topologia I - Zadania
Seria 4.
Zupełność.
3 grudnia 2012
Zad. 1 (Metryka kolejowa i rzeczna). BCPP 3.2
Zad. 2 (Metryka całkowa). Czy metryka całkowa, określona w zadaniu BCPP 1.7 jest zupełna?
Zad. 3 (Ciągi liczb naturalnych). Czy przestrzeń określona w zadaniu BCPP 1.8 jest zupełna ?
Zad. 4 (Przestrzenie przeliczalne). Zauważyć, że przeliczalna przestrzeń metryczna, która ma więcej niż
jeden punkt nie jest spójna, ale może nie mieć punktów izolowanych. Rozwiązać zadanie BCPP 3.6.
Zad. 5. Jeśli f : (X, dX) (Y, dY ) jest ciagłą surjekcją oraz "c>0"x ,x2"X dX(x1, x2) cdY (f(x1), f(x2))
1
(w szczególności jeśli f jest izometrią) to jeśli (X, dX) jest zupełna, to (Y, dY ) jest zupełna.
Zad. 6. Jeśli (X, dX) jest zupełna, to (X, d ) gdzie d (x1, x2) := min(dX(x1, x2), 1) też jest zupełna.
Uogólnić ten fakt podając warunki na funkcję Ć: R 0 R 0 gwarantujące, że dĆ(x1, x2) := Ć(d(x1, x2))
jest metryką oraz, że jest zupełna.(p. zadanie BCPP 1.5)
Zad. 7 (Sumy zbiorów zwartych). BCPP 3.16
Zad. 8 (Metryzowalność w sposób zupełny). BCPP 3.10
Zad. 9 (Tw. Baire a). BCPP 3.13
Zad. 10 (Tw. Baire a). BCPP 3.14
Zad. 11 (Tw. Baire a). BCPP 3.15
Zad. 12 (Kostka Hilberta). BCPP 3.23
Zad. 13 (Kostka Hilberta). BCPP 3.36
Zad. 14 (Punkty stałe). BCPP 3.27
Zad. 15 (Punkty stałe). BCPP 3.28
1