Topologia I - Zadania
Seria 7 (ostatnia)
Homotopia i topologia powierzchni
8 stycznia 2013
Uwaga. Zadanie 1 jest powtórzeniem Zad. 7 z Serii 6 dla wygody zgromadzenia zadań dotyczących
homotopii w jednym miejscu. Zadania z Serii 6 nr 8, 9 (BCPP 6.4) i 10 (BCPP 6.5) można pominąć na
rzecz dokładniejszego omówienia powierzchni. Z omawiania zadań Serii 6 dot. przestrzeni funkcyjnych
można zrezygnować.
Zad. 1. PrzestrzeÅ„ (X, TX) nazywa siÄ™ Å›ciÄ…galna jesli istnieje punkt x0 i odwzorowanie H : X × I X
takie, że dla każdego x " X, H(x, 0) = x, H(x, 1) = x0. Wykazać, że:
1) Jeśli (Y, TY ) jest homeomorficzna z przestrzenią ściągalną, to jest ściągalna.
2) PrzestrzeÅ„ jest Å›ciÄ…galna Ð!Ò! jest homotopijnie równoważna z przestrzeniÄ… jednopunktowÄ….
3) Jeśli przestrzeń (X, TX) jest ściągalna do punktu x0, to jest ściągalna do dowolnego punktu x1 " X.
4) Dowolny gwiaz
dzisty podzbiór Rn jest ściągalny.
5) Przestrzeń ściągalna jest łukowo spójna.
6) Retrakt przestrzeni ściągalnej jest przestrzenią ściągalną.
7) Produkt kartezjański przestrzeni ściągalnych jest przestrzenią ściągalną. (Uwaga: podprzestrzeń, ani
przestrzeń ilorazowa przestrzeni ściągalnej nie muszą być ściągalne).
8) JeÅ›li A ‚" X jest podzprzestrzeniÄ… Å›ciÄ…galnÄ… i istnieje odwzorowanie F : X × I X takie, że dla
każdego x " X, H(x, 0) = x,oraz "x"XH(x, 1) " A, to X jest przestrzenią ściągalną.
Zad. 2. Sn \ Sk jest homotopijnie równoważna z Sn-k-1
Wsk. Zauważyć, że rzut stereograficzny wyznacza homemorfizm Sn \ Sk Rn \ Rk a następnie zrzutować
ten zbiór na podprzestrzeń prosotpadła do Rk.
Zad. 3. Znalez
ć homeomorfizmy następujących przestrzeni:
1)  Przekłutej płaszczyzny R2 \ {p}, gdzie p jest dowolnym punktem.
Å»
2)  PÅ‚aszczyzny z dziurÄ… R2 \ B(p; r), gdzie p jest dowolnym punktem i r > 0,
3)  Płaszczyzny ze szparą R2 \ [p, q] gdzie [p, q] := {(1 - t)p + tq : 0 t 1} jest odcinkiem domkniętym.
4) Walca S1 × (-1, 1).
i wykazać, że każda z nich jest homotopijnie równoważne z okręgiem S1 (wskazać homotopijną równo-
ważność w każdym przypadku osobno).
Zad. 4. Niech C" := C \ {0} oznacza grupę multyplikatywną liczb zespolonych = 0; S1 C" będzie

jej podgrupÄ… zÅ‚ożonÄ… z liczb o module 1 (czyli okrÄ™giem). Wykazać, że wÅ‚ożenie Ä…: S1 ‚" C" definiuje
izomorfizm grup klas homotopii przekształceń ą" : [X, S1] [X, C"].
z
Wsk. h(z) := (r(z), |z|), gdzie r(z) := . r" : [X, C"] [X, S1] jest odwrotnością ą".
|z|
1
Zad. 5 (Homotopie punktowane). Niech w przestrzeni X będzie wyróżniony punkt x0 a w przestrzeni
Y punkt y0, co będziemy oznaczać (X, x0), (Y, y0). Rozważmy zbiór przekształceń ciągłych
Map ((X, x0), (Y, y0)) := {f " Map (X, Y ): f(x0) = y0}.
HomotopiÄ… zachowujÄ…cÄ… punkty wyróżnione (punktowanÄ… homotopiÄ…) nazywamy F : X × I Y takie,
że dla każdego t " [0, 1], H(x0, t) = y0 a zbiór klas równoważności Map ((X, x0), (Y, y0))/ <" gdzie <" jest
relacją punktowanej homotopii, oznaczamy [(X, x0), (Y, y0)]" lub krócej, jeśli jest jasne o jakie punkty
są wyróżnione, [X, Y ]". W okręgu S1 punktem wyróżnionym będzie zawsze 1 " S1. Udowodnić, że dla
dowolnej przestrzeni z wyróżnionym punktem (X, x0) istnieje bijekcja [(X, x0), (S1, 1)]" [X, S1].
Wsk. Dla dowolnego odwzorowania f : X S1 definiujemy homotopijne z nim f (x) := f(x)f(x0)-1 dla
ktorego zachodzi f (x0) = 1. Podobnie dla homotopii F : X × I S1 definiujemy

F (x, t) := F (x, t)F (x0, t)-1.
Zad. 6 (Bukiet przestrzeni). Niech X1, X2 będą przestrzeniami topologicznymi z wyróżnionymi punk-
tami x1 " X1, x " X2. Zdefiniujemy sumę bukietową tych przestrzeni jako przestrzeń ilorazową
2
X1 (" X2 := X1 X2/ <" gdzie (x1, 1) <" (x2, 2) a pozostałe klasy abstrakcji są jednopunktowe. Za-
uważyć, że X1 (" X2 jest homeomorficzne z podzbiorem produktu kartezjańskiego
{(y1, y2) " X1 × X2 : y1 = x1 lub y2 = x2}. Udowodnić, że wÅ‚ożenia jk : Xk ‚" X1 (" X2 definiujÄ… bijekcjÄ™
" "
(izomorfizm grup) (j1, j2 ): [X1 (" X2, S1] [X1, S1] × [X2, S1].

" "
Wsk. Zauważyć, że (j1 , j2): [X1 (" X2, S1]" - [X1, S1]" ×[X2, S1]" i i skorzystać z poprzedniego zadania.

Zad. 7. Udowodnić, że  przekłuta płaszczyzna R2 \ {p} jest homotopijnie równoważna z S1, a płasz-
czyzna przekłuta 2-razy tzn R2 \ {p1, p2} jest homotopijnie równoważna z bukietem dwóch okręgów
S1 (" S1 := {(z1, z2) " S1 × S1 : z1 = 1 lub z2 = 1} . Uogólnić to na pÅ‚aszczyznÄ™ przekÅ‚utÄ… n-razy tzn
R2 \ {p1, . . . , pn}. A co będzie jeśli zamiast płaszczyznę rozpatrywać przekłutą sferę S2 ?
Zad. 8. Udowodnić, że jeśli m = n to płaszczyzna (odp. sfera) przekłuta n razy nie jest homotopijnie

równoważna (a więc nie jest homeomorficzna) z płaszczyzną (odp. sferą) przekłutą m razy.
Wsk. [R2 \ {p1, . . . , pk}, S1] Zk
Zad. 9. Udowodnić, że dowolne przekształcenie Sn S1 gdzie n > 1 jest homotopijne ze stałym.
Wsk. Skorzystać z tw. Eilenberga mówiącego, że przekształcenie jest homotopijne ze stałym wtedy i tylko
wtedy gdy posiada logarytm. Rozłozyć sferę na górną i dolną półsferę i uzgodnić logarytm na równiku.
Zad. 10. Niech h: S1 S1 będzie homeomorfizmem. Wykazać, że h jest homotopijne z identycznością
lub ze sprzężeniem zespolonym.
Wsk. Zauważyć, że stopień zlożenia przekształceń S1 S1 jest iloczynem stopni i skorzystać z izomor-
fizmu [S1, S1] Z.
Zad. 11. Jeśli f : S1 S1 jest takie, że f(-z) = -f(z) dla każdego z " S1, to stopień deg(f) jest
nieparzysty, a więc nie jest ono ściągalne.
Wsk. Logarytm na dolnym półokręgu jest wyznaczony przez logarytm na górnym półokręgu (można
założyć, że f(1) = 1)
Zad. 12. [WstÄ™ga Möbiusa] (Por. Seria 2 Zad. 14) Wykazać, że istnieje retrakcja wstÄ™gi Möbiusa (za-
równo otwartej jak i domkniętej) na jej równik i jest ona homotopijną równoważnością. Niech M będzie
domkniÄ™tÄ… wstÄ™gÄ… Möbiusa a "M jej brzegiem (tzn. obrazem odcinków [-1, 1] × {-1} *" [-1, 1] × {1}).
Zauważyć, że brzeg "M jest homeomorficzny z okręgiem S1 a obcięcie [M, S1] ["M, S1] Z jest
monomorfizmem, którego obrazem sÄ… liczby parzyste. Wywnioskować stÄ…d, że brzeg wstÄ™gi Möbiusa nie
jest jej retraktem.
Wsk. Skorzystać z modelu wstegi Möbiusa z Zad. 2.14 c): okreÅ›lone tam odwzorowanie ilorazowe S1 ×
[-1, 1] M3 definiuje homotopiÄ™ miÄ™dzy dwukrotnym nawiniÄ™ciem okrÄ™gu na równik wstÄ™gi Möbiusa i
homeomorfizmem z jej brzegiem.
Zad. 13. [Plaszczyzna rzutowa] Wykazać, że następujące przestrzenie są homeomorficzne:
1) PrzestrzeÅ„ ilorazowa [-1, 1] × [-1, 1]/ <" gdzie
(t1, t2) <" (s1, s2) Ð!Ò! (t1, t2) = (s1, s2) lub (t1, t2) = -(s1, s2) gdzie t1 " {-1, 1} lub t2 " {-1, 1}
2
Å»
2) PrzestrzeÅ„ ilorazowa B(0, 1)/ <" gdzie p1 <" p2 Ð!Ò! p1 = p2 lub p1, p2 " S1 oraz p1 = -p2
3) PrzestrzeÅ„ ilorazowa S2/ <" gdzie p1 <" p2 Ð!Ò! p1 = p2 lub p1 = -p2
(Uwaga: to jest przestrzeń orbit działania grupy Z2 = {-1, 1} na sferze).
Przestrzeń, której różne modele są wyżej opisane nazywamy (rzeczywistą) płaszczyzną rzutową i ozna-
czamy RP (2). Zauważyć, że:
1) RP (2) jest przestrzenią zwartą i spójną
2) dowolny punkt ma otoczenie homeomorficzne z R2,
3) Istnieje otwarty podzbiór gÄ™sty U ‚" RP (2), homeomorficzny z R2 taki, że RP (2) \ U jest homeomor-
ficzna z S1 oraz przestrzeń ilorazowa RP (2)/RP (2) \ U jest homeomorficzna ze sferą S2.
Zad. 14. [Płaszczyzna rzutowa cd] Wykazać, że  przekłuta płaszczyzna rzutowa jest homotopijnie rów-
noważna z okrÄ™giem, a nawet homeomorficzna z otwartÄ… wstÄ™gÄ… Möbiusa.
Wsk. W modelu 1) lub 2) wyciąć po środku małe domknięte kółko i metodą rozcinania i sklejania pokazać
homeomrofizm ze wstÄ™gÄ… Möbiusa. W modelu 3) wyciąć w sferze S2 maÅ‚e otoczenie bieguna północnego
i południowego i skorzystać z Zad. 14 c) Serii 2.
Zad. 15 (Torus). (Por. Seria 2, Zad. 16) Zauważyć, że przekłuty torus jest homotopinie równoważny z
bukietem dwóch okręgów S1 (" S1.
Zad. 16 (Butelka Kleina). ButelkÄ™ Kleina definiujemy jako przestrzeÅ„ ilorazowÄ… B := [-1, 1]×[-1, 1]/ <"
gdzie (1, t) <" (-1, -t) oraz (s, 1) <" (s, -1). Zauważyć, że: B jest przestrzenią zwartą i spójną i dowolny
jej punkt ma otoczenie homeomorficzne z R2. Zauważyć, że przekłuta butelka Kleina jest homotopijnie
równoważna z bukietem dwóch okręgów S1 (" S1.
Zad. 17. Korzystając z poprzednich zadań wykazać, że żadne dwie spośród nastepujących powierzch-
ni: sfera S2, torus T , płaszczyna rzutowa RP (2) nie są homeomorficzne a a butelka Kleina B nie jest
homeomorficzna ze sferą i z płaszczyzną rzutową.
Wsk. Homeomorfizm tych powierzchni pociągałby homeomorfizm przekłutych powierzchni.
Uwaga. Butelka Kleina nie jest także homeomorficzna z torusem, co wynika z ostatniego zadania.
Zad. 18. Sprawdzić, że twierdzenie Jordana nie zachodzi dla torusa i dla płaszczyzny rzutowej i butelki
Kleina tzn. wskazać ich podzbiory homeomorficzne z okręgiem, których dopełnienia są spójne i takie,
które są niespójne.
Zad. 19. Wykazać, że [T, S1] [S1, S1] × [S1, S1] Z × Z oraz [B, S1] Z. Wywnioskować stÄ…d, że
torus i butelka Kleina nie są homotopijnie równoważne, a więc także nie są homeomorficzne.
3